高等数学答案9

第6章 （之3） 第28次作业
教学内容：§6.1.3不定积分的分部积分法
**1. x
x
x d ln ⎰.
解:
)2(ln ln ⎰
⎰=
x xd dx x
x dx
x
x x x 12ln 2⋅
-
⋅=⎰
dx
x x x ⎰
-=12ln 2 C x x x +-=4ln 2
.
**2. ⎰
xdx
x x cos sin .
解：原式⎰⎰⋅-=⋅⋅=x d x dx x x 2cos 41
2sin 21
C
x x x dx x x x ++
-
=⋅+
-
=⎰2sin 8
12cos 4
12cos 4
12cos 4
1.
**3. ⎰dx
x
x
x 3
cos
sin .
解：原式
⎰
-=dx x
x xd 3
cos cos 2
)
(cos
2
1-⎰=
x d x
⎰-
=-dx x x x 2
2
cos
1
21
)(cos 2
1C
x x
x
+-
=
tan 2
1cos 21
2
.
**4.⎰
⋅⋅⋅dx
x x x 4
sec
tan
.
解：原式
⎰⎰
⋅=⋅⋅=
x
d x x d x x 4
3
sec
41sec sec
⎰
⎰+-
=⋅-
⋅=
x
d x x x dx x x x tan )1(tan 41
sec
4
sec
4
1sec
412
4
4
4
C
x x x x
+-
-
=
tan 4
1tan 12
1sec
4
3
4
.
***5. ⎰xdx
e x
2
cos
.
解：
x
x
e d x xdx e ⎰⎰⋅=
2
2
cos
cos
⎰+=xdx
x e x e x
x sin cos 2cos 2
⎰⋅+
=x
x
de
x x e 2sin cos 2
⎰⎰
-=⋅xdx
e x e de
x x
x
x
2cos 22sin 2sin
⎰-=x
x
xde x e 2cos 22sin ⎰--=xdx
e x e x e x
x
x
2sin 42cos 22sin
C
x e x e x
x
+-
=
2cos 5
22sin 5
1
原式
C
x e x e x e x
x
x
+-
+
=2cos 5
22sin 5
1cos 2
.
注：也可先将 x 2
cos 写成
2
2cos 1x
+.
答案也可以是 ：C
x x e e x
x
++
+
2sin 5
12cos 10
121
**6. ⎰
⋅⋅dx
x x 2cos )ln(cos . 解： ⎰
⋅⋅dx
x x 2cos )ln(cos
⎰⋅=x
d x 2sin )ln(cos
2
1
⎰-⋅
-⋅=dx x
x x x x cos sin 2sin 21)ln(cos 2sin 21⎰
⋅-+
⋅=
dx
x
x x 2
2cos 1)ln(cos 2sin 2
1
C
x x x x +-
+
⋅=2sin 4
12
1)ln(cos 2sin 2
1.
**7. ⎰⋅x
x x d tan ln sin .
解:
⎰
-=)
(cos tan ln x xd 原式
⎰⋅⋅
+⋅-=xdx
x
x x x 2
sec
tan 1cos tan ln cos
⎰+
-=dx x
x x sin
1tan ln cos C
x x x ++⋅-=2tan
ln tan ln cos .
**8.
x
x
x x d sin
cos 2
⎰⋅.
解:
原式=-⎰xd x
(
sin )1
=-
+
⎰x x
x dx sin sin 1
C
x x x
x +-+-
=cot csc ln sin .
**9.
⎰
+dx
x x x )
1(arctan 2
2
.
解：原式
⎰
⎰
+-=
dx
x
x dx x
x 2
2
1arctan arctan
⎰⎰-
-=x
xd x
xd arctan arctan
1arctan
x
dx x x x x 2
2
arctan
2111
1
arctan 1
-
+⋅
+
-
=⎰
C
x x x x x +-+-+-=2
2arctan 211ln 21ln arctan 1
.
**10.
x
x
x x d 1arcsin 2
⎰-.
解：
xdx x
x dx x
x x arcsin 11arcsin 2
2
⎰
⎰---
=-⎰
--
=2
1arcsin x
xd
=--⋅+
-⋅
-⎰
1112
2
2
x x x
dx x
arcsin
C x x x ++--=arcsin 12
.
**11. x
x x d sin
⎰.
