【精选五套高考模拟卷】山西省太原市2019届高考二模文科数学试题含答案

太原市2019年高三年级模拟试题（二）
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{|12}A x x =-≤≤，B N =，则集合A B 的子集的个数是（ ）
A ． 4
B ． 6
C ．8
D ．16
2.
2
(2)(1)12i i i
+-=-（） A ．2 B ． -2 C ．
13 D ．13
- 3.设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则“10a >” 是“32S S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 4.下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A ． x x y e e -=+ B ．ln(||1)y x =+ C.sin ||
x y x =
D ．1
y x x =-
5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）
（参考数据：0sin150.2588≈，0
sin 7.50.1305≈）
A ． 6
B ．12 C. 24 D ．48
6.某班从3名男生和2名女生中任意抽取2名学生参加活动，则抽到2名学生性别相同的概率是（ ）
A ．
35 B ．25 C. 310 D ．12
7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的直线的距离为2c ，
则椭圆的离心率为（ ） A ．
2 B
．2 C.12 D
．3
8. 已知 1.12a =，0.45b =，5
ln
2
c =，则（ ） A ． b c a >> B ．a c b >> C.b a c >> D ．a b c >> 9.
已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为6
x π
=-，若12()()4f x f x =-，则12||x x +的最小
值为（ ） A ．
3π B ． 2π C. 23π D ．34
π 10.已知实数,x y 满足0
0220y x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≤⎩
，若10ax y a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． (,2]-∞-
B ． 1(1,]2- C. (,1]-∞- D ．1(,]3
-∞- 11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
73π B ．83π- C.73π- D ．83
π 12.已知函数3
2
()f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，则函数
0()()()g x f x f x =-（）
A ．恰有一个零点
B ．恰有两个零点 C.恰有三个零点 D ．零点个数不确定 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()(3)a b a b -⊥+，则向量,a b 的夹角的余弦值为．
14.双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >> 上一点(3,4)M -关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点
2F ，则该双曲线的标准方程为．
15.已知菱形ABCD
中，AB =060BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为060的四面体，则四面体ABCD 的外接球的表面积为． 16.数列{}n a 中，若12a =，12
1n n a a +=
+，21
n n n b a b +=-，*n N ∈，则数列{||}n b 的前n 项和为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且tan cos cos )a A c B b C +. （1）求角A ；
（2）若点D 满足2AD AC =，且3BD =，求2b c +的取值范围.
18. 按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频率分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图
.
（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
（2）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较； 附：
19. 四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，
2AB DC ==AC
BD F =，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的
重心.
（1）求证：//GF 平面PDC ； （2）求三棱锥G PCD -的体积.
20. 已知以点(0,1)C 为圆心的动圆C 与y 轴负半轴交于点A ，其弦AB 的中点D 恰好落在x 轴上. （1）求点B 的轨迹E 的方程；
（2）过直线1y =-上一点P 作曲线E 的两条切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点. 21.已知函数()ln (0)x f x m x e m -=-≠.
（1）若函数()f x 是单调函数，求实数m 的取值范围；
（2）证明：对于任意的正实数,a b ，当a b >时，都有111a b
a e e b
--->-
. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知点P 是曲线221:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转0
90得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线(0)3
π
θρ=
>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知实数,a b 满足2244a b +=.
（1）求证：2≤；
（2）若对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，求实数x 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-5: CADDC 6-10: BADCC 11、12：BB 二、填空题
14.
221520x y -= 15. 156π 16.4(21)n ⨯- 三、解答题
17.（1）∵tan cos cos )a A c B b C =+
∴sin tan cos sin cos )A A C B B C =+
∴sin tan )A A C B A =+= ∵0A π<<，∴sin 0A ≠
∴tan A =060A =
（2）在ABD ∆中，根据余弦定理得：2222cos AD AB BD AD AB A +-= 即22(2)92b c bc +-= ∴2(2)96b c bc +-=
又2
22()2b c bc +≤，∴22(2)922()33
b c b c bc +-+-≤ ∴2(2)36b c +≤，∴26b c +≤ 又23b c +>，∴326b c <+≤.
18.（1）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为7
50， ∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为7
500070050
⨯=（件） （2）根据表1和图1得到列联表：
将列联表中的数据代入公式计算得：
22
2
()100(487243) 3.053()()()()5050919
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯
∵3.053 2.706>，
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （3）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为
4850，乙套设备生产的合格品的概率约为43
50
，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.
