2011届高考数学圆锥曲线定义应用4

2011届高考数学圆锥曲线定义应用4
圆锥曲线定义的应用
一、基本知识概要
1、知识精讲：
涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；
涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

椭圆的定义：点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a，}的点的轨迹。

抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P|，}0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线重点、难点：培养运用定义解题的意识
2、思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系
二、例题选讲
例1、已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。

由|O1O2|=4有O1（-2，0），O2（2，0）。

设动圆的半径为r。

由
动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|.由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2。

∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|MO2|=-3∴M的轨迹是以O1、O2为焦点，长轴为3的双曲线的左支。

所以M的轨迹方程为（x思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆（a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A
等腰三角形APF1中，
选A
例２：已知双曲线（a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ,求ΔF1PF2的面积．
解：在ΔF1PF2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜sinθ①(2c)2＝｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜cosθ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a,即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜=4a2③由②③得｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜=④将④①代入得ＳΔF1PF2＝b2=b2cot,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot．
思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理
例３：已知Ａ（，３）为一定点，Ｆ为双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线
右支上移动，当｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标．
解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小。

此时Ｍ（，３）。

思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系.12数量关系用定义来进行转换
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆（a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜的最大值和最小值。

解：由椭圆第二定义知｜ＰＦ１｜＝a+ex,｜ＰＦ2｜＝a-ex,则｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜=a2-e2x2,而0≤x2≤a2,所以｜ＰＦ１｜•｜ＰＦ２｜的最大值为a2，最小值为b2。

例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图2-17．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2分别向准线l 引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则
｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜
∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜
＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜
所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因而圆P0和准线l相切．
思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．
变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．
取F1P的中点为O1，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．
在△PF1F2中，O1O为△PF1F2的中位线
故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．
例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。

解：设下顶点为A(x,y)，由题意知x轴为椭圆的下准线，设下焦点为F(x0,y0)
则。

由椭圆定义
将代入即可得椭圆方程为：
三、课堂小结
1、圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷
涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

四、作业布置：优化训练。