高中数学必修4三角函数优质课件：简单的三角恒等变换
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第三页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练] 已知 sinα2－cosα2＝－ 15，450°<α<540°，求 tanα2的值．
解：由题意得sinα2－cosα22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45. ∵450°<α<540°，∴cos α＝－35， ∴tanα2＝1－sincoαs α＝1－4－35＝2.
∴sin θ2＜0.由cos θ＝1－2sin2θ2，得
sin θ2＝－
1－cos 2
θ＝－
1＋15×12＝－
15 5.
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
2．化简 2＋cos 2－sin21的结果是
A．－cos 1
B．cos 1
C. 3cos 1
D．－ 3cos 1
()
解析：选 C 原式＝
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的 名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变 形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练] 化简：
(1) 1＋sin θ－ 1－sin θ32π<θ<2π；
(2)sins2inα＋α β－2cos(α＋β)．
＝
2cos2x2 x
x＝1＋sincoxsn2cos2
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
1．已知cos θ＝－15，52π＜θ＜3π，那么sin θ2等于( )
10 A. 5
【练习反B馈．】－
10 5
15 C. 5 解析：选 D
∵52π＜θ＜3πD，．∴－54π51＜5 θ2＜32π，
(1)sin θ(1＋cos 2θ)＝sin 2θcos θ；
tan (2)tan
α＋tan α－tan
ββ＝ssiinnαα＋ －ββ.
[证明] (1)左边＝sin θ·2cos2θ＝(2sin θcos θ)cos θ＝sin
2θcos θ＝右边．
∴原等式成立．
(2)右边＝
sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练]
求证：sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
证明：左边＝2sinx2cosx2－2s2isni2nx2xc2ossinxx2cosx2＋2sin2x2 x
＝4sin22x2sicnosx2cx2o－s xsin2x2＝2ssiinn2xx2＝csionsx22
，分子、分母同除以
cos
αcos
β，得右边＝ttaann
α＋tan α－tan
β＝左边．∴原等式成立． β
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 盘点三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以 消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
又5π<θ<6π，∴54π<θ4<32π.
∴sinθ4<0.
∴sinθ4＝－
答案：－
1－a 2.
1－a 2
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
4．若sinθ2－2cosθ2＝0，则tan θ＝________. 解析：由sinθ2－2cosθ2＝0，得tan θ2＝2， θ 则tan θ＝12－tatnan22θ2＝－43. 答案：－43
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
5．化简：2tanπ42－cosα2αsi－n21π4＋α. 解：2tanπ42－cosα2αsi－n21π4＋α
＝2csionsπ4π4＋＋coααss2iαn2π4＋α
＝sincoπ2s＋2α2α＝ccooss 22αα＝1.
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
α＝2
5 5，
cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
55，
α tanα2＝csions2α2＝－2.
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般 思路为：
(1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
简单的三角恒等变换
半角公式
【知识梳理】
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
求值问题
[例1] 已知sin α＝－45，π<α<32π，求sinα2，cosα2，tanα2
的值．
【常考题型】
[解] ∵π<α<32π，sin α＝－45，
∴cos α＝－35，且π2<α2<34π，
∴sinα2＝
1－cos 2
2＋1－2sin21－sin21 ＝
3－3sin21＝ 31－sin21＝ 3cos21＝ 3cos 1.
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
3．设5π<θ<6π，cosθ2＝a，那么sinθ4等于________．
解析：由cosθ2＝1－2sin2θ4，得sin2θ4＝1－2cosθ2，
－2sinθ2.
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，
∴原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
α
＝sin[αs＋ in βα－α]
＝ssiinn
β α.
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例3] 证明：
三角恒等式的证明
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
cosα2－cos α α . cos2
又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，
∴cosα2<0，
∴原式＝cosα2－·－coscα2os
α ＝cos
α.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联 系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系 它们的公式．
5
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例2] 化简：
三角函数式的化简
1＋sin [解]
α＋2c＋os2αcossiαnα2－cosα2(180°<α<360°)．
原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 2·2cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
解：(1)原式＝sin
θ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2，
∵32π<θ<2π，∴34π<θ2<π，
∴0<sinθ2< 22，－1<cosθ2<－ 22， 从而sinθ2＋cosθ2<0，sinθ2－cosθ2>0.