19.（1）连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH ， 梯形ABCD 中，∵//AB CD 且2AB DC =，∴
2
1
AE FC = 又G 为PAD ∆的重心，∴
2
1
AG GH = 在AHC ∆中，
2
1
AG AF GH FC ==，故//GF HC 又HC ⊆平面PCD ，GF ⊄平面PCD ，∴//GF 平面PCD .
（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，∴PE ⊥平面ABCD ，且3PE =，
由（1）知，//GF 平面PDC ，∴1
3G PCD F PCD F CDP CDF V V V PE S ---∆===
⨯⨯
又由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC ==13DF BD ==
又ABD ∆为正三角形，得0
60CDF ABD ∠=∠=
∴1sin 22
CDF S CD DF FDC ∆=
⨯⨯⨯∠=
∴132P CDF CDF V PE S -∆=
⨯⨯=
，∴三棱锥G PCD -的体积为2
20.（1）设(,)B x y ，则AB 的中点(,0)2
x
D ，0y >， 因为(0,1)C ，则(,1)2x DC =-
，(,)2
x
DB y =， 在圆C 中，因为DC DB ⊥，∴0DC DB ∙=,所以2
04
x y -+=，即24(0)x y y => 所以点B 的轨迹E 的方程为2
4(0)x y y =>. （2）证明：由已知条件可得曲线E 的方程为2
4x y = 设点(,1)P t -，11(,)M x y ，22(,)N x y ，
∵24
x y =，∴'2x y =
∴过点,M N 的切线方程分别为111()2x y y x x -=
-，222()2
x
y y x x -=-， 由2114y x =，22
22
4y x =，上述切线方程可化为112()y y x x +=，222()y y x x +=， ∵点P 在这两条切线上，∴112(1)y tx -=，222(1)y tx -=， 即直线MN 的方程为2(1)y tx -=， 故直线2(1)y tx -=过定点(0,1)C . 21.（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞
∵()ln x
f x m x e -=-，∴'()x x m m xe f x e x x
--+=+=
∵函数()f x 是单调函数，∴'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立或'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，
①若'()0f x ≤，则
0x m xe x
-+≤，即0x m xe -+≤，x x x m xe e -≤-=， 令()x
x
x e ϕ=-
，则1'()x x x e ϕ-=，
当01x <<时，'()0x ϕ<；当1x >时，'()0x ϕ>
则()x ϕ在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增，∴min 1
()(1)x e ϕϕ==-，∴1m e
≤-
②若'()0f x ≥，则
0x m xe x
-+≥，即0x m xe -+≥，x x x
m xe e -≥-= 由①得()x
x
x e ϕ=-
在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 又(0)0ϕ=，x →+∞时，()0x ϕ<，∴0m >
综上可知，1
m e
≤-
或0m > （2）由（1）知，当1m e =-时，1()ln x
f x x e e
-=--在(0,)+∞上递减
∵0b a <<，∴()()f b f a >，即11ln ln b a b e a e e e
---->--，∴11ln ln a b
e e b a --->-
要证111a b
a e e
b --->-，只需证ln ln 1a b a b -≥-，即证ln 1b a a b
>-
令b t a =，(0,1)t ∈，则需证1ln 1t t >-，令1()ln 1h t t t =+-，则21
'()0t h t t
-=<
∴()h t 在(0,1)上递减，又(1)0h =
∴()0h t >，即1ln 1t t
>-，得证.
22. （1）曲线1C 的极坐标方程为=4cos ρθ. 设(,)Q ρθ，(,)2P π
ρθ-
，于是4cos()4sin 2
π
ρθθ=-=， 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.
（2）M 到射线3
π
θ=
的距离为2sin
3
d π
==
||4(sin
cos )1)33
B A AB P P π
π
=-=-=，
则1
||32
S AB d =
⨯=
23. （1）证明：22
2
441||24
a b a b a +++≤=≤=.
（2）由2244a b +=及2244||a b ab +≥=，可得||1ab ≤，所以1ab ≥-，
当且仅当a =
b =或a =b =. 因为对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，所以|1||3|1x x +--≤-. 当1x ≤-时，|1||3|4x x +--=-，不等式|1||3|1x x +--≤-恒成立；
当13x -<<时，|1||3|22x x x +--=-，由13221
x x -<<⎧⎨-≤-⎩，得1
12x -<≤；
当3x ≥时，|1||3|4x x +--=，不等式|1||3|1x x +--≤-不成立； 综上可得，实数x 的取值范围是1
2
x ≤.
