2.7电磁场的边界条件解析
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
1
2.7 电磁场的边界条件
en
媒质1 媒质2
• 什么是电磁场的边界条件?
et
实际电磁场问题都是在一定的物理空
间内发生的，该空间中可能是由多种不同
媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 界面两侧的电磁场物理量满足的关系。
中国矿业大学
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
将上式对时间 t 积分，得
1 2 7 8 H1 ( z, t ) ey [2 10 cos(15 10 t 5 z ) 107 cos(15 108 t 5 z)] A/m 0 3
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
14
同样，由 E2 2 H 2 ，得 t 4 H 2 ( z, t ) ey 107 cos(15 108 t 5 z ) A/m 30 （3）z = 0 时
tg1 1 同理可证： tg 2 2
E1 sin 1 E2 sin 2 tg1 1 tg 2 2
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
10
2. 理想导体表面上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 特征：理想导体内没有电磁场 设媒质2为理想导体，则E2=D2=H2=B2=0 则理想导体表面上的边界条件为：
则得：
D1z -D2 z z 0 =0
D1z
z 0
D2 z
D1z
z 0
0 (3 z )
z 0
3 0 z 0
3 0 3 E1z z 0 z 0 z 0 1 5 0 5 3 最后得到： E1 ( x, y,0) ex 2 y e y 5 x ez 5 D1 ( x, y,0) ex10 0 y e y 25 0 x ez 3 0
en (H1 H 2 ) 0 H1t H 2t E E 1t en (E1 E2 ) 0 2t 或 en ( B1 B2 ) 0 B1n B2n e ( D D ) 0 D1n D2n n 1 2
en
媒质1 媒质2
et
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
分界面上的自由电流面密度
4
边界条件的一般形式：
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
则： 因为边界条件只在边界处成立，故只能求得分界面z＝0 处的值。
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
17
例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电 场强度
π E ey E0 sin( z ) cos(t k x x) V/m d 试求:（1）磁场强度 H ；（2）导体表面的电流密度 J S 。 H , 有 解 （1）由 E 0 z t H 1 E y t 0 d 1 E y E y O ( e x ez ) 0 z x
x
E0 π π π [ex cos( z ) cos(t k x x) ez k x sin( z )sin(t k x x)] 0 d d d
H1t J s E 0 1t 或 B1n 0 D1n S
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第2章
电磁场的基本规律
11
H1t J s E 0 1t B1n 0 D1n S
理想导体表面上的电流密度等于H 的切向分量 理想导体表面上 E 的切向分量为0 理想导体表面上 B 的法向分量为0 理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量
1 0、 1 0, 例 2.7.2 如图所示，1区的媒质参数为 1 5 0 、
ez
媒质1
媒质2
试问关于1区中的 E1 和 D1 能求得出吗？
ey
ex
解 ： 根据边界条件，只能求得边界 设E1 ex E1x ey E1 y ez E1z 面z＝0 处的 E1 和 D1 。
D 右边 = J dS dS S S t
0 s 0
J S dl J S e p l
l
故得： [en (H1 H 2 )] ep l J S e p l
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en (H1 H 2 ) J S 或H1t H 2t J S
2 H1 (0, t ) ey [2 10 cos(15 10 t ) 107 cos(15 108 t )] 0 3
7 8
1
ey
4 30
107 cos(15 108 t ) A/m
H 2 (0, t ) ey
4 30
107 cos(15 108 t ) A/m
8
2.7.2 两种常见的情况
1. 两种理想介质分界面上的边界条件
在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS＝0 媒质1 媒质2
en
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
S
B dS 0
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
6
（2）电磁场量的切向边界条件
在分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则： D en H1 C H dl S ( J t ) dS Δ l 媒质1 附录A1.1式： ep et
H1t H 2t J S E1t E2t B1n B2n D1n D2n S
分界面上的自由电荷面密度
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电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
5
边界条件的推证
（1）电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一
点P，作一个包围点P 的扁平圆柱 曲面S，如图表示。（Δh →0）则：
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
媒质1 Δl
7
同理由MEⅡ可证明电场的边界条件：
B C E dl S t dS
则： en (E1 E2 ) 0
en
E1
Δh
0
S 0
ep et
媒质2
E2
或
E1t E2t
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电磁场的基本规律
E1 y 5 x
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16
D1x 1 E1x 10 0 y, D1 y 1 E1 y 25 0 x
又由 en ( D1 D2 ) 0 ，有
ez [ex D1x e y D1 y ez D1z (ex D2 x e y D2 y ez D2 z ]z 0 0
“电立不躺，磁躺不立” ——在导体的表面处，理想介质中的电场只有法向分量 而磁场只有切向分量。
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电磁场的基本规律
12
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0 , z > 0 区域的媒质参数为 2 5 0、2 200、 2 0 。若媒质1中的电场 强度为 E ( z, t ) e [60cos(15 108 t 5 z ) 20cos(15 108 t 5 z )] V/m 1 x 媒质2中的电场强度为
由 en ( E1 E2 ) 0 ，可得：