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
∴原式＝－sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2＝
[对点训练] 已知 sinα2－cosα2＝－ 15，450°<α<540°，求 tanα2的值．
解：由题意得sinα2－cosα22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45. ∵450°<α<540°，∴cos α＝－35， ∴tanα2＝1－sincoαs α＝1－4－35＝2.
∴sin θ2＜0.由cos θ＝1－2sin2θ2，得
sin θ2＝－
1－cos 2
θ＝－
1＋15×12＝－
15 5.
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
2．化简 2＋cos 2－sin21的结果是
A．－cos 1
B．cos 1
C. 3cos 1
D．－ 3cos 1
()
解析：选 C 原式＝
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的 名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变 形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练] 化简：
(1) 1＋sin θ－ 1－sin θ32π<θ<2π；
(2)sins2inα＋α β－2cos(α＋β)．
＝
2cos2x2 x
x＝1＋sincoxsn2cos2
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
1．已知cos θ＝－15，52π＜θ＜3π，那么sin θ2等于( )
10 A. 5
【练习反B馈．】－
10 5
15 C. 5 解析：选 D
∵52π＜θ＜3πD，．∴－54π51＜5 θ2＜32π，
(1)sin θ(1＋cos 2θ)＝sin 2θcos θ；
tan (2)tan
α＋tan α－tan
ββ＝ssiinnαα＋ －ββ.
[证明] (1)左边＝sin θ·2cos2θ＝(2sin θcos θ)cos θ＝sin
2θcos θ＝右边．
∴原等式成立．
(2)右边＝
sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
第十一页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练]
求证：sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
证明：左边＝2sinx2cosx2－2s2isni2nx2xc2ossinxx2cosx2＋2sin2x2 x
＝4sin22x2sicnosx2cx2o－s xsin2x2＝2ssiinn2xx2＝csionsx22
，分子、分母同除以
cos
αcos
β，得右边＝ttaann
α＋tan α－tan
β＝左边．∴原等式成立． β
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 盘点三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以 消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
又5π<θ<6π，∴54π<θ4<32π.
∴sinθ4<0.
∴sinθ4＝－
答案：－
1－a 2.
1－a 2
第十五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
4．若sinθ2－2cosθ2＝0，则tan θ＝________. 解析：由sinθ2－2cosθ2＝0，得tan θ2＝2， θ 则tan θ＝12－tatnan22θ2＝－43. 答案：－43
第十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
5．化简：2tanπ42－cosα2αsi－n21π4＋α. 解：2tanπ42－cosα2αsi－n21π4＋α
＝2csionsπ4π4＋＋coααss2iαn2π4＋α
＝sincoπ2s＋2α2α＝ccooss 22αα＝1.
第十七页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
α＝2
5 5，
cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
55，
α tanα2＝csions2α2＝－2.
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般 思路为：
(1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
简单的三角恒等变换
半角公式
【知识梳理】
第一页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
求值问题
[例1] 已知sin α＝－45，π<α<32π，求sinα2，cosα2，tanα2
的值．
【常考题型】
[解] ∵π<α<32π，sin α＝－45，
∴cos α＝－35，且π2<α2<34π，
∴sinα2＝
1－cos 2
2＋1－2sin21－sin21 ＝
3－3sin21＝ 31－sin21＝ 3cos21＝ 3cos 1.
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
3．设5π<θ<6π，cosθ2＝a，那么sinθ4等于________．
解析：由cosθ2＝1－2sin2θ4，得sin2θ4＝1－2cosθ2，
－2sinθ2.
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，
∴原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
α
＝sin[αs＋ in βα－α]
＝ssiinn
β α.
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例3] 证明：
三角恒等式的证明
第五页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
cosα2－cos α α . cos2
又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，
∴cosα2<0，
∴原式＝cosα2－·－coscα2os
α ＝cos
α.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联 系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系 它们的公式．
5
第四页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例2] 化简：
三角函数式的化简
1＋sin [解]
α＋2c＋os2αcossiαnα2－cosα2(180°<α<360°)．
原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 2·2cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
解：(1)原式＝sin
θ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2，
∵32π<θ<2π，∴34π<θ2<π，
∴0<sinθ2< 22，－1<cosθ2<－ 22， 从而sinθ2＋cosθ2<0，sinθ2－cosθ2>0.
第八页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
∴原式＝－sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2＝