数学高考模拟试卷（文科） 注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数1z i =-+，则2
2
z z z +=+（ ）
A ．-1
B ．1
C ．i -
D ．i 2.若向量(21,)m k k =-与向量(4,1)n =共线，则m n ⋅=（ ）
A ．0
B ．4
C ．92-
D ．17
2-
3.已知集合
2
{|142}A x x =<-≤，{|23}B x x =>，则A B =（ ） A
．)+∞ B
．([2,)+∞
C ．)+∞
D
．[(2,)+∞
4.函数
()cos()
6f x x π
π=-的图象的对称轴方程为（ ） A ．2()3x k k Z =+∈ B ．1
()
3x k k Z =+∈ C ．1()6x k k Z =+∈ D ．1
()
3x k k Z =-∈
5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为
1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
6. 若函数
2
21,1()1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,3] B ．[2,)+∞ C ．[1,3] D ．[1,)+∞ 7.在公比为q 的正项等比数列
{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ ）
A ．14
B ．14-
C ．18
D ．1
8-
8.若sin()3sin()αβπαβ+=-+，
,(0,)
2π
αβ∈，则tan tan α
β=
（ ）
A ．2
B ．12
C ．3
D ．1
3
9.设双曲线Ω：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，Ω上存在关于y 轴对称的两点P ，
Q （P 在Ω的右支上），使得2122PQ PF PF +=，O 为坐标原点，且POQ ∆为正三角形，则Ω的离
心率为（ ）
A
． B
． C
D
10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，
y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.若函数()
ln f x x 在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数.下列函数中为P 函数的序号为（ ）
①()1f x = ②()x f x = ③
1
()f x x =
④()f x =
A ．①②④
B ．①③
C ．①③④
D ．②③
12.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径17R H =，则22
H PA =（ ） A ．2939 B ．3239 C ．3439 D ．35
39
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则
22
1x y +<的概率为 ．
14.若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：
22
1x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则n m =
．
15. 已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且
12
22n n n S T n ++=+-，则2n T = ．
16.若曲线
2log (2)(2)x
y m x =->上至少存在一点与直线1y x =+上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，22
41a c +=，且
8cos 1B =.
（1）求b ；
（2）证明：ABC ∆的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）； （2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率. 19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱
111ABC A B C -中，D 为棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，13B E BE =，
M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN =.F 在棱1AA 上，且1A E DF ⊥
.
（1）证明：
1A E ⊥平面1C DF ；
（2
）若
BM =
，求三棱锥E AFN -的体积.
20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：
2
2y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线
2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .
（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q
，且PQ =1C 的方程；
（2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.
21.已知函数2
()3x f x e x =+，()91g x x =-.
（1）求函数()4()x
x xe x f x ϕ=+-的单调区间； （2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答
时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线M
的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
()413
f x x x =-+--.
（1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.
高三数学详细参考答案（文科） 一、选择题
1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD 二、填空题
13. 36π
14. 8 15.
22(1)4n n n +++- 16. (2,4] 三、解答题
17.（1）解：∵sin 20sin ab C B =，∴20abc b =，即20ac =，
则b
6==.
（2）证明：∵20ac =，22
41a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.
若4a =，5c =，则
2225643
cos 2564A +-==
⨯⨯，∴2cos 2cos 1cos 2B A A =-=，∴2B A =. 若5a =，4c =，同理可得2B C =.
故ABC ∆的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.
18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.
（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110，
平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++1438131
11=≈.
（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），
（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件.
在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为
11
6P =
，
获得5元的概率为
216P =
， 获得2元的概率为
34263P =
=.
19.（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，
在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D ⊥.
又
11
11A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E ⊥.
易证
1A E AD ⊥，又1AD C D D =，∴1A E ⊥平面1AC D .
（2）解：连结
1MB ，则11BB MB ⊥，
∵
12BB =
，
BM =
，∴1MB =
.
又
11MD A B ⊥
，∴
MD =
.
由（1）知1C D ⊥平面AEF ，∴N 到平面AEF
的距离
1d DN ==
+.
