九年级数学总复习《圆的基本性质》

第一、二讲圆的基本性质
【学习目标】
1、理解圆及其有关概念，会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题。

2、能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题，能运用圆的性质解决有关问题。

3、会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题
【重难点】
1．理解圆及相关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；
2．探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系；
3．能够利用垂径定理解决相关问题．
【学习内容及过程】
模版一圆的概念与性质
一、圆的相关概念
1.圆的定义
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．
（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O
⊙“，读作”
圆O“．
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．
注意：注意：同圆或等圆的半径相等．
2.弦和弧
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．
（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B
（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
3.圆心角和圆周角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
二、圆的对称性
1. 旋转对称性
（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自
身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性
（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．
三、圆的性质定理
1. 垂径定理
（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：
①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．
注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与
勾股定理有：222()2
a
r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第
三个量．
D
【例1】 如图，点A B 、是O 上两点，AB =10，
点P 是O 上的动点（P 与A B 、不重合），连接AP BP 、，过点O 分别做OE AP ⊥于E ，OF PB ⊥于F ，则EF = ．
【例2】 如图，一量角器放置在AOB ∠上，角的一边OA 与量角器交于点C 、D ，且点C 处的度数是20︒，
点D 处的度数为110°，则AOB ∠的度数是（ ）
A 、20°
B 、25°
C 、45°
D 、55°
【巩固】如图，弦CD 垂直于O 的直径AB ，垂足为H ,且CD
=
BD =则AB 的长为 ．
【巩固】如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作PC OP ⊥，PC 交O 于C ．若8AP =,2PB =,
则PC 的长为 ．
P
F
E O B
A
D
C
模版二 圆中角
1. 圆周角定理
（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
注意：
①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
【例3】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =,70C ∠=︒．现给出
以下四个结论：①45A ∠=︒；②AC AB =；③AE BE =；④22CE AB BD ⋅=其中正确的结论的序号是 ．
F E
B
A C
D
O
E
D
C O
B
A
所对的两圆心角相等
所对的两条弦相等 所对的两条弧相等
所对的两条弦的弦心距相等
【例4】如图，BC为半圆O的直径，A D
、为半圆O
上两点，AB=,2
BC=，则D
∠的度数为．
模版三点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
4.确定圆的条件
（5）圆心(定点)，确定圆的位置；
（6）半径(定长)，确定圆的大小．
注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．
5.点与圆的位置关系
（7）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
（8）设O
⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r
>；点在圆上⇔d r
=；
点在圆内⇔d r
<.如下表所示：
二、过已知点的圆
1.过已知点的圆
（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
（2）经过两点A B
、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B
、的圆，这样的圆也有无数个．
（3）过三点的圆：若这三点A B C
、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C
、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．（4）过n()4
n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆
（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．
三、三角形的外接圆及外心
1. 三角形的外接圆
（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接
圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质
（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离
相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形
却有无数个，这些三角形的外心重合.
【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )
A ．2
B ．6
C ．12
D ．7
【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．
【巩固】定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形
ABCD 如图，14cm 12cm AB BC ==，
，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．
【课堂检测】
1.
如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．
第一题图 第二题图 2. 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．
给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；
⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．
【课后作业】
1.
如图，AB 是O ⊙的直径，
点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．
2.
如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40︒ B ．50︒ C ．80︒ D ．100︒
3.
如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )
A.45︒ B .60︒ C.75︒ D.90︒
4.
如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．
5.
如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；
（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．
P
P
E
C B
A。