2017年高考数学(理)(全国II卷)详细解析

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绝密★启用前
2017 年一般高等学校招生全国一致考试
新课标 II 卷
理科数学
一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项
是切合题目要求的．
3 i
1 ．
1
i
A ．1 2i B．1 2i C．2 i D．2 i
【答案】D
2．设会合 A 1,2,4 ， B x x2 4x m 0 ．若A B 1 ，则 B A．1, 3 B．1,0 C．1,3 D．1,5 【答案】C
【分析】
试题剖析：由 A B 1 得 1 B ，即x 1是方程 x2 4x m 0 的根，所以
1 4 m 0m, ，3 B 1,3 ，应选 C．
【考点】交集运算、元素与会合的关系
【名师点睛】会合中元素的三个特征中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的会合，在求出字母的值后，要注意查验会合中的元素能否知足互异性．两个防备：① 不要忽略元素的互异性；② 保证运算的正确性．
3 ．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
A．1 盏B．3 盏C．5 盏D．9 盏
【答案】B
4 ．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何
体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，
则该几何体的体积为
A．90
B．63
C．42
D．36
【答案】B
【分析】
试题剖析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为 4 的圆柱，其体积 V1 32436 ，上半部分是一个底面半径为3，高为6 的圆柱的一半，其体积 V2 1 ( 32 6) 27 ，故该组合体的体积 V V1 V2 36 27 63 ．故2
选 B．
【考点】三视图、组合体的体积
【名师点睛】在由三视图复原为空间几何体的实质形状时，要从三个视图综合考虑，依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见
轮廓线在三视图中为虚线．在复原空间几何体实质形状时，一般是以正视图和俯视图为主，联合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的要点是由三视图确立直观图的形状以及直观图中线面的地点关系和数目
关系，利用相应体积公式求解．
2x 3y 3 0
5 ．设x，y知足拘束条件2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的最小值是
y 3 0
A．15 B．9 C． D ．
【答案】A
6 ．安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由 1 人达成，则不一样的安排
方式共有
A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种
【答案】D
【分析】
试题剖析：由题意可得，一人达成两项工作，其余两人每人达成一项工作，据此可得，只
要把工作分红三份：有 C42 种方法，而后进行全摆列，由乘法原理，不一样的安排方式共有
C42 A 33 36 种．应选D．
【考点】摆列与组合、分步乘法计数原理
【名师点睛】（1）解摆列组合问题要按照两个原则：① 按元素(或地点)的性质进
行分类；② 按事情发生的过程进行分步．详细地说，解摆列组合问题常以元素
(或地点 )为主体，即先知足特别元素 (或地点 )，再考虑其余元素 (或地点 )．
（ 2 ）不一样元素的分派问题，常常是先分组再分派．在分组时，往常有三种种类：① 不均匀
分组；② 均匀分组；③ 部分均匀分组．注意各样分组种类中，不一样分组方法的求解．
7 ．甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位
优异，2 位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩．依据以上信息，则
A ．乙能够知道四人的成绩B．丁能够知道四人的成绩
C．乙、丁能够知道对方的成绩D．乙、丁能够知道自己的成绩
【答案】D
. word 可编写.
8 ．履行右边的程序框图，假如输入的a 1 ，则输出的 S
A．2B．3C．4D．5 【答案】B
9．若双曲线 C :
x 2 y 2
1（ a
0 ， b
0 ）的一条渐近线被圆
x 2
y 2
4 所截得的
a 2
2
2
b
弦长为 2，则 C 的离心率为
A ．
2 ． 3
C ． 2
D ． 2 3
B
3
【答案 】A
【分析 】
试 题 分 析 ： 由 几 何 关 系 可 得 ， 双 曲 线
x 2
y 2 1 a
0, b 0 的 渐 近 线 方 程 为
a 2
b 2
bx ay 0，圆心
2 , 0 到 渐 近 线 距 离 为 d 22 12
3 ， 则 点 2,0 到 直 线
b x
2b a 0 2b
，
a y 0 的距离为 d
b 2
3
a 2
c
4(c 2
a 2 )
3 ，整理可得 c 2
4a 2
，双曲线的离心率 e
c 2 4 2．应选 A ．
即
c 2
a
2
【考点 】双曲线的离心率 ；直线与圆的地点关系 ，点到直线的距离公式
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【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或
离心率的取值范围 )，常有有两种方法：① 求出 a，c，代入公式e c
；② 只要a
要依据一个条件获得对于a， b ，c 的齐次式，联合 b 2＝c2－a2转变为 a，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．
10 ．已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC 120 ， AB 2 ， BC CC11，则异面直
线 AB1与 BC1所成角的余弦值为
3 15 10 3
A．B．C．D．
2 5 5 3
【答案】C
11 ．若x 2 是函数 f ( x)( x2ax1)e x 1的极值点，则 f ( x) 的极小值为
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A．1 B．2e3 C．5e3 D． 1
【答案】A
【分析】
试题分析：由题可得
f ( x) x 1
( x
2
2 a
x
)
1
xe ， a (
x
1 x)
x
由于 f ( 2) 0 ，所以a 1 ，f ( x) ( x2 x 1)e x 1，故 f ( x) ( x2 x 2)e x 1，