设
1A E
DF O =，∵1A E DF ⊥，∴1
11AOD A B E ∆∆， ∵1
3B E BE =，∴11111B E A D A B A F =，∴1134A F =，∴143A F =
. ∴
E AFN N AEF
V V --=1122323d =⨯⨯⨯
⨯26
(1)9327=⨯+=
.
20.（1）解：由212y x x py =+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x px p --=.
设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则122x x p +=，122x x p =-.
∴
PQ =
=0p >，∴1p =.
故抛物线1C 的方程为2
2x y =.
（2）证明：由22
22y px x py ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .
设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与2
2x py =联立得
221124(1)0x pk x p k ---=.
由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得2
1
(2)0k -=，∴12k =. 设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与2
2y px =联立得
222224(1)0k y py p k ---=. 由
22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得2
2(12)0k -=，∴
21
2k =
.
故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：1
2(2)2y p x p -=
-，
从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，
∴2
BOC S p ∆=，23ABM
S p ∆=，∴B O C ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为222
1
32p p p =-（为定值）.
21.解：（1）
'()(2)(2)x
x x e ϕ=--， 令'()0x ϕ=，得1ln 2x =，22x =；
令'()0x ϕ>，得ln 2x <或2x >； 令'()0x ϕ<，得ln 22x <<.
故()x ϕ在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. （2）()()f x g x >. 证明如下：
设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵
'()329x h x e x =+-为增函数， ∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈.
当
0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <.
∴
min 0()()h x h x =02
00391x e x x =+-+， 又003290x e x +-=，∴
00329x e x =-+， ∴
2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--. ∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->， ∴
min ()0h x >，()()f x g x >.
22.解：（1）∵y t
x =
，∴
x y
x =
，即2)y x =-，
又0t >
0>，∴2x >或0x <，
∴曲线M
的普通方程为2)y x =-（2x >或0x <）.
∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为
22
40x x y -+=. （2
）由2
22)
40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=，
∴
11x =（舍去），2
3x =，
则交点的直角坐标为
，极坐标为
)
6π
. 23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4
282x x ≥⎧⎨-≤⎩
， 解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].
（2）
()413f x x x =-+--22,10,14
28,4
x x x x x -≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩，
作出函数()f x 的图象，如图所示，
直线2y kx =-过定点(0,2)C -，
当此直线经过点(4,0)B 时，
1
2k =
；
当此直线与直线AD 平行时，2k =-.
故由图可知，1
(,2)[,)
2k ∈-∞-+∞.
数学高考模拟试卷（文科）
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,2A =-，集合{}
2
10B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合
为（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,0-
C ．{}1,1-
D ．{}0
2. 已知i 为虚数单位，则(2+i)(1)i ⋅-=（ ） A ．1i - B ．1+i C ．3i - D ．3+i
3. 函数22,2()log ,2x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，
，
则((2))f f =（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
4.已知等差数列{}n a 中，2816a a +=，41a =，则6a 的值为（ ） A. 15 B. 17 C.22 D.64
5. 如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数1
()x f x a b -=+的图象上，则pu
实数,a b 的值依次为（ ）
A ． 21，
B ． 30， C. 2，-1 D ．3，-1
6. 若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则2z x y =+的最大值是（ ）
A ．-1
B ． 1 C. 2 D ．3
7. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23
π
，则a 的值为（ ）[] A ．
．2 C. 1 D
8. 中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积分别为25和1，则cos BAE ∠=（ ）
A ．
125 B ． 2425 C. 35 D ．4
5
8. 过直线23y x =+上的点作圆2
2
46120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ）
A
．
．
5
[] 9. 从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x y +的值为 （ ）
A. 7
B. 8
C.9
D. 10
10.设ABC ∆的面积为S ，若1AB AC ⋅=，tan 2A =，则S =（ ）
A ．1
B ．
2 C.
5
．15
11.在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=被直线y kx b =+（0k >）截得的弦长为2，角a 的始边是x 轴的非负半轴，终边过点2(,)P k b ，则tan a 的最小值（ ）
A
．
2
B ．
．2 12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(3)f x f x --=-，当31x -≤≤-时，2()(2)f x x =-+， 当10x -<≤时，()2+1x f x =，则(1)+(2)+(3)++(2018)f f f f =（ ）
A ． 670
B ．334 C. -337 D ．-673 二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分. 13.已知数列{}n a 中，11a =，122
n n n a a a +=
+（*
n N ∈），则4a = ． 14.曲线()x
f x e =在点(0,(0))A f 处的切线方程为 ．
15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.
