第8章 布尔代数与逻辑电路

2
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校布尔表达式与布尔函数 设A={0,1}.所谓布尔变元x,是指变元x仅从A中取值.从到A的函数被称 为n度布尔函数,其中An是集合{(x1,x2,…,xn∣∈A,1≤i≤n.布尔函数的值通 常用表来表示. 8.1.3 格 定义8-1:给出一个部分序集(L,≤).如果对于任意,L的子集{}在L中都 定义 : 有一个最大下界,(记为a∧b=glb(a,b))和一个最小上界,(记为 a∨b=lub(a,b)),则称(L,≤)为一个格,可写为(L,∧,∨).若L中 元素有限,则称L为有限格.
8
(c)逻辑符号
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
2. D型触发器 型触发器 D型触发器是在R-S触发器的基础上再加一些与非门组 成的.
RD
0 1 1 1
SD
1 0 1 1
CP
X X
D
X X 0 1
Q
0 1 0 1
Q
1 0 1 0
↑ ↑
(a)真值表
(b)逻辑符号
定义8-2: 定义 :设L是一个集合,×,⊕是L上两个二元代数运算.如果这两种运 算对于L中元素满足: (1)交换律:a×b=b×a , a⊕b = b ⊕a (2)结合律:a×(b×c)=(a×b) ×c , a ⊕(b ⊕ c)=(a ⊕ b) ⊕ c (3)吸收律:a×(a ⊕b )=a , a ⊕ (a× b )=a 则称此代数系统(L, ×,⊕ )为一个格. 定理8-1: 定理 :定义8-1所定义的格与定义8-2所定义的格是等价的,这就是说, 一个部分序格必是一个代数格;反之亦然.
(a) )
(b) )
(c) )
三种基本元件分别是: (a)反相器.它以布尔值作为输入,并产生此布尔值的补作为输出. (b)或门.其输入是两个或两个以上的布尔值,输出是这些值的布尔和. (c)与门.其输入是两个或两个以上的布尔值, 输出是这些值的布尔积.

6
冶金工业出版社

a (8)互补律: ∨ a = 1, a ∧ a = 0 (9)对合律:a = a (10)DeMorgan定律:a ∨ b = a ∧ b, a ∧ b = a ∨ b
4
a ∧ (b ∨ c ) = ( a ∧ b) ∨ ( a ∧ c ), a ∨ (b ∧ c ) = ( a ∨ b) ∧ ( a ∨ c ) (6)零一律:a ∨ 1 = 1, a ∧ 0 = 0 (7)同一律:a ∨ 0 = a, a ∧ 1 = a
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.3.2 门的组合 使用反向器,或门和与门的组合可以构造组合电路.有两种方法 可以描述公共输入. (1)对每个输入,将使用这个输入的门画在不同的分支上. (2)对每个门,分别指出其输入.

7
冶金工业出版社
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
第8章 布尔代数与逻辑电路 章
本章提要 布尔函数 布尔函数的表示 逻辑门电路 电路的极小化

1
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.1 布尔函数
8.1.1 布尔函数概述 格和布尔代数在计算机科学中有着重要的应用. 在集合{0,1}上定义某种运算和规则,如将其 定义为: 0 = 1 1 = 0 且 ,并且定义运算+或OR, 有如下的值: 0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=1 定义运算或AND,有如下值: 00=0, 10=0, 01=0, 11=1
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.2 布尔函数的表示
8.2.1 积之和展开式 定义8-14:布尔变元或其补称为文字.布尔变 元x1,x2,…,xn的小项是一个布尔积y1,y2,…,yn , 其中yi=xi,或yi = xi.因此小项是n个文字的积, 每个文字对应于一个变元. 8.2.2 函数完备性 当每个布尔函数都可以由布尔运算表示,则称 集合{,+, }是函数完备的.

12
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
小结
本章主要讲的是有关布尔代数,布尔关系式的理论概念及其在逻 辑电路中的应用及简化. 重点: 重点: 本章的重点是布尔代数的性质与电路极小化中的两个最常用的方 法——卡诺图与奎因-莫可拉斯基法的化简. 难点: 难点: 本章的重点也是本章的难点,读者要认真理解,掌握好两种方法 化简电路图时的优缺点,能够在适当的时候用适当的方法来化简 电路图. 疑点: 疑点: 本章的疑点主要是加减器与触发器的结构用电路图表示出来.
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.3.3 触发器
1. R-S触发器 触发器 基本的R-S触发器是由两个与非门首尾相接组成.其真 值表,逻辑图,逻辑符号如图所示.
输 R 0 1 1 0 入 S 1 0 1 0 输出 Q 0 1 不变 不定
(a)真值表 (b)逻辑图

3
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.1.4 布尔代数 定义8-7:一个有补分配格称为布尔代数. 定义 : (1)交换律: ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a a a (2)结合律: ∨ (b ∨ c) = ( a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = ( a ∧ b) ∧ c a (3)等幂律: ∨ a = a, a ∧ a = a a (4)吸收律: ∨ ( a ∧ b ) = a , a ∧ ( a ∨ b ) = a (5)分配律:

9
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
3. J-K型触发器 型触发器 J-K型触发器广泛用于寄存器,计数器等,它具有更强 的逻辑功能.
CPn
J 0 0 1 1 K 0 1 0 1
CPn +1
Q Q
0 1
Q
(a)真值表

13
�

5
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.3 逻辑门电路
8.3.1 逻辑门电路概述 所谓开关代数(switching algebra),即当布尔代数中的集合K={0,1} 时,又称为开关代数.而开关函数(switching function)为:F(X1, X2,X3,...,Xn),其定义域和值域={0,1}.而F1(X1,X2,X3,... 逻辑图则是用线段将典型门电路元件连接起来以实现逻辑表达式功能的 图. 用来构造组合电路的三种基本元件,如图所示.

11
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.4.3 奎因 莫可拉斯基方法 奎因-莫可拉斯基方法 ,奎因-莫可拉斯基方法就是一种机械化的,用 来化简积之和展开式的过程,它可以用于含有 任意多个变量的布尔函数. 它基本上由两部分组成:第一部分寻找可能包 含在形如布尔积之布尔和的最小项展开式中的 候选项;第二部分才确定哪些项将真正使用.
10
(b)逻辑符号
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
8.4 电路的极小化
8.4.1 电路极小化的概述 组合电路的有效性依赖于门的个数及安排. 对于任何一个电路,总可以用"积之和展开式"找到 一组逻辑门来实现这个电路. 8.4.2 卡诺图 定义8-15:若有n个逻辑变量,每一个乘积项都包含了 定义 : n个输入变量,每一个输入变量或以原变量形式或以反 变量形式出现,并且仅出现一次,则称这样的乘积项 为最小项.而表达式中所有的乘积项都为最小项,则 称该表达式为最小项表达式.