解: udu dx u x u x 2,
2
===， 则令
，
[
]
)
sin 6sin 3cos (2cos 3cos 2sin 22
3
2
33
⎰⎰⎰-+-=+-==udu u u u u u udu u u u udu u
　原式
C u u u u u u u +-++-=)sin 6cos 6sin 3cos (22
3
C u u u u u +-+-=sin )2(6cos )6(22
2 C x x x x x +-+-=sin
)2(6cos
)6(2.
***12.
⎰
-dx
e xe
x
x
2
.
解：
⎰
+=-=
-))
2ln(,2(2
2
t x e t dx e xe
x
x
x
令
⎰
⋅+⋅+⋅+=
dt
t t t
t t 2
2)
2ln()2(2
2
2
C
t t t t t
t t t dt
t t t t t dt t ++-+⋅=+-
-+⋅=⋅+⋅-+⋅=+=⎰
⎰
⎰
2arctan
244)2ln(2d )2
21(4)2ln(22
22)2ln(2)2ln(222
2
2
2
2
C
e e e x x
x
x
+-+---⋅=2
2arctan 242422.
**13.⎰
dx
e
x
arcsin .
解：原式
⎰
-⋅
⋅-
⋅=dx
x
e
x e
x x
x
2
arcsin arcsin 11
⎰-+⋅=2
arcsin arcsin 1x
d e
e x x
x
⎰
⋅-⋅
⋅--
⋅-+
⋅=dx
x
e
x e
x e
x x
x
x
2
arcsin 2arcsin 2
arcsin 1111
C
e
x x x
+-+=
arcsin 2)1(2
1.
**14. 已知 0)1(,)(=='f x e f x ，求)(x f .
解一：已知
x
de
e d
f x e f x
x
x
==')(,)(即
， 或 x
x de x e df ⋅=)(，
两边积分，得 C e xe e f x
x
x
+-=)(， 由 0)1(=f ， 得 1=C ，
故1)(+-=x
x x e xe e f 令u e x
=，得
1ln )(+-⋅=u u u u f ， 即 1ln )(+-⋅=x x x x f 。

解二：已知x e f x =')(，令u e x
=，则有
)ln()(u u f ='， 两边积分，得 C u u u u f +-⋅=ln )(， 由0)1(=f ，得1=C .
所以1ln )(+-⋅=u u u u f ，即 1ln )(+-⋅=x x x x f 。

***15. 若
dx
x def
I n
n
⎰
sec
，试证降阶递推公式：
2
2
1
2))(sec (tan 1
1----+
-=
n n n I n n x x n I 。

证明：
dx x I n
n ⎰
=
sec
⎰
-=
x
d x n tan sec 2
xdx x n x x x n n sec sec )2(tan sec tan 3
2
2
⎰
----
=
]
sec
sec
)[2(sec
tan 2
2
⎰
⎰
---
--=xdx dx x n x x n n
n
]
)[2(sec tan 22
-----=n n n I I n x x
2
2
)2(sec tan )1(---+=-∴n n n I n x x I n ，
2
2
1
21
sec
tan ----+
-=
n n n I n n n x
x I .
***16.
为自然数
其中的递推公式导出计算积分
n x x x
I n
n ,d cos ⎰=
.
⎰⎰==
x d x xdx x I n
n
n sin cos :解⎰-⋅-=dx
nx
x x x n n
1
sin sin
⎰-+=x
d x n x x n n
cos sin 1
)2(,)1(cos sin 21
≥--+=--n I n n x nx
x x n n n
,
为了能启动运算，还必须求出 ⎰⎰⎰-
===
xdx
x x x xd xdx x I sin
sin sin
cos 1,
.
第6章 （之4） 第29次作业
教学内容：§6.1.4几种特殊类型函数的积分 **1.
⎰
+++dx
x x
x 16
8322
.
解：2
2
2
)
4(5)4(2)
4(3216
83
2+-+=
++=
+++x x x x x x
x 2
)
4(54
2+-
+=
x x ，
∴ 原式
C
x x +++
+=4
54ln 2.
***2.
⎰+--dx
x x
x 5
1297
82
.
解：1)23(3
5)3
2(81
)23(785
1297
82
2
2
+--
-=
+--=
+--x x x x x x x
∴ 原式
⎰
⎰
+--
++--
=
dx x dx x x x 1)23(3
5
5
1293
16
82
2
⎰⎰+--
+
+--=
dx
x x
x x dx x 1
)23(3
5129)69(9
82
2
⎰⎰
-+--+-+-=
2
2
2)
23(1)
23(9
55
129)5129(9
4x x d x x x x d
C
x x x +--
+-=)23arctan(9
5)5129ln(9
42
.