ez {ex E1x ey E1 y ez E1z [ex 2 y ey 5 x ez (3 z )]} ey ( E1x 2 y ) ex ( E1 y 5 x) 0
则得
z 0
E1x 2 y,
A BC
左边=(H1 H 2 ) l
l e p en l
B (C A) (C A) B
媒质2
H2
Δh
(H1 H 2 ) l (H1 H 2 ) (e p en ) l [en (H1 H 2 )] e p l
E1 (0, t ) E2 (0, t )
得到
A 80 V/m
B1 H1 1 （2）由 E1 ，有 t t
B E t
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 ey [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z )] 0
2
本节内容
2.7.1 边界条件一般表达式
2.7.2 两种常见的情况
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电磁场与电磁波
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电磁场的基本规律
3
2.7.1
边界条件一般表达式
D C S ( J t ) dS B dS C E dl S t S B dS 0 S D dS V ρdV H dl
E1 (0, t ) ex [60cos(15 108 t ) 20cos(15 108 t )]
ex 80cos(15 108 t ) V/m
E2 (0, t ) ex A cos(15 108 t ) V/m
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第2章
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13
ห้องสมุดไป่ตู้
因分界面上电场强度的切向分量连续，即：
可见，在分界面上（z = 0）处，磁场强度的切向分量是连续的。 （因为两种煤质均不导电，则在分界面上不存在面电流。故磁场 强度的切向分量是连续的）
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15
2区的媒质参数为 2 0、2 0、 2 0 。若已知自由空间的 电场强度为 E2 ex 2 y ey 5z ez (3 z ) V/m
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
中国矿业大学
en
媒质1 媒质2
et
en en en en
H1 J S E1 0 B1 0 D1 S
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H1 ( z, t ) 和 H 2 ( z , t ) ； （3）验证 H1 ( z, t ) 和 H 2 ( z , t ) 满足边界条件。
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
E2 ( z, t ) ex A cos(15 108 t 50 z ) V/m
媒质1 媒质2
en
ΔS
D1
Δh
S
P
D2
S
D dS ρdV
V
(D1 D2 ) en S S S
或
即： en (D1 D2 ) S 同理 ，由
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D1n D2n S
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
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H 的切向分量连续 E 的切向分量连续 B 的法向分量连续 D 的法向分量连续
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方向角： tg1 1 tg 2 2 tg1 1 tg 2 2
媒质1 媒质2
en 1
2
证明：
D1n D2n 1 E1n 2 E2 n 1 E1 cos 1 2 E2 cos 2 又 E1t E2t
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电磁场的基本规律
1
2.7 电磁场的边界条件
en
媒质1 媒质2
• 什么是电磁场的边界条件?
et
实际电磁场问题都是在一定的物理空
间内发生的，该空间中可能是由多种不同
媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 界面两侧的电磁场物理量满足的关系。
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将上式对时间 t 积分，得
1 2 7 8 H1 ( z, t ) ey [2 10 cos(15 10 t 5 z ) 107 cos(15 108 t 5 z)] A/m 0 3
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同样，由 E2 2 H 2 ，得 t 4 H 2 ( z, t ) ey 107 cos(15 108 t 5 z ) A/m 30 （3）z = 0 时
tg1 1 同理可证： tg 2 2
E1 sin 1 E2 sin 2 tg1 1 tg 2 2
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2. 理想导体表面上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 特征：理想导体内没有电磁场 设媒质2为理想导体，则E2=D2=H2=B2=0 则理想导体表面上的边界条件为：
则得：
D1z -D2 z z 0 =0
D1z
z 0
D2 z
D1z
z 0
0 (3 z )
z 0
3 0 z 0
3 0 3 E1z z 0 z 0 z 0 1 5 0 5 3 最后得到： E1 ( x, y,0) ex 2 y e y 5 x ez 5 D1 ( x, y,0) ex10 0 y e y 25 0 x ez 3 0
en (H1 H 2 ) 0 H1t H 2t E E 1t en (E1 E2 ) 0 2t 或 en ( B1 B2 ) 0 B1n B2n e ( D D ) 0 D1n D2n n 1 2
en
媒质1 媒质2
et
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分界面上的自由电流面密度
4
边界条件的一般形式：
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
则： 因为边界条件只在边界处成立，故只能求得分界面z＝0 处的值。
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例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电 场强度
π E ey E0 sin( z ) cos(t k x x) V/m d 试求:（1）磁场强度 H ；（2）导体表面的电流密度 J S 。 H , 有 解 （1）由 E 0 z t H 1 E y t 0 d 1 E y E y O ( e x ez ) 0 z x
x
E0 π π π [ex cos( z ) cos(t k x x) ez k x sin( z )sin(t k x x)] 0 d d d
H1t J s E 0 1t 或 B1n 0 D1n S
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H1t J s E 0 1t B1n 0 D1n S
理想导体表面上的电流密度等于H 的切向分量 理想导体表面上 E 的切向分量为0 理想导体表面上 B 的法向分量为0 理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量
