高中数学 学期综合测评(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

学期综合测评(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2
C ．2＋3i ＜3＋3i
D ．2＋2i ＞2＋i 答案 B
解析 本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2
＝－9＜2，故选B.
2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：
①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B
解析 本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .
3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D
解析 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12
＋22
＋…＋(n －1)2
＋n 2
＋(n －1)2
＋…＋22
＋12
＝n 2n 2＋1
3
时，
从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )
A ．(k －1)2
＋2k 2
B ．(k ＋1)2
＋k 2
C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2
＋1]
答案 B
解析 n ＝k 时，左边＝12
＋22
＋…＋(k －1)2
＋k 2
＋(k －1)2
＋…＋22
＋12
，n ＝k ＋1时，左边＝12
＋22
＋…＋(k －1)2
＋k 2
＋(k ＋1)2
＋k 2
＋(k －1)2
＋…＋22
＋12
，
∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2
＋k 2
.
5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )
的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，2)
C ．(0,1)
D ．(1,2) 答案 B
解析 由题中图象知e
f ′(x )
≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，
∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．
6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a
x
n ≥n ＋1，则a
的值为( )
A ．n 2
B ．n n
C ．2n
D ．22n －2
答案 B
解析 由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋2
2
x
2≥3，
x ＋27x 3＝x ＋3
3
x
3≥4，…，
可推广为x ＋n n x
n ≥n ＋1，故a ＝n n
.
7．如图，抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则
该闭合图形的面积是( )
A ．1 B.4
3
C.3D ．2 答案 B
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝1，
y ＝－x 2
＋2x ＋1，知⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛0
2(－x 2
＋2x
＋1)d x －⎠
⎛0
21d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 2
0＝43.故选B .
8．设f(x)＝x (ax 2
＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )
A ．(b ，a )
B ．(a ，c )
C ．(c ，b )
D ．(a ＋b ，c ) 答案 A
解析 f′(x)＝3ax 2
＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2
＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b
3a
＝0，所以b ＝0.故选A.
9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2
)＜x 2
＋1的解集为( )
A ．(－∞，－2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2，2) 答案 C
解析 令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，
∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2
)＜x 2
＋1，得f (x 2
)－x 2
＜1，即g (x 2
)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2
)＜g (2)，∴x 2
＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.
10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：
①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2
＋b 2
>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C
解析 若a ＝12，b ＝2
3，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，
故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2
＋b 2
>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.
11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，
且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )
A.9
2
B.
32
2
C.
3
2
D.
9
4
答案 B
解析z*z＝|z|＋|z|
2
＝
2a2＋b2
2
＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝
⎛
⎭⎪
⎫
a＋b
2
2＝
9 4，∴－ab≥－
9
4
，z*z≥ 9－2×
9
4
＝
9
2
＝
32
2
.
12．若0<x<
π
2
，则2x与3sin x的大小关系( )
A．2x>3sin x B．2x<3sin x
C．2x＝3sin x D．与x的取值有关
答案 D
解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.
当cos x<
2
3
时，f′(x)>0，
当cos x＝
2
3
时，f′(x)＝0，
当cos x>
2
3
时，f′(x)<0.
即当0<x<
π
2
时，f(x)先递减再递增，
而f(0)＝0，f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
＝π－3>0.
故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．i是虚数单位，复数
1－3i
1－i
的共轭复数是________．
答案2＋i
解析∵
1－3i
1－i
＝
1－3i1＋i
1－i1＋i
＝
4－2i
2
＝2－i，
∴
1－3i
1－i
的共轭复数是2＋i.
14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值
为l2
16
”，可猜想关于长方体的相应命题为________．
答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝
⎛
⎭⎪
⎫S
6
3
2解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积
为边长的立方．由正方体的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 6 12
，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方
体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭
⎪⎫S 632
.
15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2
－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．
答案 (0,2)
解析 由f ′(x )＝x 2
－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．
16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．
答案
1
191
解析 设第n (n ≥2且n ∈N *
)行的第2个数字为1a n
，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n
＝n ，
∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×20
2
＋1＝191，
∴
1
a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的
点位于第二象限．
(1)求复数z ；
(2)若m 2
＋m ＋mz 2
是纯虚数，某某数m 的值． 解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则a 2
＋b 2＝2，b ＝1.
因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1， 所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ， 所以z 2
＝(－1＋i)2
＝－2i ， 所以m 2
＋m ＋mz 2
＝m 2
＋m －2m i. 又因为m 2
＋m ＋mz 2
是纯虚数，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫23.
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝3x 2
＋2ax －1，
∴f ′(x )＝3x 2
＋2f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x －1，
∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×2
3
－1，
∴f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.
(2)由(1)得f (x )＝x 3
－x 2
－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＞0得x ＜－1
3或x ＞1，
令f ′(x )＜0得－1
3
＜x ＜1，
∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积． 解 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：
所求面积为图中阴影部分的面积．
由⎩⎪⎨⎪⎧
xy ＝1，y ＝3，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，3；
由⎩⎪⎨
⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝1，y ＝1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝－1
(舍去)，故B (1,1)；
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝x ，y ＝3，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，y ＝3，
故C (3,3)．
20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3
－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，某某数k 的取值X 围． 解 f′(x )＝3ax 2
－b . (1)由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧
f′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13
，
b ＝4，
故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3
－4x ＋4.
(2)由(1)可得f′(x )＝x 2
－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.
当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2)
－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)
283
－43
因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值28
3，
当x ＝2时，f (x )有极小值－4
3
，
所以函数f (x )＝13
x 3
－4x ＋4的图象大致如图所示．
若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <28
3
.
21．(本小题满分12分)水以20米3
/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上
底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．
解 设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ， 又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，
所以r ＝15
h ，
所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3
，
所以20t ＝π
75
h 3
，所以h ＝31500
π
t ，
于是h ′＝31500π·13·t － 23
.
当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5
π，
所以当h ＝10米时，水面上升速度为5
π
米/分．
22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1
a n
－1，且a n ＞0，n
∈N *
.
(1)求a 1，a 2，a 3；
(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1
a 1
－1，
所以a 1＝－1± 3.
又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.
S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1
a 2
－1，所以a 2＝5－ 3.
S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1
a 3
－1，
所以a 3＝7－ 5.
(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *
. 下面用数学归纳法加以证明：
①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *
)时，
a k ＝2k ＋1－2k －1成立．
当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝
⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1
－2k ＋1，
所以a 2
k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2k ＋1＋1－2k ＋1－1，
即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *
都成立．。