初三《二次函数》应用综合题专项训练

初三《二次函数》应用综合题专项训练
班级________姓名_________座号_______
1. 某星期天,小明和他的爸爸开着一辆载满西瓜的大卡车首次到某古城销售,来到城门下才发现古城
门为抛物线形状(如图所示).小明的爸爸把车停在城门外,仔细端详城门的高和宽以及自己卡车的大小,但还是十分担心卡车能否顺利通过.经询问得知,城门底部的宽为6米,最高点距离地面5米.
如果卡车的高是4米,顶部宽是2.8米,那么卡车能否顺利通过?
2. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,
这时水面宽度为10m.
（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的关系式;
（2）若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥顶?
3. 为合格证交通安全,汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离(开始刹车到车辆停止行驶的距离)
与汽车行驶速度(开始刹车时的速度)的关系,以便及时刹车.下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表:
（1）设汽车刹车后的停止距离y(m)是关于汽车行驶速度x(km/h)的函数,给出以下三个函数:①
y=ax+b;②y=k
x
(k≠0);③y=ax2+bx,请选择恰当的函数来描述停止距离y(m)与汽车行驶速度
x(km/h)的关系,说明选择理由,并求出符合要求的函数的关系式;
（2）根据你所选择的函数关系式,若汽车刹车后的停止距离为70m,求汽车的行驶速度.
4. 为了美化生活居住环境,小新的爸爸决定在草坪中间建一个喷泉.他先建了一个半径为2.5米的圆
形水池,然后买回了一个喷头,经测试,把喷头安装在喷泉中心的地面上,喷出的水最高达0.8米,然后落在距喷头2米的池底上.在安装喷头时,小明的爸爸知道水喷得越高越美观,而且喷头安得高,喷出的水也高,但也不能过高,否则喷出的水将落在池外.现在的问题是:喷头最高应安装在距离池底多少米的地方?
5. 有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4m,抛物线顶点处到边MN的距离是4m,要在铁皮上截下一
矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在MN上,A、D落在抛物线上,问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8cm.
6. 我市英山县茶厂种植”春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年3月25日起的180天内,
绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示.
（1）直接写出图①中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式;
（2）求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天) (t＞0)的函数关系式;
（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?
（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500元）
)
)
7.一男生在校运会的比赛中推铅球,铅球的行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系用如图所示的二次函数图象表示(铅球从A 点被推出,实线部分表示铅球所经过的路线).
(1) 由已知图象上的三点，求y 与x 之间的函数关系式;
(2) 求出铅球被推出的距离;
(3) 若铅球到达的最高的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积.
8. 如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中A 点坐标为(-1,0). 点C (0,5), D (1,8)在抛物线上, M 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB 的面积.
x
9. 如图,已知直线y=-2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰
直角△ABC,∠BAC=90°,过C作CD⊥x轴, D为垂足.
(1)求点A、B的坐标和AD的长;
(2)求过B、A、C三点的抛物线的解析式.
10. 已知一个二次函数的图象过图所示三点.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)平行于x轴的直线l的解析式为y=25
4
,抛物线与x轴交于A、B两点,在抛物线对称轴上找点
P,使BP的长等于直线l与x轴间的距离,求点P的坐标.
11. 某机械租凭公司有同一型号的机械设备40套,经过一段时间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元.设每套设备的月租金为x (元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入—支出费用)为y (元).
（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;
（2）求y 与x 之间的二次函数关系式;
（3）当月租金分别为300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该出租多少套机
械设备?请你简要说明理由;
（4）请把(2)中所求出的二次函数配方成y=a (x+2b a
)2+2
44ac b a 的形式,并据此说明:当x 为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?
12. 如图,在正方形ABCD 中,AB=2,E 是AD 边上的一点(点E 与点A 、D 不重合),BE 的垂直平分线交AB 于M ,交DC 于N .
（1）设AE=x ,四边形ADNM 的面积为S ,写出S 关于x 的函数关系式;
（2）当AE 为何值时,四边形ADNM 的面积最大?最大值是多少?
N
13. 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运
动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.
（1）求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
（2）当x为何值时, △BDE的面积S有最大值,最大值为多少?
14. 如图,直线y=2x+4与x轴,y轴分别交于A、B两点,把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD.
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的关系式.
（2）在所求抛物线上是否存在点P,使得直线CP把△OCD分成面积相等的两部分?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
x
15. 已知二次函数y=ax 2 – ax + m 的图象交x 轴于A (1x ,0)、B (2x ,0)两点,1x ＜2x ,交y 轴的负半轴于C 点,且AB=3，tan ∠BAC －tan ∠ABC=1.
(1)求此二次函数解析式
(2)在第一象限，抛物线上是否存在点P ，使PAC S ∆=6?若存在,请你求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
16. 已知:如图,m 、n 是方程x 2 – 6x +5=0的两个实数根,且m ＜n ,抛物线y=-x 2+bx+c 的图象经过点A (m,0)、B (0,n ).
（1）求这个抛物线的解析式;
（2）设(1)中的抛物线与x 轴的另一交点C ,抛物线的顶点为D ,试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的
面积;(注:抛物线y=ax 2
+bx+c (a ≠0)的顶点坐标为(2b a -,2
44ac b a -) （3）P 是线段OC 上的一点,过点P 作PH ⊥x 轴,与抛物线交于H 点,若直线BC 把△PCH 分成面
积之比为2:3的两部分,请求出P 点的坐标.
x
17. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3), 与x轴分别交于B(1,0), C(5,0)两点.
（1）求此抛物线的解析式;
（2）求点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长.
18. 一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个以AD为直径的半圆O,下部是一个矩形ABCD.
（1）当AD=4米时,求隧道截面上部半圆O的面积;
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米。