如果三人中只有一人说的是真的，请问 (填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.
16.已知O 为坐标原点，双曲线22
221x y a b
-= (0,0a b >>)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的
一条渐近线于异于原点的A ，若点A 与OF 中点的连线与OF 垂直，则双曲线的离心率e 为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.
18.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需求量y (单位：千万立方米)与年份x (单
位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5y
x a =+，试确定ˆa 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查，求恰好有1辆车享受3.4万元补贴的概率.
19. 四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长
为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==. （Ⅰ）求证：1B D AC ⊥；
（Ⅱ）求点1C 到平面11A B D 的距离..
20.椭圆22
22:1x y E a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆
E
在第一象限交于点P ，若1PF =2a =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）已知点P 关于y 轴的对称点Q 在抛物线2:C y mx =上，是否存在直线l 与椭圆交于,A B ，使得,A B 的中点M 落在直线2y x =上，并且与抛物线C 相切，若直线l 存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由.
21.函数()(ln 1)f x x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）对任意(0,)x ∈+∞，不等式
2111ln 23a
x x x x
-++<恒成立，求实数a 的取值范围. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线221:((1)4C x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6
π
后得到的曲线记为2C . （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线3
π
θ=
（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.[] （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c
++=，求证：239a b c ++≥.
一、选择题
1-5: DCBAB 6-10: CBDDA 11、12：BC 二、填空题
13.
2
5
14. 10x y -+= 15. 甲三、解答题
17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，∴ cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=
∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-， ∴1cos 2B =-
，∴23
B π=. （Ⅱ）根据余弦定理可知2
2
2
2cos b a c ac B =+-，∴2
2
49a c ac =++， 又因为8a c +=，∴2()64a c +=，∴2
2
264a c ac ++=，∴15ac =，
则1sin 2S ac B =
⋅=
. 18. 解：（Ⅰ）如折线图数据可知
20082010201220142016
20125
x ++++=
=
236246257276286260.25
y ++++==
代入线性回归方程ˆˆ6.5y
x a =+可得ˆ12817.8a =-. 将2018x =代入方程可得ˆ299.2y
=千万立方米. （Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆 分别编号为A ,1B ，2B ，1C ，2C ，3C .基本事件有
12123(,)(,)(,)(,)(,)A B A B A C A C A C 12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B C B C B C B C B C B C 121323(,)(,)(,)C C C C C C 共15种
设“恰好有1辆车享受3.4万元补贴”为事件D ,则3
()5
P D = 19.证明：（Ⅰ）其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形， 则有BD AC ⊥，∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1AC BB ⊥， 而1BB BD B ⋂=
∴AC ⊥平面1DBB ，1B D ⊂平面1DBB . ∴1B D AC ⊥
.[]
解：（Ⅱ）利用等体积法111111C A B D D A B C V V --=，
根据题目条件可求出111A B =
，1A D
1B D =可知11A B D ∆是直角三角形设点1C 到平面11A B D 的距离为d ，
11111111
1332
C A B
D A B D V S d d -∆=⋅⋅=⨯⨯，
1111111111112332D A B C A B C V S BB -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯，
解得d =
20.解：
（Ⅰ）解：由题意可知22
2
22294,2,
b c a a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得椭圆方程是2212x y +=.
(Ⅱ)
由（Ⅰ）可知(1,
2P
则有(1,2
Q -代入2y mx =可得抛物线方程是212y x =-
若直线l 斜率存在，设直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y 满足椭圆方程22
112
222
1,2
1,
2
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作
差可得
12121212()()
()()02
x x x x y y y y +-++-=，,A B 的中点M 落在直线2y x =上则有
12122()y y x x +=+代入可得
12121
4
y y x x -=--，
直线l 方程可以设为14y x b =-+与抛物线方程联立2
1,2
1,
4
y x y x b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消元可得方程2220y y b -+=，
直线与抛物线相切则有1
4802
b b ∆=-=⇒=
，则直线l 的方程为420x y +-=，与椭圆方程联立：2
21,2
420,x y x y ⎧+=⎪
⎨⎪+-=⎩
消元可得方程29810y y -+=， 6449280∆=-⨯=>，所以直线420x y +-=满足题意.
若直线l 斜率不存在时，直线0x =满足题意.
