新人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》课件
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当m=0时,函数为 f (x) x 不合题意,舍去.
所以m=2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
３．比较大小：
1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
≤ 3) 2 a2 1.5
21.5
＜ 2) 5.12
5.092
例2.证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
y=
1
x2
.
(5)如果某人x秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的
平均速度 yy= x1 .
以上问题中的函数具有y什 么xa 共同特征?
(二)探究新知
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中x为自变量，a 为常数( a∈R)。
你能说说幂函数有几个基本的特征? 练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2 )
( x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
直线Y=X的下__方__(填上方或
下方)
1
2
4
6
-1
幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，因
函数式中a的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数
图象都通过点(1,1); ２.如果a>0,则幂函数的图象过点
a>1 0<a<1
(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
观察图象并思考,在第一象限内:
Hale Waihona Puke y x3 y x24
3
yx
1
2
y x2
1
1.当α＜0时,图象是_下___降_
(填上升或下降)
2.当α＞0时,图象是_上___升_
(填上升或下降). 在直线X=1右侧: (i)当α＞1时,图象在直线
Y=X的上__方__(填上方或下方)
(ii)当0＜α＜1时,图象在
∴ m2 2m 3 0,即1 m 3
又m Z , 所以m 0,1,2.
∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数.
当m=0或m=2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去; 当m=1时,m2-2m-3=-4.所以m=1. 即f(x)=x-4
变式训练:
如果幂函数 f (x) (m2 m 1)x1m 是奇函数，
幂函数
(一)问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她
支付和费用yy= x 元
(2) 如果正方形的边长为x,则正方形的面积yy= x2 .
(3) 如果立方体的边长为x,则立方体的体积yy= x3 .
(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形
的边长
且在区间（0，+∞）内是增函数，求满足条件 的实数m的集合。
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
-2
-2
2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
答案:(2)(4)(6)
2,如果函数f(x)=(m+1)xm 1 是幂函数,则m=__0___
幂函数的图象及其性质的探究
我们把前面研究指数函数与对数函数的方法应用 到幂函数中来
作具体幂函数图象
观察图象特征
总结函数性质
考察下面五个函数
(1)y=x (2) y=x2 (3)y=x3
(4)y=x1/2 (5) y=x-1
３.如果a<0,则幂函数的图象过点 a<0 (1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
4.当a为奇数时，幂函数为奇函数； 当a为偶数时，幂函数为偶函数．
例1:已知幂函数 f (x) xm22m(3 m∈Z)为偶函数,且在
区间(0,+∞)上是单调减函数,求函数 f (x) .
解:∵f (x)在(0,+∞)上是单调减函数,
2.思考： 幂函数在其他象限有图象吗？ 其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？
1.P79习题2.3： 1，2，3.
2.思考： 幂函数在其他象限有图象吗？ 其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？
解:依题意,得 m2 2m 1 1
解方程,得 m=2或m=0
检验:当 m=2时,函数为 f (x) x1 符合题意.
2
2
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
课堂小结：
本节知识结构:
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
1.P79习题2.3： 1，2，3.
作出下列函数的图象：
y x2 y x3
(-2,4)
4
(2,4)
3
yx
1
2
y x2
(-1,1) 1
(1,1)
-4
-2
(-1,-1) -1
-2
-3
2
4
6
从图象能得出他 们的性质吗?
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表
y=x
y=x2 y=x3 y=x1/2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞） {y|y≠0}
奇
非奇 非偶
奇
增 增 单调性
x∈［0，+∞）时,增 x∈（-∞，0]时，减
增
x∈[0，+∞）时，减 x∈（-∞，0]时，减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1) (1,1) (0,0) (0,0)
(1,1)
(三)运用与提高
所以m=2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
３．比较大小：
1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
≤ 3) 2 a2 1.5
21.5
＜ 2) 5.12
5.092
例2.证明幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数.
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0,)上的增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
y=
1
x2
.
(5)如果某人x秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的
平均速度 yy= x1 .
以上问题中的函数具有y什 么xa 共同特征?
(二)探究新知
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中x为自变量，a 为常数( a∈R)。
你能说说幂函数有几个基本的特征? 练习1、下列函数中，哪几个是幂函数？
证明: 任取x1, x2 [0,),且x1 x2 ,则
f (x1) f (x2 )
( x1 x2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
方法技巧:分子有理化
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
直线Y=X的下__方__(填上方或
下方)
1
2
4
6
-1
幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，因
函数式中a的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数
图象都通过点(1,1); ２.如果a>0,则幂函数的图象过点
a>1 0<a<1
(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
观察图象并思考,在第一象限内:
Hale Waihona Puke y x3 y x24
3
yx
1
2
y x2
1
1.当α＜0时,图象是_下___降_
(填上升或下降)
2.当α＞0时,图象是_上___升_
(填上升或下降). 在直线X=1右侧: (i)当α＞1时,图象在直线
Y=X的上__方__(填上方或下方)
(ii)当0＜α＜1时,图象在
∴ m2 2m 3 0,即1 m 3
又m Z , 所以m 0,1,2.
∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数.
当m=0或m=2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去; 当m=1时,m2-2m-3=-4.所以m=1. 即f(x)=x-4
变式训练:
如果幂函数 f (x) (m2 m 1)x1m 是奇函数，
幂函数
(一)问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她
支付和费用yy= x 元
(2) 如果正方形的边长为x,则正方形的面积yy= x2 .
(3) 如果立方体的边长为x,则立方体的体积yy= x3 .
(4)如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形
的边长
且在区间（0，+∞）内是增函数，求满足条件 的实数m的集合。
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
-2
-2
2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
答案:(2)(4)(6)
2,如果函数f(x)=(m+1)xm 1 是幂函数,则m=__0___
幂函数的图象及其性质的探究
我们把前面研究指数函数与对数函数的方法应用 到幂函数中来
作具体幂函数图象
观察图象特征
总结函数性质
考察下面五个函数
(1)y=x (2) y=x2 (3)y=x3
(4)y=x1/2 (5) y=x-1
３.如果a<0,则幂函数的图象过点 a<0 (1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
4.当a为奇数时，幂函数为奇函数； 当a为偶数时，幂函数为偶函数．
例1:已知幂函数 f (x) xm22m(3 m∈Z)为偶函数,且在
区间(0,+∞)上是单调减函数,求函数 f (x) .
解:∵f (x)在(0,+∞)上是单调减函数,
2.思考： 幂函数在其他象限有图象吗？ 其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？
1.P79习题2.3： 1，2，3.
2.思考： 幂函数在其他象限有图象吗？ 其进一步性质（奇偶性）怎样研究呢？
解:依题意,得 m2 2m 1 1
解方程,得 m=2或m=0
检验:当 m=2时,函数为 f (x) x1 符合题意.
2
2
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
课堂小结：
本节知识结构:
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
1.P79习题2.3： 1，2，3.
作出下列函数的图象：
y x2 y x3
(-2,4)
4
(2,4)
3
yx
1
2
y x2
(-1,1) 1
(1,1)
-4
-2
(-1,-1) -1
-2
-3
2
4
6
从图象能得出他 们的性质吗?
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表
y=x
y=x2 y=x3 y=x1/2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞） {y|y≠0}
奇
非奇 非偶
奇
增 增 单调性
x∈［0，+∞）时,增 x∈（-∞，0]时，减
增
x∈[0，+∞）时，减 x∈（-∞，0]时，减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1) (1,1) (0,0) (0,0)
(1,1)
(三)运用与提高