第02讲_含参的二元一次方程组(教师版)A4-精品文档资料整理

高斯教育学科教师辅导讲义
学员姓名：年级：
辅导科目：学科教师：五块石1 上课时间
授课主题第02讲_含参的二元一次方程组
含参的二元一次方程组
一．解含参数的二元一次方程组
对于关于x、y的二元一次方程组：111
222
a x
b y c
a x
b y c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
（
1
a、
1
b、
2
a、
2
b为已知数，且
1
a与
1
b、
2
a
与
2
b、
1
a与
2
a、
1
b与
2
b都不能同时为0）．把含参的二元一次方程组化为含参一元一次方程，再分类讨论，结论如下：
1．当11
22
a b
a b
≠时，方程组有唯一解，为
2112
1221
1221
1221
b c b c
x
a b a b
a c a c
y
a b a b
-
⎧
=
⎪-
⎪
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
；
2．111
222
a b c
a b c
==时，原方程组有无数多组解；
知识图谱
错题回顾
知识精讲
3． 当
111
222
a b c a b c =≠时，原方程组无解．
一．考点：解含参的二元一次方程组，含参二元一次方程组参数与解的关系，含参二元一次方程组的同解问题．
二．重难点：
1．方程的个数少于未知数的个数时，方程组有无数多解； 2．含参二元一次方程组的整数解； 3．方程组中的参数的取值范围．
三．易错点：参数为给定明确取值范围时，不要忘了分类讨论．
题模一：解含参数的二元一次方程组
例1.1.1关于x 、y 的方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是1
1x y =⎧⎨=⎩
，则|m ﹣n|的值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】D
【解析】∵方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是1
1x y =⎧⎨=⎩
，
∴311m
m n -=⎧⎨+=⎩，
解得23m n =⎧⎨=⎩
，
所以，|m ﹣n|=|2﹣3|=1．
例1.1.2关于x 、y 的方程组43235
x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x 与y 的值相等，则k 等于________
【答案】1
【解析】解方程组，得56
109k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，根据题意，得51069k k +-=
，解得1k = 三点剖析
题模精讲
例 1.1.3小明在解关于x 、y 的二元一次方程组x y 33x y 1+=⎧⎨-⊕=⎩
ⓧ时得到了正确结果x n
y 1=⎧⎨=⎩后来发现
“ⓧ”、“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出“ⓧ”、“⊕”处的值分别是____
A ．ⓧ=1，⊕=1
B ．ⓧ=2，⊕=1
C ．ⓧ=1，⊕=2
D ．ⓧ=2，⊕=2 【答案】B 【解析】
将x n y 1=⎧⎨=⎩
代入方程组，
两方程相加，得x=⊕=1；
将x=⊕=1代入方程x+ⓧy=3中，得 1+ⓧ=3，ⓧ=2． 故选B ．
例1.1.4求关于x 、y 的方程组2113x y ax y +=⎧⎨-=⎩
的解．
【答案】当12a =-时，原方程组无解；当12a ≠-时，原方程组的解为1721
11321x a a y a ⎧
=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
．
【解析】当
121a =-，即当12a =-，由于
12111132
=≠--，此时方程组无解；当121a ≠-，即当1
2a ≠-时，原方程组有唯一解，按照消元法求出x 、y 的值即可． 题模二：参数与解的关系
例1.2.1由方程组21
3x m y m ⎧+=⎨-=⎩
可得出x 与y 的关系是（ ）
A ．2x+y=4
B ．2x-y=4
C ．2x+y=-4
D ．2x-y=-4
【答案】A 【解析】
213x m y m ⎧+=⎨
-=⎩
①
②， 把⊕代入⊕得2x+y -3=1，即2x+y=4． 故选：A ．
例1.2.2m 取何整数值时，关于x 、y 的方程组2441x my x y +=⎧⎨+=⎩
的解x 和y 都是整数？
【答案】9,7,10,6m =．
【解析】把m 作为已知数，解方程组得818
28x m y m ⎧
=-⎪⎪-⎨⎪=
⎪-⎩
．
∵x 是整数，∴8m -取8的约数1±，2±，4±，8±． ∵y 是整数，∴8m -取2的约数±1，±2．
取它们的公共部分，81,2m -=±±，解得9,7,10,6m =． 经检验9,7,10,6m =时，方程组的解都是整数． 题模三：同解问题
例1.3.1关于x ，y 的二元一次方程组59x y k
x y k +=⎧⎨-=⎩
的解也是二元一次方程2x+3y=-6的解，则k 的值
是（ ） A ．-3
4 B ．
34
C ．
43
D ．-
43
【答案】A 【解析】
解方程组 59x y k
x y k +=⎧⎨-=⎩
得：x=7k ，y=-2k ，