1 0、 1 0, 例 2.7.2 如图所示，1区的媒质参数为 1 5 0 、
ez
媒质1
媒质2
试问关于1区中的 E1 和 D1 能求得出吗？
ey
ex
解 ： 根据边界条件，只能求得边界 设E1 ex E1x ey E1 y ez E1z 面z＝0 处的 E1 和 D1 。
D 右边 = J dS dS S S t
0 s 0
J S dl J S e p l
l
故得： [en (H1 H 2 )] ep l J S e p l
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en (H1 H 2 ) J S 或H1t H 2t J S
2 H1 (0, t ) ey [2 10 cos(15 10 t ) 107 cos(15 108 t )] 0 3
7 8
1
ey
4 30
107 cos(15 108 t ) A/m
H 2 (0, t ) ey
4 30
107 cos(15 108 t ) A/m
8
2.7.2 两种常见的情况
1. 两种理想介质分界面上的边界条件
在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS＝0 媒质1 媒质2
en
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
S
B dS 0
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（2）电磁场量的切向边界条件
在分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则： D en H1 C H dl S ( J t ) dS Δ l 媒质1 附录A1.1式： ep et
H1t H 2t J S E1t E2t B1n B2n D1n D2n S
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边界条件的推证
（1）电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一
点P，作一个包围点P 的扁平圆柱 曲面S，如图表示。（Δh →0）则：
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媒质1 Δl
7
同理由MEⅡ可证明电场的边界条件：
B C E dl S t dS
则： en (E1 E2 ) 0
en
E1
Δh
0
S 0
ep et
媒质2
E2
或
E1t E2t
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E1 y 5 x
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D1x 1 E1x 10 0 y, D1 y 1 E1 y 25 0 x
又由 en ( D1 D2 ) 0 ，有
ez [ex D1x e y D1 y ez D1z (ex D2 x e y D2 y ez D2 z ]z 0 0
“电立不躺，磁躺不立” ——在导体的表面处，理想介质中的电场只有法向分量 而磁场只有切向分量。
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例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0 , z > 0 区域的媒质参数为 2 5 0、2 200、 2 0 。若媒质1中的电场 强度为 E ( z, t ) e [60cos(15 108 t 5 z ) 20cos(15 108 t 5 z )] V/m 1 x 媒质2中的电场强度为
由 en ( E1 E2 ) 0 ，可得：
ez {ex E1x ey E1 y ez E1z [ex 2 y ey 5 x ez (3 z )]} ey ( E1x 2 y ) ex ( E1 y 5 x) 0
则得
z 0
E1x 2 y,
A BC
左边=(H1 H 2 ) l
l e p en l
B (C A) (C A) B
媒质2
H2
Δh
(H1 H 2 ) l (H1 H 2 ) (e p en ) l [en (H1 H 2 )] e p l
E1 (0, t ) E2 (0, t )
得到
A 80 V/m
B1 H1 1 （2）由 E1 ，有 t t
B E t
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 ey [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z )] 0
2
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2.7.1 边界条件一般表达式
2.7.2 两种常见的情况
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2.7.1
边界条件一般表达式
D C S ( J t ) dS B dS C E dl S t S B dS 0 S D dS V ρdV H dl
E1 (0, t ) ex [60cos(15 108 t ) 20cos(15 108 t )]
ex 80cos(15 108 t ) V/m
E2 (0, t ) ex A cos(15 108 t ) V/m
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因分界面上电场强度的切向分量连续，即：
可见，在分界面上（z = 0）处，磁场强度的切向分量是连续的。 （因为两种煤质均不导电，则在分界面上不存在面电流。故磁场 强度的切向分量是连续的）
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2区的媒质参数为 2 0、2 0、 2 0 。若已知自由空间的 电场强度为 E2 ex 2 y ey 5z ez (3 z ) V/m
en ( H1 H 2 ) J S en ( E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
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en
媒质1 媒质2
et
en en en en
H1 J S E1 0 B1 0 D1 S
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H1 ( z, t ) 和 H 2 ( z , t ) ； （3）验证 H1 ( z, t ) 和 H 2 ( z , t ) 满足边界条件。
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
E2 ( z, t ) ex A cos(15 108 t 50 z ) V/m
媒质1 媒质2
en
ΔS
D1
Δh
S
P
D2
S
D dS ρdV
V
(D1 D2 ) en S S S
或
即： en (D1 D2 ) S 同理 ，由
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en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
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H 的切向分量连续 E 的切向分量连续 B 的法向分量连续 D 的法向分量连续
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方向角： tg1 1 tg 2 2 tg1 1 tg 2 2
媒质1 媒质2
en 1
2
证明：
D1n D2n 1 E1n 2 E2 n 1 E1 cos 1 2 E2 cos 2 又 E1t E2t