令 f ( x) 0 ，解得 x 2 或 x 1，所以f ( x) 在 ( , 2),(1, ) 上单一递加，在( 2,1) 上单一递减，
所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 1 1)e1 11，应选A．
【考点】函数的极值、函数的单一性
【名师点睛】（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0处获得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0，且在 x0左边与右边 f ′(x)的符号不一样学 * ；（ 2）若 f(x)在(a， b)内有极值，那么f(x)在(a，b )内绝不是单一函数，即在某区间上单一增或减的函数没有极值．
12 ．已知△ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA ( PB PC )的最
小是
A．2 B．3 4
D．1 2
C．
3
【答案】B
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解等问题，而后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13 ．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次， X
表示抽到的二等品件数，则DX．
【答案】1.96
【分析】
试题剖析：由题意可得，抽到二等品的件数切合二项散布，即X ~ B 100,0.02，由二项散布的希望公式可得DX np 1 p 100 0.02 0.98 1.96．
【考点】二项散布的希望与方差
【名师点睛】判断一个随机变量能否听从二项散布，要看两点：① 能否为n次独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率能否均为p ；② 随机变量能否为
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在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且 p X k C n k p k 1 p n k表示在独立重复试验中，事件 A 恰巧发生 k 次的概率．
14 ．函数f ( x) sin2x 3 cos x 3 (x [0, ]) 的最大值是．
4 2
【答案】1
15 ．等差数列a n的前 n 项和为S n，a3 3， S4 n 1
10，则．
k 1
S k
2n
【答案】
n 1
【分析】
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16 ．已知F是抛物线C :y2 8x 的焦点，M是C上一点，FM的延伸线交 y 轴于点N．若
M 为FN的中点，则 FN ．
【答案】6
【分析】
试题剖析：以下图，不如设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点 F' ，作MB l 与点B， NA l 与点A，由抛物线的分析式可得准线方程为 x 2 ，则
AN 2, FF'
AN FF '
3，由抛物线的定4 ，在直角梯形ANFF'中，中位线 BM 2
义有：MF MB3，联合题意，有MN MF3，故FN FM NM 3 3 6 ．
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【考点】抛物线的定义、梯形中位线在分析几何中的应用．
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线
上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转变．假如问题
中波及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解
决问题．所以，波及抛物线的焦半径、焦点弦问题，能够优先考虑利用抛物线的定义转变为点到准线的距离，这样就能够使问题简单化．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都一定作答．第 22 、23 题为选考题，考生依据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（ 12 分）
2
B △AB
C 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，已知 sin A C8sin．
（1）求cosB；
（ 2）若a c 6 ，△ABC 的面积为2，求 b ．
【答案】（1 ）cos B 15
；（ 2 ）b 2．17
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“边转角”“角转边”，此外要注意 a c, ac, a2c2三者之间的关系，这样的题目小而活，
备授命题者的喜爱．
18．（ 12 分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机抽取了100
个网箱，丈量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频次散布直方图以下：
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50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，预计A的概率；
（2 ）填写下边列联表，并依据列联表判断能否有 99% 的掌握以为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg箱产量≥ 50kg
旧养殖法
新养殖法
（ 3 ）依据箱产量的频次散布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值（精准到0.01 ）．
附：，
K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d)( a c)(b d)
【答案】（1）0.4092；（2）有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg ．
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【考点】独立事件概率公式、独立性查验原理、频次散布直方图预计中位数
【名师点睛】（1）利用独立性查验，能够帮助我们对平时生活中的实质问题作
出合理的推测和展望．独立性查验就是观察两个分类变量能否有关系，并能较为正确地给出这类判断的可信度，随机变量的观察值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．
（2）利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：① 最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；② 中位数左边和右边的小长方形的面积