**3. x
x x x d 1
1
332
2
4
⎰
+++.
解: 原式=C x x ++arctan 3
.
**4. 求 ⎰
⋅+2
2
2)3(d x
x x .
解:
x
x
x
d )311(
3
1212
2
⎰+-
⋅=
原式
C
x
x
+-
-
=
3arctan
3
61)1(6
1.
**5. ⎰
+-x x x x 2
3
2d 求.
解:()dx x x x x x d x 3
2
2
211-+=
-⎰
⎰
=
--+-⎡⎣⎢⎤
⎦⎥⎰
1111
12
x
x x dx ()
=
-
-+
-⎰
⎰
⎰111
1
12
x
dx x dx x d x ()
C
x x x +--
--=1
11ln ln .
**6. ⎰
+x x sin 1d 求.
dx
x x x x
dx
⎰⎰-+-=
+)
sin 1)(sin
1(sin 1sin
1:
解 =
-
⎰⎰1
2
2
cos
sin cos
x
dx x
x
dx
=+
⎰
tan cos cos x d x
x 2
C
x
x +-=cos 1tan .
答案也可以是： C
x ++-
2
tan
12
**7.
x
x x d 2sin tan 1⎰+求.
解:tan sin tan sin cos 12121+=
+⎰
⎰x x
dx x
x x
dx =
+⎰
121tan tan tan x x
d x
=+
⎰⎰1
21
12
tan tan tan x
d x d x C
x x ++
=
tan 2
1tan ln 2
1.
**8.
x
x x x
d )
cos 1)(sin 1(2cos ⎰
--求.
)
cos sin cos sin 1(sin
cos
sin cos )
cos
1)(sin 1()
cos 1)(sin 1)(sin
(cos
)cos 1)(sin 1(2cos :2
2
222
2
2
2
x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+++⋅-=
--++-=
--
解
=-+
-+
-
+
-
csc sec sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos 2
2
2
2
11x x x
x x
x x
x
x x
x
x
∴
--=-+
+⎰⎰⎰⎰⎰
cos (sin )(cos )
csc sec sin cos cos 2111
22
2
xdx
x x xdx xdx x dx d x
x
　+
-
++⎰
⎰⎰
⎰d x x
x dx d x x d x
x sin sin cos sin sin cos cos 2
1
x x x x x x x x tan sec ln sin 1
cos 1cot csc ln tan cot +---
-+--=
C
x x +++cos ln sin ln .
**9.dx
x x x ⎰
++
+4
1
1.
解：令t x =+41， 14
-=∴t x ，
∴ 原式
dt t t
t t 3
2
4
41
⎰+-=
⎰
++-+=dt
t
t t t t 1)
1)(1)(1(42
2
⎰-+=dt
t t t )1)(1(42
2
=
⎰-+-dt
t t t t )(42
3
4
5
c t t t t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=345643456C x x x x ++-+++-+=3)1(4)1(5)1(43)1(24
3
45
23
.
**10.
dx x x x
⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+5
3
2
11
. 解：令
t
x x =+5
1
5
51t t
x -=
∴
dt
t t
dx 2
5
4)
1(5-=
∴ 原式
dt t t
t t
t ⎰
-⋅
-=
2
5
43
10
2
5
)
1(5)1(c t
dt t
+-=
=
⎰-2
3
255C
x x +⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-
=5
2
12
5.
**11.
⎰
--6332x x x dx
.
解：)(6
t x =令
原式
dt
t t t t t
t t
dt
t ⋅+-
-+
++=--=
⎰⎰)]1
13
81
(
41
72[63262
2
3
5
C
t t t t t ++--+
++=1ln 2
33ln 2
24342622
3
C
x x x x x ++--+++=1ln
233ln
224342626
6
63.
***12.
⎰+4
7
)
1(x x dx
.
解：原式
)
1
1,1()
1(14
4
2
4
-=
=++⋅
+=
⎰
t x t x
x x dx x
x 令
⎰--⋅
-⋅
=
dt t t
t
t t 2
4
38
2
4
)
1(4)1(⎰+⋅
=
-
=C t
dt t
3
4
1
34
4
C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
4
3
13
4.
第6章 （之5） 第30次作业
教学内容：6.2.1定积分的换元法 6.2.2定积分的分部积分法
**1. ．
计算积分
⎰
+4
2
2
)sec
(tan
π
dx x x
解:
⎰
-=
4
2
)1sec
2(π
dx x 原式[]=-20
4
tan x x π
=-
24π
.
