浙江省慈溪中学2014届高三第一学期10月月考数学文试题

浙江省慈溪中学2014届高三第一学期10月份月考试卷
数学（文）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
1．设全集U =R ，{(3)0}A x x x =+<，{1}B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合 为（ ）
A ．(3,1)--
B ．(1,0)-
C ．[1,0)-
D ．(,1)-∞-
2．如果复数(2)i b i - (其中b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( ) A ．
12
B ．12
-
C ．1-
D ． 1
3．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >。

若232S a >，则q 的取值范围是（ ） A ．1(1,0)
(0,)2- B ．1
(,0)(0,1)2
-
C ．1(,)
(1,)2
-∞-+∞
D ．1
(,1)(,)2
-∞-+∞
4.设R b a ∈,，则“22b a >”是“033>>b a ”的 （ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任79H N 禽流感防御 宣传工作,则在选出的宣传者中,男、女都有的概率为（ ）
A. 158
B. 21
C. 52
D. 15
4
6.根据右边的程序框图，若输入的实数1=x ，则输出的n 的值为（ A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7.先将函数x x x f cos sin )(=的图像向左平移4
π
个长度单位，再保持所有点的纵坐标不 变横坐标压缩为原的2
1
，得到函数)(x g 的图像．则使)(x g 为增函数的一个区间 是（ ）
A ．)0,(π-
B . )2,
0(π C . ),2(ππ D . )2
,4(π
π 8. 定义在R 上的函数()y f x =，满足(1)()f x f x -=，1
()()02
x f x -'>，若12x x <且
121x x +>，则有（ ）
． A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x > C ．12()()f x f x = D ．不能确定
9．已知双曲线22219y x a
-=的两条渐近线与以椭圆22
1259y x +=的左焦点为圆心、半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A ．54
B ．53
C ．43
D ．65
10.对两个实数y x ,,定义运算“*”，y x y x ++=*1．若点))(,(y x y x P *-*在第四象限，
点))3()(,(y x x y x Q +-*-*在第一象限，当Q P ,变动时动点),(y x M 形成的平面区域为Ω，则使Ω⊆><++-)}0()1()1(|),{(2
2
2
r r y x y x 成立的r 的最大值为（ ）
A ．2
B ．5
C.
5
5
D.
2
2 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11．已知2log x x f (x)f (x ) x >⎧=⎨+≤⎩0
10
，则)1(-f =__________
12．若)2
sin(
3)6
sin(απ
π
α-=+
，则=α2tan
13．如右图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD AC ⋅=_________
14．数列{}n a 满足*11
()2
n n a a n N ++=
∈，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n
项和。

则
21S =__________
15．设2z x y =+，其中y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，若z 的最小值1，则k 的值为
___
16. 定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足
0()()
()f b f a f x b a
-=
-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点。

已知函数
2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是 。

17．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：∀x ∈R 恒有f (x +2)=f (x )－f (1)．且当x ∈［2，3］时，f (x )=－2(x －3)2．若函数y =f (x )－log a (x +1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为___________
三、解答题：本大题共5小题，共72分.
18．已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<图象上的任
意两点，若12||2y y -=时，12||x x -的最小值为2
π
，且函数()f x 的图像经过点1(0,)2
．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin cos 21A C B +=，求()f B 的取值范围．
19. 为了降低能损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔
热层，每年能消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
20.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前10项和1055S =，且248a a a ，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)2n n n n b a =-+，求{}n b 的前n 项和n T .
21．已知函数32()10f x x ax =-+，
（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；
（II ）在区间[]1,2内至少存在一个实数x ，使得()<0f x 成立，求实数a 的取值范围．
22. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点(,)21. （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆1)1(2
2
=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围.
数学（文）答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
1．设全集U =R ，{(3)0}A x x x =+<，{1}B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合 为（ A ）
A ．(3,1)--
B ．(1,0)-
C ．[1,0)-
D ．(,1)-∞-
2．如果复数(2)i b i - (其中b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝(B ) A ．
1
2
B ．12
-
C ．1-
D ． 1
3．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >。