把x ，y 代入二元一次方程2x+3y=-6， 得：2×7k+3×（-2k ）=-6， 解得：k=-34
， 故选A ．
例1.3.2已知关于x 、y 的二元一次方程(2)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解． 【答案】方程的公共解为3
1x y =⎧⎨=-⎩
【解析】方法一：特殊值法，取定a 的两个值，得到关于x 、y 的二元一次方程组，该方程组的解
即为所求公共解
方法二：原方程可变形为(2)(25)0a x y x y +----= 由于公共解与a 无关，故有20250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得3
1x y =⎧⎨=-⎩
随练1.1若关于x ，y 的二元一次方程组39
21
ax y x y +=⎧⎨
-=⎩无解，则a =__________．
随堂练习
【答案】6-
【解析】3921ax y x y +=⎧⎨
-=⎩①②， 3⨯①+②消去y 可得
()612a x +=，可知当6a =-时，012=原方程无解．
随练1.2 已知关于x 、y 的方程组26
103
ax by ax by +=⎧⎨
-=⎩，求762by ax +-的值．
【答案】1
【解析】解方程组得
3
ax by =⎧⎨
=⎩，所以76270231by ax +-=+-⨯=．
随练1.3k 为何值时，方程组22342kx y x y +=⎧⎨
-=⎩①②
无解？
【答案】
3
2k =-
【解析】将方程组消元，使之化为ax b =的形式，然后讨论一次项系数a ．当0a ≠时，有唯一解b
x a =
；当0a =，0b =时，有无数个解；当0a =，0b ≠时，无解．反之也成立．
2⨯+①②，得()236k x +=③，由原方程组无解，知方程③也无解．所以230k +=，解得32k =-
．当3
2k =-时方程组无解．
随练1.4已知关于x 、y 的方程组23ax y x ay +=⎧⎨-=⎩
，
（1）求证：该方程组有唯一解；
（2）若方程组的解满足x y =，求a 的值． 【答案】（1）见解析（2）1
5
a =-
【解析】（1）方程有唯一解为22231
231a x a a
y a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
；（2）由（1）得22
232311a a a a +-=++，解得15a =-． 随练1.5 已知关于x 、y 的方程组2331
x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和3211233x y ax by +=⎧⎨
+=⎩的解相同，求a 、b 的值． 【答案】2
5
a b =-⎧⎨
=⎩
【解析】可先解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩．因此可得关于a 、b 的二元一次方程组31
633
a b a b +=-⎧⎨
+=⎩，解得25
a b =-⎧⎨
=⎩．
随练1.6关于x 、y 的方程组239x y m
x y m +=⎧⎨-=⎩
的解是方程3234x y +=的一组解，那么m 的值是（ ）
A ．2
B ．1-
C ．1
D ．2-
【答案】A
【解析】解关于x 、y 的方程组239x y m x y m +=⎧⎨-=⎩，得72x m
y m =⎧⎨=-⎩
．因此321734x y m +==，2m =，故答
案为A ．
随练1.7小明和小亮解同一道方程组()
()
515
142
2ax y x by +=⎧⎪⎨
-=-⎪⎩，急性子小明把方程（1）中的a 看错了，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩，爱马虎的小亮把方程（2）中的b 看错了，得到方程组的解为5
4x y =⎧⎨=⎩
，
一旁的学习委员小丽说，我可以知道这个方程组的解，你能说说小丽是怎么样求出这个方程组的解
吗？方程组的解是多少？
【答案】14295x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
【解析】根据题意，将31x y =-⎧⎨=-⎩代入方程（2），将5
4x y =⎧⎨=⎩代入方程（1），得到关于a 、b 的方程组
12252015b a -+=-⎧⎨
+=⎩，解得110a b =-⎧⎨=⎩，因此原方程为515
4102x y x y -+=⎧⎨-=-⎩，求出x 、y 的值即可． 随练1.8要使关于x 、y 的方程组21x ky k x y +=⎧⎨-=⎩
的解都是整数，k 应取哪些整数值？
【答案】5,31,1k =---
【解析】解关于x 、y 的方程组21x ky k x y +=⎧⎨-=⎩，得32
12k x k k y k ⎧
=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
．
由于
()326363222k k k k k +-==-+++，13
122
k k k -=-
++． ∵x 是整数，∴21,2,3,6k +=±±±±．∵y 是整数，∴21,3k +=±±．
∴5,31,1 k=---
作业1在二元一次方程组
2310
630
x y
x my
++=
⎧
⎨
++=
⎩
中，当m=_________时，这个方程组有无数组解．
【答案】9
【解析】原方程组可整理为