**2.
dx
x x e
x x ⎰+-⋅-21
2
4
)
1arctan(2
222
.
解：原式
)]
1[arctan()1(1
)1(2
21
)
1arctan(21
2
2
2
)1arctan(2
2
-=
-+-=
⎰
⎰
--x d e
x d x e
x x
1
42
1
)
1arctan(2
-==-π
e e
x .
**3.
dx
x x x ⎰-+-+01
2
2
312.
解：原式
dx
x x ⎰
---+
-=
01
)1
32
5(
01
)
1ln 32ln 5(----=x x
3ln 52ln 8-=.
**4.
⎰
-+43
2
12
1dx
x
x x .
解：原式
t t t
t t
x x x x d cos 2
1cos 2123
sin 2
1
sin 2
12
1d )2
1(4
11
60
43
2
12
⎰
⎰
+=---+=
π
4
3214
)
2
3cos 2
1()2
3sin 2
1(6
60
-
+
=
+
-
=+=
⎰
π
π
π
t t dt t .
*5.
⎰
+31
2
2
1x
x
dx .
解： θtan =x 令，原式3
322sin 1sin cos sec tan sec 3
4
3
4
2
3
42
2-
=-
=⋅=
⋅=
⎰⎰π
π
π
π
π
π
θ
θ
θθθ
θθθd d .
***6.
．
计算
⎰
=
20
22sin π
xdx e I x
.
解:
[]
⎰
+
-
=20
220
22cos 2cos 2
1π
π
xdx
e
x
e
I x
x
[]
⎰
-
+
+=
20
220
22sin 2sin 2
1)1(21π
ππ
xdx
e
x
e
e
x
x
=
+-1
2
1()e I
π
,
故原式=+14
1()
e
π
.
**7.
dx
x e ⋅⎰1
)ln cos(π.
解：原式
dx
x
x x x x e e
⋅⋅
⋅⋅+
⋅=⎰
1
1
)ln sin()ln cos(π
ππ ⎰
⋅-⋅⋅+-=e e
dx
x x x 1
2
1
)ln cos()ln sin(1ππ
π
2
1
2
11
)ln cos(1π
πππ
π+-=
⋅⋅-⋅+
-=⎰
e dx x e e .
**8.
x
x e e
d |ln |1⎰
.
解：原式⎰
⎰
+-=
e e
xdx xdx 1
1
1ln ln e x x x x x x e
e
22)ln ()ln (1
11-
=-++-=.
***9.设
⎩⎨⎧≤->=,
2||,4,2||0)(2
x x x x f ，
求
⎰--22
)1(dx
x xf .
解：
⎰⎰--+=--13
22
)()1(1)1(dt
t f t t x dx x xf 令
⎰
⎰
⎰
----+--=
-++
⋅⋅+=
12
2
312
2
23
)44()4)(1(0)1(dt
t t t dt t t dt t
427)
43
14
12(1
2
3
4
2
=
+-
-
=-t t t t .
**10. 求
dx
x x ⎰--+11
2
2
2
])(arctan 4arctan 2[π
.
解： 原式
⎰
--⋅+=
11
2
2
2
])(arctan 4arctan 4[dx
x x ππ
)
)(arctan 4arctan 4(2
2
11
2
为奇函数x x dx -⋅⋅=
⎰
-ππ
2
2π=.
***11.
．
，求
设
⎰
=+10
2)()13(dt t f xe x f x
解:
⎰
⎰⎰
--=++=10
03
103
123)13(313)(dx
xe dx x f x t dt t f x
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡-==⎰⎰
---0
312
03
12
0312
66dx e xe
xde
x
x x
=--
--21216
2
13
0e
e
x =--141216
e .
解法二: 令31-=
t x ,则有
6
1
3
1)(--=
t e
t t f ,所以
⎰
⎰-=--=---10
11
16
112
1420
1)1(2)(b
b
t t e
dt e
e
t dt t f .
***12.
．
，求设x e dt x
t
6
1
4
ln π=
-⎰
解: u e t
2sec =令　，
⎰
-=3
2
arccos 2π
x
e du 原式=-⎛⎝ ⎫⎭⎪
-232π
arccos e x
，则
23262
π
π
-=
-arccos e x ，
arccos e
x -
=
2
4π
，
e
x -==
2
4
1
2cos
π，
-
=x 2
12ln
，
x =ln 2.