所以，综上这样的直线l 存在，方程是420x y +-=或0x =. 21.（Ⅰ）解：()f x 的定义域是(0,)+∞，()ln f x x '= 所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增. （Ⅱ）3211(ln 1)32x x a x x -
++<-，令3211
()32
g x x x a =-++则有 ()()g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立
即max min ()()g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立
由（Ⅰ）可知min ()(1)1f x f ==-，2
()g x x x '=-+，
由表格可知max ()(1)6
g x g a ==+， 则有
17
+166
a a <-⇒<-.(方法不唯一)
22.解：（Ⅰ）曲线221:((1)4C x y +-=化为极坐标方程是2sin ρθθ=+ 设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转
6
π后得到(,)6P π
ρθ-在1C 上代入可得2C 的极坐标方程是
2cos ρθθ=+.
（Ⅱ）将3
π
θ=
（0ρ>）分别代入1C ，2C 的极坐标方程，得到1ρ=，24ρ=
124AB ρρ=-=-23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m ≥⇒--≥⇒-≤≤+
(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =.
（Ⅱ）
111
123a b c
++=则 111233223(22)()111232233b c a c a b
a b c a b c a b c a a b b c c
++=++++=++++++++
233233692323b a c a c b a b a c b c
=++++++≥+=
当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，3
2
b =，1
c =时等号成立.
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注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{|13}A x x =<≤，{|02}B x x =≤<，则A
B =（ ）
A ．{|02}x x ≤<
B ．{|03}x x ≤≤
C ．{|12}x x <<
D ．{|13}x x <≤
2.设函数1,0()1,02x
x x f x x +≥⎧⎪
=⎨<⎪⎩，则[(1)]f f -=（ ）
A ．
3
2
B
1 C ．1 D ．3 3.若向量(1,0)a =，(0,1)b =，2(2,3)c xa yb =+=(,)x y R ∈，则x y +=（ ） A ．4 B ．5 C ．3 D ．2
4.若实数x ，y 满足约束条件1
13
x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
5.命题p ：若复数21i
z i
=
-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么（ ）
A ．p q ∧是真命题
B ．()p q ∧⌝是真命题
C ．()p q ⌝∨是真命题
D ．()p q ∨⌝是假命题 6.执行如图所示的程序框图，若输入的40n =，则输出的S =（ ）
A ．80
B ．96
C ．112
D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6π B ．56π C ．3
π D ．23π
8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，
C ，
D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率
为（ ）
A ．
14 B ．23 C ．35 D ．3
10
9.如图，AB 为经过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2
p
x =-
上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3
π D ．512π
10.
一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为32π++x =（ ）
A ．1 B
．
32 D
．2
11.已知数列{}n a 满足2
*1232()n n a a a a n N ⋅⋅⋅=∈，且对任意的*
n N ∈都有12111
n
t a a a ++⋅⋅⋅+<，则t 的取值范围为（ ）
A ．1
,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
12.若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式2
2ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）
A ．
132e e +- B ．3
2e e
++ C ．4 D ．21e - 第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知{}n a 是等差数列，n S 是其数列的前n 项和，且410
3
S =-
，1221a a +=，则3a = ． 14.已知圆C 的方程为22(2)(1)1x y ++-=，则圆上的点到直线0x y -=的距离的最小值为 ． 15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为 ．
16.已知双曲线1C ：2
212
x y -=，曲线2C ：1y x =+，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C ，
2C 都有公共点，则称点P 为“差型点”.下面有4个结论：
①曲线1C 的焦点为“差型点”； ②曲线1C 与2C 有公共点；
③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”.
其中正确结论的个数是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知ABC ∆A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.
18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.
（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？
（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310
n
，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，6
DBC ∠=，2BD BC ==，2AB =，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.
（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.
20.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于
A ，
B 两点. （1）若直线AB 与椭圆的长轴垂直，1
2
AB a =
，求椭圆的离心率； （2）若直线AB 的斜率为1，3
22
2a AB a b
=+，求椭圆的短轴与长轴的比值. 21.已知曲线()x
mx m f x e -=
在点(1,(1))f 处的切线斜率为1
e
-. （1）求函数()f x 的极小值； （2）当(0,)x π∈时，求证：2
1
()cos sin f x x x x e +
>-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α
α=⎧⎨
=⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=. （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程，将2C 的极坐标方程化为参数方程； （2）当6
π
α=
时，直线l 与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，求AB .。