解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝
c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a。

2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：
（1）∆S ＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21
ac sin B ；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面
积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
6．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

二、典例解析 题型1：正、余弦定理
例1．（1）在∆ABC 中，已知0
32.0=A ，0
81.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；
（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：（1）根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理， 0
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0=
=≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0
==≈a C c cm A
（2）根据正弦定理， 0
sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为0
0＜B ＜0180，所以0
64≈B ，或0116.≈B
△当0
64≈B 时， 00000
180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A
△当0116≈B 时，
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0
sin 20sin2413().sin sin40
==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积
例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22
，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC
的面积。

解法一：先解三角方程，求出角A 的值。

.2
1)45cos(,22)45cos(2cos sin =
-∴=
-=+ A A A A
又0180 <<A , 4560,105.A A ∴-==
1tan tan(4560)2A +∴=+=
=- .4
6
260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=
+=+== A S AC AB A ABC ∆=
⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434
26sin ()。

解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。

sin cos A A +=
2
2
△ 21(sin cos )2
12sin cos 20180,sin 0,cos 0.
1
(sin 2)
2
A A A A A A A A ∴+=∴=-
<<∴><=-另解
2
3cos sin 21)cos (sin 2
=
-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 6
2
△ △+△得sin A =
+26
4。

△－△
得cos A =-264。

从而sin tan 2cos 4A A A =
==-
以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。

两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
题型3：三角形中的三角恒等变换问题
例3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是△A 、△B 、△C 的对边长，已知a 、b 、c
成等比数列，且a 2
－c 2
=ac －bc ，求△A 的大小及c
B
b sin 的值。

分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求△A ，需找△A 与三边的关
系，故可用余弦定理。

由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c
B
b sin 的值。

解法一：△a 、b 、c 成等比数列，△b 2=ac 。

又a 2－c 2=ac －bc ，△b 2+c 2－a 2=bc 。

在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 22
22-+=bc bc 2=2
1，
△△A =60°。

在△ABC 中，由正弦定理得sin B =
a
A
b sin ，△b 2=a
c ，△A =60°， △ac
b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。

解法二：在△ABC 中，由面积公式得2
1bc sin A =2
1ac sin B 。

△b 2=ac ，△A =60°，△bc sin A =b 2sin B ，△c
B b sin =sin A =
2
3。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状
例4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
D.等边三角形
答案：C
解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB △sin （A －B ）＝0，△A ＝B 另解：角化边
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 题型5：三角形中求值问题
例5．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A
2。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 3
2；
当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。

点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

题型6：正余弦定理的实际应用
例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，
B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为，，于水面
C 处测得B 点和
D 点的仰角均为，AC=0.1km 。

试探究图中B ，D 间
0750
300
60
距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，
1.414，
2.449）
解:在△ABC 中，△DAC=30°, △ADC=60°－△DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又△BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，
即AB= 因此，BD= 故B ，D 的距离约为0.33km 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

三、思维总结
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；
（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。

2
≈6
≈,
ABC sin C
BCA sin ∠=∠A AB ,20
62315sin ACsin60+=。

km 33.020
6
23≈+
2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，… 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

三、课后跟踪训练
1.若△的三个内角满足
，则△ （ ）
（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角
形.
解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得，所以角C 为钝角 2.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，
，则A=( )
（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

由正弦定理得
， 所以cosA=
A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角
ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C =ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C =011
5213115cos 2
22<⨯⨯-+=
c 22
a b -=sin C B =0300600120015022c c R R
=⇒=2222+c -a 22b c bc bc
+==
化为边运算。

3.在中，a=15,b=10,A=60°，则= A －
B C
D
【答案】D
【解析】
根据正弦定理可得解得，又因为
，则，故B 为锐角，所以，故D 正确. 4.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若
A+C=2B,则sinC=
.
解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则， ， 5.在锐角中，则
的值等于 ， 的取值范围为 .
解析 设由正弦定理得
由锐角得， 又， 故， ABC ∆cos B 3
sin sin a b A B =1510sin60sin B =sin B =b a <B A <cos B ==
1sin sin 60
A =1
sin 2
A =
a b <60A B <=30A =180180306090C A B =--=--=sin sin901C ==ABC ∆1,2,BC B A ==cos AC
A
AC ,2.A B θθ∠=⇒=,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ=∴=⇒=ABC ∆0290045θθ<<⇒<<01803903060θθ<-<⇒<<23045cos θθ<<⇒
<<
6.（2009全国卷△理）在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)
左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,
而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法：在中则
由正弦定理及余弦定理有:
（角化边） 化简并整理得：.又由已知.
解得.
7．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan 2
tan 32
tan 2
tan C A C A ++的值。

解析：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°， 从而
2C A +＝60°，故tan 32
=+C
A .由两角和的正切公式，得32
tan
2tan 12tan 2tan
=-+C A C
A 。

所以,2
tan 2
tan 332
tan 2
tan C A C A -=+
32
tan 2tan 32tan 2tan
=++C
A C A 。

点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。

ABC ∆a b c 2
2
2a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ∆sin cos 3cos sin ,A C A C =222222
3,
22a b c b c a a c ab bc +-+-=222
2()a c b -=2
2
2a c b -=24b b ∴=40(b b ==或舍）
8.在中，为锐角，角所对的边分别为，且 （I ）求的值；（II ）若，求的值。

解（I ）△为锐角， △ △ ,△ （II ）由（I ）知，△ 由，即 又△ △ △
△ 9. 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得cos =,
ADC=120°, ADB=60°
在△ABD 中，AD=10, B=45°, ADB=60°，
由正弦定理得, △AB=ABC ∆A
B 、A B
C 、、a b c 、、510sin 510
A B ==A B +21a b -=-a b c 、、A B 、510sin A B ==2225310cos 1sin 1sin A A B B =-==-=253105102cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-==0A B π<+<4
A B π+=34C π=2sin C sin sin sin a b c A B C
==5102a b c ==2,5a b c b ==21a b -=221b b -=-1b =2,5a c ==∠2222AD DC AC AD DC +-10036196121062+-=-⨯⨯∴∠∠∠∠sin sin AB AD ADB B =∠310sin 10sin 60256sin sin 452
AD ADB B ∠︒==︒
10.在中，分别为内角的对边，
且
（△）求的大小；
（△）若，试判断的形状.
解：（△）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得 故 （△）由（△）得
又，得
因为， 故 所以是等腰的钝角三角形。

11. 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且
（△）求A 的大小；
（△）求的最大值.
解：（△）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得 故 ，A=120° ……6分 （△）由（△）得：
ABC ∆a b c 、、A B C 、、2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++A sin sin 1B C +=ABC ∆c b c b c b a )2()2(22+++=bc c b a ++=222A bc c b a cos 2222-+=︒=-=120,2
1
cos A A .sin sin sin sin sin 222C B C B A ++=1sin sin =+C B 21sin sin ==C B ︒<<︒︒<<︒900,900C B B C =ABC ∆2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++sin sin B C +22(2)(2)a b c b c b c =+++222a b c bc =++222
2cos a b c bc A =+-1cos 2
A =-
故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。

sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒
-1sin 2
sin(60)B B B +=︒+。