另解：
⎰
⎰
--
--=-4ln 24ln 121
x
t
t x
t
e
de
e dt 6arcsin 23
arcsin 22
4
ln 2
π
π=
+-=
-=-
-x x
t e
e
，
即 4arcsin 2
arcsin 22
2
π
π
=
=
--x x e e ，， 所以 x =ln 2.
**13.若 )(x f 在],[a a -上连续（0>a ），试证明：
⎰
⎰
-+=
-a a a
dx
x f x f dx x f 0
)]()([)(，
并计算积分
⎰
-
+44
sin 1π
π
x
dx .
证：
)
()()()(0
0t x dx
x f dx x f dx x f a
a
a a
-=+
=
⎰
⎰
⎰--在第一积分中令
,
)]()([)()()()(0
0⎰
⎰⎰
⎰
⎰
-+=+
-=
+
--=a a a a a
dx x f x f dx x f dx x f dx x f dt t f ⎰
⎰
⎰
⋅-=
-+
+=
+-
40
2
40
44
sin
12]sin 11
sin 11[
sin 1π
π
π
π
dx
x
dx x
x
x
dx
2
tan 2cos
1240
40
2
===⎰
π
π
x
dx x
．
***14．设函数)(x f 是区间[0，1]上的连续函数，试用分部积分法证明
⎰
⎰⎰=
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡10
1
01)()(udu
u f dx du u f x。

证：
⎰
⎰
⎰⎰
⎰
=
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
10
10
1
1101)()()
)(()(du
u uf dx x xf du u f x dx du u f x
x
.
****15．试证递推公式
2
1sin
--=
⎰
n n
n
I n
n dx x x def
I π
.
证：
⎰
⋅=
π
sin
xdx
x I n
n x
d x x n cos sin
1
⎰
--=π
⎰
⋅⋅-++
⋅⋅-=---π
π
2
1
1
]cos sin
)1([sin
cos cos sin dx
x x x n x x x x x n n n
dx
x x x n x d x n n ⋅⋅⋅-+=
⎰
⎰
--π
π
2
2
1
cos sin
)1(sin sin
⎰-⋅-+=-π
π
2
2
)sin
1(sin
)1(sin 1dx
x x x n x
n
n n
⎰⎰
-⋅-+⋅⋅--=π
π
2
sin
)1(sin
)1(dx
x x n dx x x n n n
2)1()1(--+--=n n I n I n ，
2
n n I n
n I --=
∴1.
***16. ．，，试证设
N n I n n I x x I n n n
n ∈+=
-=
-⎰
110
21
22d )1(
证:
⎰
⎰
----
-=
10
1
2
210
1
2
)
1()
1(dx x x dx x I n n n n
n x xd n
I )
1(2110
2
1⎰
-+
=-
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--
-+=⎰-1
0210
21
)1()
1(21dx x x x n I n n n =--I n I n n
112,
所以 I n n I n n =
+-221
1
.
**17．设)(x f 是以l 为周期的连续奇函数，试证明，)(x f 的任意原函数都是以l 为周期的
周期函数.
证：设)(x f 的任意原函数为)(x F ，则
C
dt t f x F x +=
⎰
)()(（C 为某一常数），
C
dt t f l x F l x +=
+⎰
+0
)()(
)
()()()()()(0
22
0x F C dt t f C dt t f dt t f C dt t f dt t f x l l x l x x x =+=
++
=
++=⎰
⎰
⎰
⎰⎰-+
)(x f ∴的任意原函数都是以l 为周期的周期函数.
***18.
为非零常数．
，都有
上连续，且对任意
，在设l l dt t f x x f l x x
⎰
+=∞+-∞)()()(
为周期函数．试证：)(x f 证明：
：
⎰
+=+=-+=l x x
x f l x f x f l x f x l dt t f ),
()(,0)()()(即求导，有等号两边也对
在所以周期的周期函数。

是以l x f )(
***19. 为偶函数．
证明：设)( , )cos 21ln()(0
2
x F dt x t x x F ⎰
+-=
π
证:
dt
t x x x F )1cos 2ln()(0
2
⎰
++=
-π
， u t -=π令　， ⎰+--=-0
2
)1cos 2ln()(π
du
u x x x F
⎰
+-=
π
2
)1cos 2ln(dt
t x x )(x F =. 20．利用夹逼定理计算下列数列的极限：
***（1）
⎰
+=
10
1
dx
x x
a n
n ；
解：当10≤≤x 时，有
n
n
x
x
x
≤+≤
10，即
dx
x a n
n ⎰
≤
≤10
而
1
1lim
lim
10
=+=∞
→∞
→⎰
n dx x n n
n ， 由夹逼定理知：0
lim =∞→n n a , 即
⎰
+∞
→10
1
l i m dx
x x
n
n 0=.