①求隧道截面的面积S（米2）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（ 取3.14，结果精确到0.1米）
19. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴
的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交与点M、N(点M在点N的上方).
（1）求A、B两点的坐标;
（2）设△OMN的面积为S,直线l运动时间为ts(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
（3）在题(2)的条件下,t为何值时,S的值最大?最大值是多少?
20. 一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),该列火车挂有一节邮政车
厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包各一个.
例如,当列车停靠在第x个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x –1)个车站发给该站的邮包共(x –1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n – x)个车站的邮包共(n – x)个.
（1）根据题意,完成下表:
（2）根据上表,写出列车在第x个车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x、n表示).
（3）当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多?最多为多少个?
21. 如图所示,足球场上守门员在O 处开出一高球,球从离地面1米的A 处飞出(A 在y 轴上),运动员乙
在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1）求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.
（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米? (
取 （3）运动员乙要抢到第二个落点D ,他应再向前跑多少米? (
取
22. 如图,已知抛物线y=x 2 – 4x+1.将此抛物线向左平移4个单位长度,得到一条新的抛物线.
（1）求平移后抛物线的关系式;
（2）若直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m 的取值范围;
（3）若将已知的抛物线关系式改为y=ax 2+bx+c (a ＞0,b ＜0),并将此抛物线沿x 轴方向向左平移
b a
个单位长度,试探索问题(2).
+1
23. 如图,已知抛物线y=ax 2+4ax+t (a ＞0)交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于
点E ,点B 的坐标为(-1, 0).
（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标;
（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ,你判断四边形ABCP 是什么四边形吗?并
证明你的结论;
（3）连结CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的关系式。

24. 如图,已知直角坐标系内的梯形AOBC (O 为原点),AC ∥OB ,OC ⊥BC,AC,OB 的长是关于x 的方程
x 2 – (k+2)x+5=0的两个根,且AOC S ∆:BOC S ∆=1:5
（1）填空: OC=_____________, k=____________;
（2）设经过O,C,B 三点的抛物线与AC 的另一个交点为D ,动点P ,Q 分别从点O,D 同时出发,都
以每秒一个单位长度的速度运动,其中点P 沿OB 由O →B 运动,点Q 沿DC 由D →C 运动,过点Q 作QM ⊥CD 交BC 于点M ,连结PM ,设动点运动时间为t 秒,请你探索；当t 为何值时, △PMB 是直角三角形?。