若232S a >，则q 的取值范围是（ B ） A ．1(1,0)
(0,)2- B ．1
(,0)(0,1)2
-
C ．1(,)
(1,)2
-∞-+∞
D ．1
(,1)(,)2
-∞-+∞
4.设R b a ∈,，则“22b a >”是“033>>b a ”的 （ B ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任79H N 禽流感防御 宣传工作,则在选出的宣传者中,男、女都有的概率为（ A ）
A. 158
B. 21
C. 52
D. 15
4
6.根据右边的程序框图，若输入的实数1=x ，则输出的n 的值为（A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7.先将函数x x x f cos sin )(=的图像向左平移4
π
个长度单位，再保持所有点的纵坐标不 变横坐标压缩为原的2
1
，得到函数)(x g 的图像．则使)(x g 为增函数的一个区间 是（ D ） A ．)0,(π-
B . )2,
0(π
C . ),2(ππ
D . )2
,4(π
π
8. 定义在R 上的函数()y f x =，满足(1)()f x f x -=，1
()()02
x f x -'>，若12x x <且121x x +>，则有（A ）
． A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x > C ．12()()f x f x = D ．不能确定
9．已知双曲线22219y x a
-=的两条渐近线与以椭圆22
1259y x +
=的左焦点为圆心、半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54
B ．53
C ．43
D ．65
10.对两个实数y x ,,定义运算“*”，y x y x ++=*1．若点))(,(y x y x P *-*在第四象限，
点))3()(,(y x x y x Q +-*-*在第一象限，当Q P ,变动时动点),(y x M 形成的平面区域为Ω，则使Ω⊆><++-)}0()1()1(|),{(2
2
2
r r y x y x 成立的r 的最大值为（ C ）
A ．2
B ．5
C.
5
5
D.
2
2 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．已知2log x x f (x)f (x ) x >⎧=⎨+≤⎩
10，则)1(-f =_____0_____
12．若)2
sin(
3)6
sin(απ
π
α-=+
，则=α2tan
13．如右图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD AC ⋅=_________－32
14．数列{}n a 满足*11
()2
n n a a n N ++=
∈，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和。

则21S =____6______
15．设2z x y =+，其中y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，若z 的最小值1，则k 的值为___
1
16. 定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足
0()()
()f b f a f x b a
-=
-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点。