****（2）⎪
⎭⎪⎬
⎫
⎪
⎩
⎪⎨⎧⎰n dx x n
sin .
解：3>∀n ，N k ∈∃，使k 满足 ππ)1(+<≤k n k 。

再注意到：
x
sin 的周期为π，且 2
sin 0
=⎰π
dx x .
π
π
π
π
ππk k k dx x n
dx x k dx
x k k k n k )1(2|sin |sin )1(sin )1(2)1(0
+=
≤
≤
+=
+⎰
⎰
⎰
+ （1）
显见，当∞→n 时，必有∞→k ，
而当∞→k 时，ππ
π
π
2
)1(2,
2
)1(2→
+→
+k k k k
，
从而对（1）式用夹逼定理知π2
sin lim
=
⎰
∞
→n
dx x n n .
21.利用定积分计算下列极限：若)(x f 在],[b a 上连续，则根据定积分定义有：
⎰
∑
=
-⋅
-+=∞
→b a
n
k n dx
x f n
a b n
a b k
a f )()(lim
1
，
试用上式求极限：
***（1）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++∞→n n n n n n 1312111
lim . 解：原式=∑
=∞
→+
n
i n n i
n
1
111lim。

将区间 [0，1] 作n 等分，并取
n i
x i i =
=ξ（n i 2,1=），
则
,
1
1n x x x i i i ≡-=∆-
⎰
∑
∑∑=
∆=∆+=+=∞
→=∞
→=∞
→b a
i n
i i n i n
i i
n n
i n dx
x f x f x n
i n
)()(lim
11
lim
111
lim
1
1
1
ξξ
，
其中
1
,
0,
11)(0====+=
n x b x a x
x f ,
则 ⎰
∑∑+=
∆+=+
=∞
→=∞
→10
1
1
1111
lim
111
lim
dx
x
x n
i n
i n
i i
n n
i n ξ
.
而
2
ln 110
=+⎰x
dx ， 所以原极限为ln2.
***（2）
∑=∞
→+n
k n
k n
k n ne
n e
1
2lim
. 解：原式=
4arctan 0
1arctan )
(1)
(11
lim
10
2
1
2
π-
==+=
+⋅
⎰
∑=∞
→e e
dx e e
e e
n
x
x
x n
k n
k n k n .
第6章 （之6） 第31次作业
积分法练习
一、求下列积分：
1.
x
x
x
x
d
ln
1
) arccos(ln
2
⎰
-.
解原式
⎰
-
=)
(ln
d
ln
1
)
arccos(ln
2
x
x
x
⎰-=)]
[arccos(ln
d)
arccos(ln x
x
C
x+
-
=2
)]
[arccos(ln
2
1
.
2.
x
e
e
x
x
d
5
43
2
3
2
⎰
+
+
+
.
解原式
⎰+
+
=+
+
)5
4(d
5
4
1
8
1
3
2
3
2
x
x
e
e
C
e x+
+
=+)5
4
ln(
8
1
3
2
.
3.
x
x
x
d
sin
5
sin
2
⎰
-.
解原式
⎰
+
-
=
x
x
2
cos
4
)
(cos
d
⎰
+
-
=
2
)
2
cos
(
1
)
2
cos
(d
2
1
x
x
C
x
+
-
=)
2
cos
arctan(
2
1
.
4.
x
e
x x d
1
1
2
3
⎰
-.
解原式
⎰
⎰=
=
1
3
1
2)
(d
3
2
d
23
3
x
e
x
e
x x
x)1
(
3
2
3
2
1
3
-
=
=e
e x
.
5.
x
x d
2
cos
1
3
4
⎰
-
-
π
π
.
解原式
⎰
-
=3
4
d
sin
2
π
π
x
x⎰
⎰+
-
=
-
3
4
d
sin
2
d
sin
2
π
π
x
x
x
x
1
2
2
3
cos
2
cos
23
4
-
=
-
=
-
π
π
x
x
.
6.
x
x
d
5
1
2
1
5
1
⎰
-
-.
