河南省漯河市高级中学高二数学文圆锥曲线综合练习 含

圆锥曲线综合练习
一、 选择题：
1．已知椭圆22
1102
x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
2．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y
a b a b
+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离
心率为（ ）
A B ．12 C D ．23
3．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m
+=的离心率是（ ）
A B C D 4．已知点12F F ，
是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +
的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．5．P 为双曲线22
1916
x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=
上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
6．已知12A A ，分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P
恒满足124
9PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
49 B ．23 C ．59 D 7．已知22
12221(0)x y F F a b a b
+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的
一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=
（O 为坐标原点），2120AF F F ⋅= ，若椭
, 则直线AB 的方程是( )
A ． y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 8．若椭圆22
1x y m n
+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是
两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 （ ）
A ．m p +
B ．p m -
C ．m p -
D ．22m p -
9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，
P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ ）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
10．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ） A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x = D
．2y =
11．已知点12F F ，
是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +
的最小值是（ ） A
． B ．2 C ．1 D ．0
12．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，
分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB
2，
则BDF ∠的余弦是（ ） A B
C D 13．设双曲线22
22:1(00)x y C a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，
，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ） A ．(12]， B ．2] C ．2) D ．(12)，
14．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22
143
x y +=上的一个动点，(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴，且12x x <，则N
A B △的周长l 的取值范围为（ ）
A ．10(5)3，
B ．8(4)3，
C ．10(4)3，
D ．11
(5)3
， 15．过双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），
交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2 D 16．已知点P 为双曲线22
221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，
分别为双曲线的左、右焦点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）
A
B C ．b a D ．a
b 二、填空题：
17．已知12F F ，为椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若
22||||12F A F B +=，则||AB = ．
18．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为
1
2
的椭圆的方程为 ．
19．已知P 为椭圆22
194
x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠= ，则12F PF △
的面积是 ．
20．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，
的一条渐近线与椭圆22
143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ．
21．已知双曲线22
221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，
，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠= ，则双曲线的渐近线方程为 ．
22．已知12F F 、分别为椭圆22
1259
x y +=的左、右焦点， P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个
动点，若12||||4PF PF -= ，则12()PQ PF PF ⋅-=
. 23．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为 ．
24．设双曲线22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的
直线与双曲线交于点B ，则AFB △的面积为 ．
25．已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x =点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．三、解答题：
26．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ，
，点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，14||3PF =，214||3PF =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，
，交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程．
27．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，
． （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且
直线OA 与L
l 的方程；若不存在，请说明理由．
28．已知抛物线22(0)x py p =>．
（Ⅰ）已知P 点为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(42)-，
，且||||PA PM +的最小值是4． （ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点，连接AO BO ，并延长分别交抛
物线的准线于C D ，两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．
29．如图所示，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．
（Ⅰ）设12F F ，
分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；
（Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程； （Ⅲ）若直线l :y kx m =+与（Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点），
且满足22AA BA ⊥，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
30．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且2F 1F 2→＋F 2Q →
＝0. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，点P (4，0)，求△PMN 面积的最大值．
圆锥曲线综合练习答案
一、DADCD DACCC BCACAB
二、8；22143x y +=
；y =；20
3215；1 26、解：（Ⅰ）因为点P 在椭圆C 上，所以122||||63a PF PF a =+==，
． 在12Rt PF F △
中，12||FF
故椭圆的半焦距c 从而2224b a c =-=．
所以椭圆C 的方程为22
194
x y +
= （Ⅱ）解法一：设A B ，两点的坐标分别为1122()()x y x y ，，
，． 若直线l 斜率不存在，显然不和题意．
从而可设过点(21)M -，
的直线l 的方程为(2)1y k x =++， 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得，2222(49)(3618)3636270k x k k x k k +++++-=
所以22121222
3618363627
4949k k k k x x x x k k ++-+=-=++，． 又因为点M 是线段AB 的中点，
所以2122
1892249x x k k
k ++=-=-+． 解得89k =，
所以直线l 的方程为8
(2)19
y x =++．
即89250x y -+=（经检验，所求直线方程符合题意）． 解法二：设A B ，两点的坐标分别为1122()()x y x y ，，
，． 由题意知12x x ≠，且
22
11194
x y += ① 2222
194
x y += ② 由①-②得
121212124899y y x x x x y y -+=-=-+，即直线l 的斜率89
k =． 又直线l 过点(21)M -，
， 所以直线l 的方程为8
1(2)9y x -=+，
即89250x y -+=．
27、解：（Ⅰ）将(12)A -，
代入22y px =，得2(2)2p -=，解得2p =， 故所求抛物线方程为24y x =，其准线方程为1x =-．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，设其方程方程为2y x t =-+， 由224y x t
y x
=-+⎧⎨=⎩，得2220y y t +-=， 因为直线与抛物线有公共点，所以480t ∆=+≥，得1
2t -≥．
又两平行线的距离d =
1t =±，舍去1t =-， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为210x y +-=．
28、解：（Ⅰ）（ⅰ）有抛物线定义可知||||2
p
PM PF =-
， 所以||||||||||22
p p
PA PM PA PF AF +=+--≥．
因为A 在抛物线外，且当P A F ，，三点共线时，||||PA PM +取得最小值， 所以此时||42p AF -
=．因为(42)A -，，(0)2p F ，，
42
p
=，所以2p =． 故抛物线的方程为24x y =．
（ⅱ）由（ⅰ）知，抛物线焦点为(01)F ，
，抛物线准线与y 轴交点为(01)E -，． 显然过点E 的抛物线的切线的斜率存在，设为k ，则切线方程为1y kx =-． 由241
x y
y kx ⎧=⎨=-⎩，消去y 得，2440x kx -+=，由216160k ∆=-=，解得1k =±． 所以，切线方程为1y x =±-．
（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为02
p
y k x =+，设1122()()A x y B x y ，，，．
由2022
x py p y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得，22020x pk y p --=，且2220440p k p ∆=+>． 所以2120122x x pk x x p +=⋅=-，
．因为11()A x y ，，
所以直线OA 的方程为11y y x x =与2
p y =-联立可得11()22px p C y --，． 同理可得22()22
px p
D y -
-，． 因为，焦点(0)2
p F ，，所以11()2px FC p y =-- ，，
22()2px FD p y =-- ， 所以，22442222212121222
212
1212120224422px px p x x p x x p p FC FD p p p p p x x y y y y x x p
p p
⋅=⋅+=+=+=+=+=-⋅⋅ 所以，以CD 为直径的圆过焦点F ．
29、解：（Ⅰ）设点P 的坐标为()x y ，，令2221()||()f x PF x c y ==++． 又点P 在椭圆C 上，故满足22221x y a b +=，则222
22b y b x a =-．
代入()f x ，得222
2
22
222()()2b c f x x c b x x cx a a a
=++-=++．
则其对称轴方程为2a x c =-，由题意，知2
a a c
-<-恒成立，
所以()f x 在区间[]a a -，
上单调递增． 所以当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时1||PF 取得最小值与最大值． （Ⅱ）由已知与（1），得3a c +=，1a c -=，所以21a c ==，．所以2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +
=． （Ⅲ）如图所示，设11()A x y ，、22()B x y ，
22y kx m
=+⎧⎪
22
2
(34)84(3)0
k x m k x
m ++
+-=， 则22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->即2234k m +-> 2121222
84(3)
3434km m x x x x k k -+=-=
++， 又2
2
121212122
()()()34y y kx m kx m k x x mk x x m k =++=+++=+．
因为椭圆的右顶点为222(20)A AA BA ⊥，
，． 所以，1212(2)(2)0x x y y --+=，所以1212122()40y y x x x x +-++= 所以，222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++
所以，2271640m km k ++=
解得12227
k
m k m =-=-，
，且均满足22340k m +->． 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，
，与已知矛盾． 当227k m =-
时，l 的方程为2()7y k x =-，直线过定点2
(0)7
，
， 所以直线l 过定点，定点坐标为2
(0)7，． 30、解 (1)设Q (x 0，0)．∵F 2(c ，0)，A (0，b )，
则F 2A →＝(－c ，b )，AQ →＝(x 0，－b )，又F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0， 故x 0＝－b 2
c ，又2F 1F 2→＋F 2Q →
＝0，
∴F 1为F 2Q 的中点，故－2c ＝－b 2c ＋c ，即b 2＝3c 2＝a 2－c 2
，∴e ＝c a ＝1
2. (2)∵e ＝c a ＝1
2，∴a ＝2c ，b ＝3c ，则F 2＝(c ，0)，Q (－3c ，0)，A (0，3c )．
∴△AQF 2的外接圆圆心为(－c ，0)，半径r ＝1
2|F 2Q |＝2c ＝a . ∴|－c －3|2＝2c ，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3，椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
(3)设直线MN 的方程为：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 2
3＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4， |y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝43·3m 2＋3
3m 2＋4
. ∴S △PMN ＝1
2|PF 2|·|y 2－y 1|＝63·3m 2＋33m 2＋4
，令3m 2＋3＝λ≥3， ∴S △PMN ＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ≤633＋13＝92，∴△PMN 面积的最大值为9
2，此时m ＝
0.。