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和是相等的；③ 均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
19 ．（ 12 分）
如图，四棱锥 P- ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于
底面， 1 ABC 90 o , E是
ABCD AB BC AD , BAD
2
PD 的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为
45o，求二面角M AB D 的余弦值．
【答案】（1 ）证明略；（ 2）10 ．
5
【考点】判断线面平行、面面角的向量求法
【名师点睛】（1）求解此题要注意两点：① 两平面的法向量的夹角不必定是所求的二面角，② 利用方程思想进行向量运算，要仔细仔细、正确计算．
（2）设 m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与< m ，n> 互补或相
等，故有 |cos θ|＝|cos< m ， n >|= m n
．求解时必定要注意联合实质图形判断
m n 所求角是锐角仍是钝角．
20．（ 12 分）
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2
设 O 为坐标原点 ，动点 M 在椭圆 C ：
x
y 2 1上，过 M 作 x 轴的垂线 ，垂足为 N ，点 2
P 知足 NP 2NM ．
（ 1）求点 P 的轨迹方程 ；
（ 2）设点 Q 在直线 x
3 上，且 OP PQ 1 ． 证明 ：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C
的左焦点 F ．
【答案 】（1 ）
x 2 y 2 2 ；（ 2 ）证明略 ．
【考点 】轨迹方程的求解 、直线过定点问题
【名师点睛 】求轨迹方程的常用方法 ：
（1）直接法：直接利用条件成立 x ，y 之间的关系 F(x ，y)＝0．
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（2）待定系数法：已知所求曲线的种类，求曲线方程．
（3）定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（ 4）代入 (有关点 )法：动点P(x，y)依靠于另一动点Q(x0， y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x， y)的轨迹方程．
21 ．（ 12 分）
已知函数 f ( x) ax 2 ax x ln x ，且 f ( x) 0 ．
（ 1）求a；
（ 2）证明：f ( x)存在独一的极大值点x0，且e2 f ( x0 ) 2 2．
【答案】（1 ）a 1；（2）证明看法析．
（ 2）由（ 1）知 f x x2 x x ln x ，f ' ( x) 2x 2 ln x．
设 h x 2x 2 ln x，则h' ( x) 2 1 ．x
当x (0,1
) 时， h' ( x) 0 ；当 x (
1
, ) 时， h' ( x) 0 ，2 2
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所以 h x 在
(0,
1
)上单一递减，在(
1
, ) 上单一递加．
2 2
又h e 2 0， h( 1
) 0 ，h 1 0 ，所以 h x 在 (0,
1
) 有独一零点 x0 ，在[
1
, ) 有2 2 2
独一零点1，
且当x 0, x0 时， h x 0 ；当 x x0 ,1 时， h x 0 ，当 x 1, 时，h x 0 ．
由于 f ' (x) h x ，所以 x x0是f x 的独一极大值点．
由
f ' ( x0 ) 0 得ln x0 2 x0 1 ，故 f x0 x0 1 x0．
由 x0 0,1 得f x0 1 ．4
由于 x x0是f x 在（ 0， 1）的最大值点，
由e 1 0,1 ， f '(e 1) 0 得 f ( x0 ) f (e 1 ) e 2．
所以 e 2 f x0 2 2 ．
【考点】利用导数研究函数的单一性、利用导数研究函数的极值
【名师点睛】导数是研究函数的单一性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考取，对导数的应用的观察都特别突
出．导数专题在高考取的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的观察主要从以下几个角度进行：（1）观察导数的几何意义，常常与分析几
何、微积分相联系；（ 2）利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单调性求参数；（ 3）利用导数求函数的最值 (极值 )，解决生活中的优化问题；
（4）观察数形联合思想的应用．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第22 、23 题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．
22 ．选修 4― 4：坐标系与参数方程]（ 10 分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．
（1）M 为曲线 C 1 上的动点 ，点 P 在线段 OM 上，且知足 |OM | |OP | 16，求点 P 的轨
迹 C 2 的直角坐标方程 ；
（ 2）设点 A 的极坐标为 (2,
) ，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值 ．
3
2
4 x 0 ；（ 2） 2 3 ．
【答案 】（1 ） x 2y 2
（2）设点 B 的极坐标为
B
,
B
，由题设知 OA
2, B
4cos ，于是
△OAB
的
面
积
S
1
OA
B sin AOB
4cos
| sin(
) | 2 |sin(2
) 3
| 2
3.
2
3
3
2
当
12 时，S 获得最大值 2
3 ，所以 △ OAB 面积的最大值为 2
3 ．
【考点 】圆的极坐标方程与直角坐标方程
、三角形面积的最值
【名师点睛 】此题观察了极坐标方程的求法及应用。

要点观察了转变与化归能
力．碰到求曲线交点 、距离、线段长等几何问题时 ，求解的一般方法是分别化
为一般方程和直角坐标方程后求解 ，或许直接利用极坐标的几何意义求解 ．解
题时要联合题目自己特色 ，确立选择何种方程 ．
23 ． 选修 4— 5：不等式选讲 ]（ 10 分）
已知 a
0, b 0, a 3 b 3 2 ．证明 ：
（ 1）(a b)( a5 b5 ) 4 ；
（2）a b 2．
【答案】（1 ）证明略；（ 2）证明略．【考点】基本不等式、配方法。