解原式
⎰
-
+
=
-
=3
1
2
d
5
)1
(
2
1
1
2
t
t
t
t
x
x
t
令
2
ln
5
2
|
|)
5
|
ln
5
(3
1
-
=
-
+
=t
t.
7.
x
x
x
d
)
1(
1
1
63
032
⎰
+
+
+.
解原式
⎰
+
-
=
+
=2
1
4
3
5
6
6
d
6
1
1
t
t
t
t
t
x
x
t
令
⎰
+
+
-
=
2
1
d]
1
1
1
[
6t
t
t
2
1
2|]
1
|
ln
6
6
3[+
+
-
=t
t
t2
3
ln
6
3+
=
.
8.⎰+x
x
x d)1
sin(
.
解原式
⎰+
-
=)1
cos(
d x
x⎰+
+
+
-
=x
x
x
x d)1
cos(
)1
cos(
C
x
x
x+
+
+
+
-
=)1
sin(
)1
cos(.
9.
x
x
e x
d
3
3
⎰
.
解原式
⎰
⎰=
⋅
=
=
)
(d
3
d
32
3
3
t
t
e
t
t
t
t
e
t
x
x
t
令
)
(3⎰-
=dt
e
te t
t
C
e
x
C
e
te x
t
t+
-
=
+
-
=3
)1
(3
3
33.
10.⎰3
1
2d)
3
ln(x
x
x
.
解原式
⎰
=
3
1
3
d)
3
ln(
3
1
x
x⎰
-
=
3
1
3
3
1
3d
3
3
3
1
)
3
ln(
3
1
x
x
x
x
x
9
26
3
ln
3
53
-
=
.
11.
x
x
x
d
4
1
4
2
22
2
⎰
-.
解原式
⎰
=
3
4
d
cos
4
1
sec
2π
π
t
t
t
x
)
2
3
(
8
1
sin
4
1
3
4
-
=
=
π
π
t
.
12.
x
x
x
d
12
2
⎰
-.
解原式
t
t
t
t
t
x
d)
2
cos
1(
2
1
d
sin
sin
2⎰
⎰-
=
=
C
t
t
+
-
=2
sin
4
1
2
C
x
x
x+
-
-
=2
1
2
arcsin
2
1
.
13.
x
x
d
)
4(
1
3
2
2
2
3
2
⎰
+.
解原式
⎰
=
3
4
3
2
d
sec
8
sec
2
tan
2π
π
t
t
t
t
x
3
4
3
4
sin
4
1
d
cos
4
1π
π
π
π
t
t
t=
=⎰)2
3
(
8
1
-
=
.
14.
x
x
x
x
d
4
2
2
⎰
-
+
.
解原式
⎰
-
-
+
=x
x
x
d
)2
(
4
2
2
C
t
t
t
t
t
x
+
-
=
+
=
-
⎰cos
2
4
d)
sin
2
4(
sin
2
2
C
x
x
x
+
-
-
-
=2
4
2
2
arcsin
4
.
15.
x
x
x
d
arctan
3
12
⎰
.
解原式
⎰
⎰-=
=
=
3
4
2
3
4
3
2
)
(csc
d
d
sin
cos
2
tan
arctanπ
π
π
π
t
t
t
t
t
t
t
x
x
t
⎰+
-
=3
4
2
3
4
2d
csc
csc
π
π
π
π
t
t
t
t1
3
3
18
cot
18
3
4
+
-
=
-
=
π
ππ
π
t
.
16.
x
x
x
d
cos
)
ln(sin
2
⎰
.
解原式
⎰⎰-
=
=x
x
x
x
x d
)
ln(sin
tan
)
(tan
d)
ln(sin
C
x
x
x+
-
=)
ln(sin
tan.
17.
x
e x
d
1
1
7
ln
⎰
+.
解原式
⎰
-
⋅
-
=
+
=2
2
22
2
d
1
2
1
)1
ln(
1
t
t
t
t
t
x
e
t x
2
2
2
2
2
21
1
ln
)
1
1
1
1
(
+
-
=
+
-
-
=⎰t t
dt
t
t2
3
2
3
ln
-
+
=
.
18.
x
x
x
d
1
2
3
⎰
-.
解原式
⎰-
-
-
=x
x
x
x
d)
1
1
1
1
(
2
C
x
x
x
+
+
-
=
1
1
ln
（本题也可作倒代换：令t
x
1
=
）.
19.
x
x
x
x
d
)
cos
1(
sin
sin
1
⎰
+
+
.
