2019精选教育数学苏教版必修2 第2章213 两条直线的平行与垂直 作业.doc

[学业水平训练]
1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.
解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2
＝－1，得b ＝2.
l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，
即b ＝－98
. 答案：2 －98
2．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.
解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12
，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12
，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1
，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或1
3.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则
△ABC 的形状为________．
解析：因为k AB ＝1－5
－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－(－3)
＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是
直角三角形．
答案：直角三角形
4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．
解析：k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12
＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6
＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .
答案：①④
5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；
当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合
题意；
当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －(－2)＝4－m m ＋2
， k MN ＝3－1
m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，
即4－m m ＋2＝2m ＋1
，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.
答案：0或1
6．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.
解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.
∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.
将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.
答案：0
7．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；
(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．
解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12
λ，则有λ＋12
λ＝12， ∴λ＝8.
故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.
(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23
， ∵所求直线与已知直线平行，
∴所求直线的斜率也是－23
. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23
(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.
法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，
∵直线过点A (1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.
故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.
8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．
(1)求点D 的坐标；
(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？
解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝6， ∴D (－1,6)． (2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5
＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，
∴AC ⊥BD .
∴▱ABCD 为菱形．
[高考水平训练]
1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．
解析：设点D 的坐标为(x ，y )．
因为k AB ＝2－(－1)2－1＝3，k CD ＝y x －3
， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，
即3×y x －3
＝－1. ① 因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1
， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，
即－2＝y ＋1x －1
， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．
答案：(0,1)
2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．
解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5
＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，
所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1
＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1
＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.
答案：－7或±2或3
3．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．
解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.
当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．
当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得
k AB ＝4－2
－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)， k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3
. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，
解得m ＝1.
综上，m 的值为1或－1.
4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．
解：如图所示，由已知两个点的坐标得：
k OP ＝t －01－0
＝t ， k RQ ＝(2＋t )－2
(1－2t )－(－2t )
＝t ， k OR ＝2－0－2t －0
＝－1t . k PQ ＝t －(2＋t )1－(1－2t )
＝－1t ， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，
所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，
所以四边形OPQR 是平行四边形；
又k OP ·k OR ＝t ·(－1t
)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角，
所以四边形OPQR 是矩形；
过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，
RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得：
OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.
∴OP＝1＋t2，
OR2＝OB2＋BR2＝(－2t)2＋22
＝4(1＋t2)，
∴OR＝21＋t2.
∴OP≠OR，
所以四边形OPQR不是正方形，综上可知，四边形OPQR是矩形．。