已知函数
2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m
的取值范围是
()0,2 。

17．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：∀x ∈R 恒有f (x +2)=f (x )－f (1)．且当x ∈［2，3］时，f (x )=－2(x －3)2y =f (x )－log a (x +1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a
的取值范围为____⎛
⎝_______
三、解答题：本大题共5小题，共72分.
18．已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<图象上的任
意两点，若12||2y y -=时，12||x x -的最小值为
2
π
，且函数()f x 的图像经过点1(0,)2
．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin cos 21A C B +=，求()f B 的取值范围．
18、(I)由题意知22T π=,T π∴=，又2,2T π
ωω=∴=
1(0)sin 2f ϕ==且(0,)2πϕ∈，6π
ϕ∴=
()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ …6分
（II ）2sin sin cos 21A C B +=
22sin sin 1cos 22sin A C B B ∴=-=即2sin sin sin A C B = 2ac b ∴=
由222221cos 222a c b a c ac B ac ac +-+-=
=≥，得(0,]3B π
∈ 52(,]666B πππ∴+∈,()sin(2)6f B B π=+取值范围为1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
…14分
19. 为了降低能损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能消耗
费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k
3x ＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热
层，每年能消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和．
(1)求k 的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)当x ＝0时，C (0)＝8，即k
5
＝8，所以k ＝40，
所以C (x )＝40
3x ＋5
，
所以f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋800
3x ＋5
(0≤x ≤10)． …6分
(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋800
3x ＋5－10
≥2
2(3x ＋5)·800
3x ＋5
－10
＝70，
当且仅当2(3x ＋5)＝800
3x ＋5
，即x ＝5时，等号成立，因此最小值为70，…14分
所以，当隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元． 20.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前10项和1055S =，且248a a a ，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)2n n n n b a =-+，求{}n b 的前n 项和n T . 20. 解(Ⅰ) 由已知得：
⎩⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧
++=+=⨯+
01192)
7)(()3(552
910101211121
1d a d d a d a d a d a d a 因为 0≠d 所以 1a d =
所以 119211=+a a ，所以 1,11==d a
所以 n n a n =-+=)1(1 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧++-=)(2
)
(2为偶数为奇数n n n n b n
n
n
(ⅰ) 当n 为奇数时
2
5
222
1)21(221)
222()43()21(22221122-
-=--⋅+
--=++++-++-++-=+-++++-=+n n n n n T n n n n
n
(ⅱ) 当n 为偶数时
2
2
22
1)21(22)
222()1()43()21(22221122-+=--⋅+=++++++-+++-++-=+-++++-=+n
n n n n T n n n n
n
所以 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+--=++)
(222)
(2
52211为偶数为奇数n n n n T n n n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分
21．已知函数32()10f x x ax =-+，
（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；
（II ）在区间[]1,2内至少存在一个实数x ，使得()<0f x 成立，求实数a 的取值范围．21． 解：（I ）当1a =时，2
()=32f x x x '-，(2)=14f ， …………………2分 曲线()y f x =在点(2(2))f ， 处的切线斜率k =(2)=8f '，
所以曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为820x y --=． …………6分 （II ）解1：22
()=323()3
f x x ax x x a '-=-(12)x ≤≤…………7分 当
213a ≤，即3
2
a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[],12上为增函数， 故()=(1)min f x f =11a -，所以11a -0<， 11a >，这与3
2
a ≤矛盾………9分
当2123a <<，即3
32
a <<时，
若2
13x a ≤<，()0f x '<；
若2
23
a x <≤，()0f x '>， 所以2
3x a =时，()f x 取最小值，
因此有2()3f a 0<，即338210273a a -+310
10027
a =-+<，解得3a >，这与
3
32a <<矛盾； ………………12分 当2
23
,a ≥即3a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[],12上为减函数，所以()=(2)min f x f =184a -，所以1840a -<，解得9
2
a >，这符合3a ≥．
综上所述，a 的取值范围为9
2
a >． ………………15分
解2：有已知得：2
2310
10x x x x a +=+>， ………………8分 设()()21102≤≤+
=x x x x g ，()3
10
1x x g -
='， ……………10分 21≤≤x ，()0<'∴x g ，所以()x g 在[]2,1上是减函数． ……………12分
()()2
92min =
=g x g ， 故a 的取值范围为9
2a > …………………………………………15分
22. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点(,)21. （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆1)1(2
2
=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围.
22. 解(Ⅰ) 设抛物线方程为py x 22
=， 由已知得：p 222
= 所以 2=p
所以抛物线的标准方程为 y x 42
= ┈┈┈┈┈4分(Ⅱ) 因为直线与圆相切， 所以
t t k k t 2111222
+=⇒=++ ┈┈┈┈┈ 6分
把直线方程代入抛物线方程并整理得： 0442=--t kx x …………7分
由016)2(1616162
2
>++=+=∆t t t t k
得 0>t 或3-<t ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分 设),(,),(2211y x N y x M ， 则k x x 421=+
t k t x x k t kx t kx y y 242)()()(2
212121+=++=+++=+
由))24(,4(),()(2
2121λλλλt k k y y x x ON OM OC +=++=+= 得 ))24(,4(2
λλt k k C +┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 11分 因为点C 在抛物线y x 42=上， 所以，λλ)24(41622
2
t k k += 421
1421212
2++=++=+
=⇒t t
t t k t λ…………13分 因为0>t 或3-<t ，
所以 442>+t 或 242-<+t 所以 λ的取值范围为 )4
5,1()1,21( ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分。