解 原式
⎰
+⋅+-++++
=2
2
222
1d 2)111(121212
tan
t
t t t t t t
t
x t 令
C
t t t t t t t ++
+=
++=
⎰
ln 21
41
d 21
22
2
C x x x
+++=
2tan ln 212tan 2tan
4
12.
20.
⎰-2
2
d )(x
x f ，其中
⎩⎨⎧<-≥+=.
0,2,0,
2)(x x x x x f
解 原式⎰
20
d )(2
x x f 性质偶函数
12
d )2(2
2
=+=⎰
x x .
21.x
x f f x f x f d )]([)()(2
⎰
'',其中 )(x f ' 连续.
解 原式⎰
=
)(d )]([')(2
x f x f f x f ⎰
=
)]
([d )](['2
12
2x f x f f
C
x f f +=)]([2
12
.
22.
x
x g x f x g x f x g x f d )
()()
()()()(2
2
⎰
+'-'，其中)(x f '，)(x g '连续，0)()(≠x g x f .
解 原式⎰
+-=
x x g x f x g x g x f x g x f d 1
])
()([)()(')()()('2
2
C
x g x f x g x f x g x f +=+=
⎰
)
()(arctan
1])
()([
]
)
()([
d 2
.
(也可分子分母同除以 )(2
x f ，而得 C
x f x g +-)
()(arctan
).
二、解下列各题 ：
1.计算
x
x x d sin
)1(6
2
2
7⎰--π
π
.
解 因为其中x x 6
7
sin
是奇函数，所以
sin
6
22
7=⎰
-
xdx x π
π。

而x 6
si n
是偶函数,故
原式
πππ
16522143652d sin
2
20
6
=⋅⋅⋅⋅
==⎰
x x .
2.已知 )()(x f x F ='，试用 F 表示
x
x f d )1025(
⎰+.
解 原式
C
x F x x f ++=++=⎰
)10
2
5(
2)10
25(
d )10
25(
2
.
（也可作换元令10
25+=
x t 即5
210-=
t x ）.
3.已知 x x x f ln )(ln ='，0)0(=f ，求 )(x f . 解 作换元x t ln =，t
te t f =)('，
⎰=
-x
t t f f x f 0
d )()0()('
⎰
⎰
=
+
=x t
x
t
te t t f f x f 0
0d d )(')0()(
1
)1()1(0
+-=-=x
x t e x e t .
4.)(x f 为已知函数，)('''x f 连续，求 x
x f x x d )(''')1(2
++⎰.
解 原式
⎰
++=
)(''d )1(2x f x x ⎰+-
++=)('d )12()('')1(2
x f x x f x x
C x f x f x x f x x +++-''++=)(2)(')12()()1(2
.
5.利用换元 t t
x +-=11 ，计算 x x x d 1)1ln(10
2⎰++.
解 原式 ⎰
+-⋅+-++-+=0122d )1(2)11(1)111ln(t t t t t
t I ⎰++=102d 112ln t t t
I
t t t t
t -=
++-
+⋅
=⎰
⎰
2ln 4
d 1)1ln(1d 2ln 10
10
2
2
π
所以
2
ln 8
π
=
I .
6.求
x
x f x d )(1
2
⎰，其中
⎰
+=
14
d 1)(x
t
t x f .
解 原式
⎰
=
103
d )(31x
x f ⎰
-
=
10
3
10
3
d )('3
1)(3
1x
x f x x f x
10
2
3
4
1
4
3
)1(18
1d 131
x x x x
+=+=
⎰
).
122(18
1-=
7.利用被积函数的奇偶性， 计算定积分
⎰-+11
6d )1ln(x
e x x
.
解 原式
dx
e
e
e
x x
x
x
)](ln[3331
1+=
--⎰
dx
e
e x x x
x
)]ln(3[11
332
⎰
--++=
=2.
8.利用被积函数的周期性，计算定积分
x
x x d 2sin 2sin 10
⎰-π
.
解 因为被积函数以π为周期，所以在任一长为π的区间上积分值都相等，为了使计
算更方便，就取 ]
4
5,
4[
ππ
， 故有
原式
xdx x 2sin 2sin 14
54
⎰
-=
π
π
xdx
x x x cos sin )cos (sin 2
4
54
⎰
-=π
π
dx x x x x )cos sin cos (sin
2
2
4
54
2
⎰
-=π
π
4
54
3
3
)
cos (sin
3
2π
π
x x +=3
22-
=.。