2009年湖南省普通高中学业水平考试数学正卷及答案

2009年湖南省普通高中学业水平考试数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B =( ) .
A. {1}
B. {2}
C. {1,2}
D. {2,0,1,2}-
2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）. A. 4 B. 13
C. 9
D. 22
3. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）. A . 13 B. 14 C. 15 D. 1
6
4. sin
cos
44
π
π
的值为（ ）.
A. 1
2
B. 2
C. 4
D.
5. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+
6. 已知向量(1,2)=a ,(,1)=-b x ,若⊥a b ,则实数x 的值为（ ）. A. 2- B. 2 C. 1- D. 1
7. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
A .（1，2） B. （2，3） C.（3，4） D. （4，5） 8. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 2
2
1x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）. A .相交 B. 相切 C .相离 D. 不能确定 9. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A.1()3
=x
y B.3log y x = C.1
y x
=
D. cos =y x 10. 已知实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则z y x =-的最大值为（ ）.
A. 1
B. 0
C. 1-
D. 2-
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 已知函数2(0)
()1(0)
x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则(2)f = .
12. 把二进制数101（2）化成十进制数为 .
13. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 60,A =
︒30,a B ==︒则
b = .
14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .
15. 如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若AB AC AM λ+=,则实数λ= .
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分)
已知函数()2sin()3
π
=-f x x ，∈x R .
（1）写出函数()f x 的周期；
（2）将函数()f x 图象上的所有的点向左平行移动3
π
个单位,得到函数()g x 的图象,写出函数()g x 的表达式,并判断函数()g x 的奇偶性.
（第14题图）
俯视图
（第15题图）
某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表
是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下
列问题：
（1）求右表中a 和b 的值；
（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计
该市每位居民月均用水量的众数.
18. (本小题满分8分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且P A=AB. （1）求证：BD ⊥平面P AC ；
（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.
（第17题图）
如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤. （1）用x 表示墙AB 的长；
（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？
20. (本小题满分10分)
在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =.
(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;
(2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;
(3) 记2
4,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.
E
（第19题图）
湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案
11.2； 12. 5； 13.1 ；14. 3π；15. 2 三、解答题
16.解：(1)周期为2π………………………3分 (2)()2sin =g x x ,………………………5分
()2sin()2sin -=-=-g x x x ()()∴-=-g x g x
所以g(x)为奇函数……………………6分 17.解：(1) a =20; ………2分
b =0.20.………4分 (2)
根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5 ………………8分
（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.） 18.（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面， BD ABCD ⊂平面，
PA BD ∴⊥，……………………1分
又ABCD 为正方形，B D A C ∴⊥，……………2分 而,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，
BD PAC ∴⊥平面……………………
4分 (2)解： ∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ， PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角，…6分
由已知可知，△PDA 为直角三角形，又P A A B =， ∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，
∴异面直线BC 与AD 所成的角为45º.……………………8分
19.解：（1）24,⋅==AB AD AD x 24
∴=AB x
…………………2分
（2）16
3000()(26)y x x x
=+≤≤………………5分（没写出定义域不扣分）
（第16题图）
（3）由163000()30002x x +≥
⨯=
当且仅当16
=
x x
，即4=x 时取等号 4∴=x (米)时，墙壁的总造价最低为24000元.
答：当x 为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分
20.解：(1). 2
31
16a q a ==，解得4q = 或4q =-(舍去)
∴4q =……2分
111444n n n n a a q --∴==⨯=……………3分 (4q =-没有舍去的得2分) （2）4log ==n n b a n ，………5分
∴数列{}n b 是首项11,=b 公差1=d 的等差数列
(1)
2
+∴=
n n n S ………7分 (3)解法1：由（2）知，22
+=n n n
S ，
当n=1时，n S 取得最小值min 1=S ………8分
要使对一切正整数n 及任意实数λ有n y S ≤恒成立，
即2
41λλ-+-≤m
即对任意实数λ，2
41λλ≥-+-m 恒成立，
2241(2)33λλλ-+-=--+≤, 所以3≥m ,
故m 得取值范围是[3,).+∞
……………10分 解法2：由题意得：2
211422
λλ≥-+--m n n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成
立，
即2
21133
(2)(),228
λ≥---
++m n 因为2,1λ==n 时，2
21133(2)()228
λ---++n 有最小值3，
所以3≥m ,
故m 得取值范围是[3,).+∞
……………10分。