693
63
x y
x my
+=-
⎧
⎨
+=-
⎩
，故当9
m=时，原方程组有无数组解．
作业2如果关于x，y的二元一次方程组
316
215
x ay
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩的解是
7
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩，那么关于x，y的二元一次方
程组
()()
()()
316
215
x y a x y
x y b x y
+--=
⎧⎪
⎨
++-=
⎪⎩的解是__________．
【答案】
4
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
【解析】由于两个二元二次方程组都是
316
215
m an
m bn
-=
⎧
⎨
+=
⎩的形式，所以解相同．
自我总结课后作业
∴71x y x y +=⎧⎨-=⎩，∴43x y =⎧⎨=⎩．
作业3解关于x 、y 的方程组4258
mx y x y +=⎧⎨+=⎩．
【答案】当25m =时，原方程组无解；当25m ≠时，原方程组的解为1252
8852x m m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】需要对未知数的系数m 进行分类讨论．当125m =，即25m =时，原方程组无解；当2
5
m ≠时，解方程组得1252
8852x m m y m ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
．
作业4解关于x 、y 的方程组：39
21
ax y x y +=⎧⎨
-=⎩
【答案】6a =-时无解，当6a ≠-时，方程组的解为126186x a a y a ⎧
=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
【解析】分类讨论，当321a =
-，即6a =-时，原方程组无解；当6a ≠-时，解方程组得126186x a a y a ⎧
=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪
+⎩． 作业5a 取哪些正整数值，关于x 、y 的方程组25342x y a
x y a +=-⎧⎨-=⎩
的解x 和y 都是正整数？
【答案】1a =
【解析】关于x 、y 的方程组25342x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩的解为2
32
x a y =⎧⎪
⎨-=⎪⎩．因此只需使
32a -（a 是正整数）是正整数即可，故1a =．
作业6已知方程组3247x y mx ny -=⎧⎨+=⎩与2319
53mx ny y x -=⎧⎨-=⎩
有相同的解，求m 、n 的值．
【答案】4
1m n =⎧⎨=-⎩
【解析】由题意得
324
53
x y
y x
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
将
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入
7
2319
mx ny
mx ny
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，得
27
4319
m n
m n
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
4
1
m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
作业7小明与小强同解x、y的方程组
3
315
ax y
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，小明除了看错①中a之外，无其他错误，
求得解为
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；小强除了看错②式中的b之外，无其他错误，求得解为
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，试求出a、b之
值与方程组的解．
【答案】2
a=，2
b=，方程组的解为
3
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
【解析】小明看错①式，求得
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，故
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程②的解
代入求出2
b=
小强看错②式，求得
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，故
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程①的解
代入求出2
a=
因此原方程为
23
3215
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
3
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩。