北京市丰台区2019届高三5月综合练习(二模)数学(理)试卷【含答案及解析】

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■1 5. A. C.
B.
D.
"(■1) ,贝IJ . • 的夹角为
北京市丰台区2019届高三5月综合练习(二模)数
学(理)试卷【含答案及解析】
姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________
题号
-二二



总分
得分
、选择题
1.
已知集合=
=
,那么=
A. I J
B.
] C. [
:
D. I- J I
2. 下列函数中,既是偶函数又是
• 上的增函数的是
A. 、 -
B. ■_
_-f -
C.
D.
3. 在极坐标系中,点| 中j 到直线«0的距离等于 ()
A .遲
B .斤
C . MI
D . 2 2 ----------------------------- 9 ---------------------------- 1 ----------------------------------
F 列双曲线中,焦点在
轴上且渐近线方程为]
-■的是
5
1
5 邛
I L 严
”曲
11*

一 一
B. 一 一、
C. 一 - . -■
D. -
4 4
4
h
+
4. A.
JT
已知向量
6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积
A. '
B.
C. /
D. 2
7. 表示集合中所有元素的和,且^匚躬二H ,若一一能被3整
除,则符合条件的非空集合的个数是
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
8. 血药浓度(Plasma Concentration )是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体
内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成
人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
! 1 --------------------- 托t* 恤--------------- r !
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,不正确的个数是
①首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
②每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
A. 1 个___________
B. 2 个___________
C. 3 个___________
D. 4 个
、填空题
9.
在复平面内,复数——L 对应的点的坐标为
二、选择题
10. 执行右图所示的程序框图,若输入 ==6的值为6,则输出的x 值为 ______________
y>b
12.
若x , y 满足{ J :. 1-且-—“*
的最大值为10,
x +,y <)n ・
贝H .
13. 已知函数f ( x ) 的定义域为R .当:< |时,:* -.--I ■■ 1 -;当
—-
--时,
;当•
•时, 「「一 「「,V 「一 I _______________ •
四、
填空题 11. 点•从出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点
,若点人的坐标是
14. 已知为•的外心,且八广二,*门V::宀
①若I ,^V •「_______ ;
②若.^ ,则的最大值为 ________ .
五、解答题
15・在锐角中
(I)求/ A的大小;
(D)求矩-mJ C + - 的最大值•
16. 某社区超市购进了A , B , C , D 市随机调查了15位顾客(记为一. 下(单位:件):p
四种新产品,为了解新产品的销售情况,该超m…:出)购买这四种新产品的情况,记录如
17. ly:宋体;font-size:10.5pt"> 客


%
四(11
A 1 1 1 1 1
B 1 1 1
1 1 1 1 1 1
(I)若该超市每天的客流量约为销售量(单位:件);1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D
300人次,一个月按30天计算,试估计产品A的月
(H)为推广新产品,
超市向购买两种以上(含两种)新产品的顾客赠送
现有甲、乙、丙三人在该超市购物,记他们获得的电子红包的总金额为 X , 求随机变量X 的分布列和数学期望; (川)若某顾客已选中产品 B ,为提高超市销售业绩,应该向其推荐哪种新产品?(结 果不需要证明) 18. 如图所示的几何体中,四边形 磁二二 为等腰梯形, //_ , ■ ' ?
"', ,四边形了为正方形,平面 平 面曲幕:.
(I)若点打是棱 「的中点,求证: //平面•; (H)求直线
与平面 乙・「.厂所成角的正弦值;
(川)在线段 乳:上是否存在点 八,使平面,「「T 平面■ ■) ?若存在,求
——-的值;若不存在,说明理由
19. 已知函数I.'.'.
(I)当 = 时,求曲线 -I |在点■ . ■ I .'处的切线方程; (n)证明:对于 Vrte(O.e) , /(.V )在区间
上有极小值,且极小值大于
0.
20. 已知椭圆E 的右焦点与抛物线 F = 4 的焦点重合,点M L. — 在椭圆E 上.
I 1)
(I)求椭圆E 的方程; (n)设二I '■,直线 —匕-卜[与椭圆E 交于A , B 两点,若直线PA , PB
均与圆
I 1相切,求 的值•
21. 若无穷数列;.::满足:一 .「,对于| ,都有
匚―沈十(其中•为常数),则称;--具有性质“「.•丨”•(I)若I 具有性质“ _■ I .",且一 ^ , -,
-■- :,求;
(H)若无穷数列;.•:是等差数列,无穷数列;.-;是公比为正数的等比数列,订=:,=.'',:,八..二厂.,:.,判断:「是否具有性质
“一’ __ ”,并说明理由;
(川)设I 既具有性质“,”,又具有性质”,其中
W我泡肘, , 互质,求证:;.、:具有性质
参考答案及解析
第1题【答案】
【解折】由题意AuB = {x\x>l}・故选
第2题【答案】

【解析】y= -卫为奇径軌且单调递
减错误:颐"逼偶函数又是(。

+对上的増趨t正确口風丫“〔定対妫(0亠巧旳非奇非偶函駄错误;D 项,F -叱H)走义域为(Y一0)T为非奇非偶函埶错误:综上可规选艮
第3题【答案】
【解析】
试题分析;将点坂名化为直角坐标为(口),将直线祖/-"0化为直角坐标方程klv-v-l = 0 ,则所求距离为c故A正确。

V2 2
第4题【答案】
D
【解析】由题意眾曲线焦点在神由上舟際朋选项疋项,渐近线为,错误,故选D・
第5题【答案】
&
【解析】
-r + —^(™1) | - -
8如劭=竺丄= -------------- —= 1 '又3』圧(0")‘所以和』的夹角対「故选E・
■同同1x2 2 3
第6题【答案】
第9题【答案】
【解析】 宙三视團可知该几何体为四揍锥
・棱锥的高为2,複锥底面正万形的对角线为乙所以潑锥底面正方形的边长为厲」设四棱锥为F- ABCD,则PR =辭+迂)工晁』A 二品乜=1近^AB = ^2 >
二ccs^PAB =时W 二…仏a 斗2屁后羊屁即最大的侧面的面积为馆
2 工 2(2 22 2 2 2
,故选匚
第7题【答案】
B
【解析】
0-2.3.4.5},所次非空
集合灵可以是:
{3}.{L2}^115}42,4}.{4.5}{1.2J}41J,5},{2,3.4}1{14.5}.{L2.4,5}.{L2,3.4.S},故选E .
第8题【答案】
【解析】 对于①,由團象中最低有效浓度与 体内血液浓度的第一个交点坐标可知正确浮抒◎当第二个单位的药服用一小时时的血液浓度为幢液度
点睛-;
覆誌常勰瘵二个单位的药物诂到峰浓虧两个单

si 观一
,
WW - aw w i-_
--
何视,
几臺
体無
立咼分
考一们
本鸯正幕交e -PQ
-^•

(4-3)
【解析】 应的点的坐标为WY),应填(4宀3)・
二G*斗卄,=4—引,故对
第10题【答案】 【解析】 2 ;第三貂f 翔;尸0,灿:符合題鳶输出E,故填0
第一次循环::第二农循环

i
4

-T-


IB
.fe
知我 目虽
岀相
0'

B
规程
24
25 【解析】 点*从(L0)出发,沿单位圆按
逆时针方向运动到点R ,S.^AOB=a ,所以■点圧的坐标是(cosrz.sina),故ggn
3 4
=—,smcr =— 5 5
第12题【答案】
【解
析】
.帰足的可行域如團所示,且旳〉3,又xF十屮衰示可行域内的点(匚町与原点(0一0)连线的距禽的平方,由图可抓若过0作AB边的垂线,垂足必落在线段朋的延长线上,可得OB>0A ,
,所以工斥―厅“,=10,解得回X或—肌舍人故埴去
点睛:本题考查简单的线性规划.应用利用线性规划求最值「一般用團網拆絹其步骤是:⑴在平面直角坐标系内作出可忙或・0考虑目标函数的几何意义,將目标跚进行变形.⑶确定最优解;在可行域內平行移动目标函数变形后的直线『从而确定最优解•⑷求最值:将最优解代入目标函嫌卩可求出最丈值或最小值”
第13题【答案】
2-hi2
【解'析】由蠶意,
/(8)=/(2x3 +2) = /(2)=V(-2>-(ln2-2)=2-ln2 做填252 .
第14题【答案】
【解析】ZC = 9(f〉则O为朋边的中点,即心斗丿“「故填三;②设佃Q的三边长分另烧毗心因為0为"BC
2 2 2
1 i , 1
——一丽•芮=久百七云•貶丁「=比十〒叱
眇卜4且肌二丄酬“眈倚以{______________ _______ _ 一、厠{;1」,化简
£O*£C=A^4>BC * pBC'丄/二丄 +应一
2 2
.1 1 . 2 a
Zc + —= -^c A = . "'* A 1 )>
得:{~ ",解得:{f ",则久■-耳+了讦空丁,故埴二.
1. , 1 2 c 3 亡3^7/ 3 3 3 3-
—ZC 4 = —0 // ------
2 2
3 3n
第15题【答案】
(1) A=-(2)见解析
6
【解析】试题分析:(1)由正弦走理可得沁2•又锐角盈朋G所以4手;(2>由非夕月得
2 u o
握詁-mJ C 7二岳扇—©(+C),根將化一公式化简解析式当迪曲一夕)=1 ,即卄严V, S 丿 6 .1
时,JL冋-g* C - 11有最大值&与锐角UBC矛盾’故无最大值.
试趣解析:解:(I )由正弦定理得2盟nJ粋口识;
因为0 <^<K ?所以,siitff >0 ,从而= 1
勺锐角^ABC f

(II)因为- CQS C ^― l-V^SlttS- C»S(-^+ C)
I 6?
肓JIui出十匚o^B
=2sui(5+ —)
当B--时,忑专夕有最大值為
3\ &/
第16题【答案】ji
与锐甬“L?C矛盾,故伍讪-|无最犬值
<1) 3000⑵见解祈(3)产品Q .
【解析】 试题分析:(1)用产品A 的频数比 上销售总数「乘以人数,再乘以天数即可估计产品人的月销售豊顾客购买两种(含两种)以上新产 品的概率为P=^ = | 可取0, 2, 4, 6,分别计算出概率,列出分布列并求出期望值:(3)产品D. 试题解析:
< I )吉乂300*30 = 3000 (件),
答:产品A 的月销售量约为3000件.
Q 2
< II )顾客购买两种(含两种)臥上新产品的概率为p=+=I
X 可取0, 2, 4, 6,
P(^=0)=(-y = — , P(.¥=2) = C1(^)2--—, 5 125 J 5 5
125 F 心治C ;(护討袪,曲6帀(討唱,
所1加分布列为:
XO 2 4 6
pj_ 36 54 27
I2S 125 125 125
<IID 产品D.Q 所以£(小0京+2x 36 125 54
125
27
125
450 ~125 18 T
第17 题【答案】
⑴见解祈⑵浮<3)见解析
【解析】试题分析:(1)由EF // BG
,且EF=BG ,故四边形EFBG为平行四边形,所臥EG //FB,所以EG //平面刃M ;〈2)因为平面CDEF丄平面/BCD ,所以ED丄平面加CD •在△.IffD中,由余弦定理'得BD=^3 ,所以3丄加,如風以D为原為以加• DB DE所在直线分别为"二轴'建立空间坐标系百出各点坐标,求岀平面抵去向量,根1E线面角公式求值即可:(3)假设线段FC上存在点〃,设
H -py.r](O<r<l),分别求出两个平面的法向量令数量积为0,方程无解,故不存在.
试题解析:(I )证明:由已知得EF //CD ,且EF二CD・
因为ABCD为等腰梯形,所以有BG // CD・
t)G是棱丽的中点,所以
所以M UBG;且EF=BG ,
故四边形砂G为平行四边形, 所叹EG // FB .
因为FBU平面別护、EG(I平面EDF ,
所決EG 〃平面•
(II >因为四边形CDEF为正方形,所以ED丄DC .
解;
因为平面CDEF丄平面ABCD , 平面CDEFc平面ABCD = DC;
DEu平\S\CDEF ,
所以肋丄平面.
第18 题【答案】
<D y = o⑵见解析
【解析】试题分析;(1)因为/(1)=0 ,
f (1)=0 ,曲线v = /(x)在点处的切线方程为:(l)(x-l),代入化简艮呵: <2)因为0<a<e ,mrG)=e r--在区间-,1 | 1罡单调递增函数.因为f W-亡<0 ,Z(l)=e-<7>0 ,所咲玉,使得0-邑=0 ,故/•(•*)在°讥]丄单调递疝在le } k e /
(r0,l)±单调递增,所臥/(工)有极小值/(©)因为』-邑=0 ,所叹
x o
/(%)二/“(1111。

+1)* 丄-lin0-l .枸進函数束导判断单调性与最值即可得证
丿
试题解析:(I ) /(X)的定义域为(0-2),
= e ,所iy x/(x)=e,-e(liiv+l),所叹/'(x)=J-£ .
X
EPg/(i)=o , f (i)=o ,
所以曲线”u/(X)在点(打⑴)处的切线方程为Ju。


<n因为賊在区间(訥上杲单调递増函数・
八1)=亡-c>0 ,
所以丸4列,使得』-严. 所以占),八对<0, V.re(V l),广(戈)>0,
故/(X)在;|,xj上单调递减,在(心.1)上单调递増, 所以/(X)有极小值f(\).
因为0-2=0,
第19 题【答案】
<1)匚4二=1 (2) k = \
4 3
【解析】 试题分析;<1)由焦点坐标为 (L0)以及椭圆的定义求出方程;(2)设zl B ( WJ),因为直线叽FB 与圆x 2 -by 2=r 2 (r > 0)相切廝以上“十畑=0,将坐标代入化简,联立椭圆与直线,写岀韦达定理代入,即可求得MS.
试题解析:解:(1 )因为抛物线干二4的慝点坐标为(L0),所CU = 1 ,
所次24二2+』—1 +2: =4 ,
2叽2丿
艮卩g = 2 ・因为b 2 = a 2~c 2 =4-1 = 3 ;
所以椭圆啲方程为兰+疋=1 . 4 3
< ID 设叫,乃)』&2必)〉
因为直线PA, P8与圆工4-V 2 =r 2 (/* > 0)相切,
所以S +上必=°
歸斗踪泸。

所叹(话+1)(兀十4)+(后2 + 1 )(齐+4 ) = 0 ,
整理,得 lkx }x 2 4(4i + 1)(^ +x : )+8=0 •①
X 2 尸
联立彳丁亠寸"得(3 + *片+ 8总-8 = 0 , y = Ax+b
代入⑪得A = 1 .
所以:
^ +工
2=_g 3+4“
第20 题【答案】
<1) a7=5 , a3=10⑵见解析(3见解析)
【解析】试题分析:(1)因为{© }具有性
质仃(320) ” ,所以©杓-為=0 , «>2再根据已知数据,求出q即可;(2)设等差数列{"}的公差为〃,由*=2 , ®=8 ,故3=3—1.设等比数列«”}的公比为勺,由C5=2,€, = S ,故c”二,所以弔二3刃一1十2_".若{①}具有性质"尸(2丄0)” ,则%2一弘=° ,心1,又已工% /故⑷不具有性质"P(2 10)・;⑶因为匕}貝有性庚"P(,.2心)";所以如一血=«、沦2 .(D
因为M具有性质“ PU・24 ) ” ,所以4“ F =«,心2 •②,化简整理得
• •。

十一①=,得证.
试题解析:解:(I )因为{©}具有性质“P(320)J所以-心=0 , v>2 .
由 6 二3 '得仙=a$ 二3〉由q 二5,得 g = 5 •
因为q +q十①=18 ,所以a6 =10 ,即n3 =10 .
<11)初}不具有性质仃(2.1.0)
设等差数列{6}的公差为〃,由片=2 , 心,
得202二6 ,所以〃二3 ,故厲6-1 .
设等比数列匕}的公比为9,由5 = 2 , c产8 ,
得r =7,又 q>0 ,所以g 二+ ,故G 二2_",
4 2
所以4二3”一1十24-” .
若{©.}具有性质"尸(2丄0)",则^+2~^=0 ,心1 .
因为①=9 ,仞=】2 ,所以碍工码,
故⑺}不具有性质“尸(2丄0) \
(III)因为{①}具有性质“F亿2.%)",所以% - ©二« , n>2 .①。

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