西安交通大学高等数学期中考题 (2)

一、解答下列各题（每小题7分，共70分）
１．设函数()x
y y x f 2
arcsin ,=，求),(y x df 。

214
２．设由方程0922
2
=--++z xy y x 可确定),(y x z z =，求)1,2,1(-∂∂x z
，)
1,2,1(2-∂∂∂y x z 。

３．求曲面122-+=y x z 在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。

４．求曲线⎪⎩
⎪⎨⎧===t z t y t x 2sin 2
在0=t 时的切线与法平面方程。

５．交换累次积分的次序：⎰
⎰
--+=1
1
112
2
),(y y dx y x f dy I ，其中),(y x f 是连续。

６．计算二重积分： ⎰⎰≤+++=
2
22)1sin (2a y x dxdy y x I 。

７．设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成，已知它的密度为2),,(z z y x f =，试计算
它的质量。

８．求函数22z yx u -=在点A ()1,1,2-处的方向导数的最大值。

９． 10．（工科分析做①其他做②）①设T
xy e
y x y x f ),(),(2
2
+=求)1,1(),1,1(df Df ；
②设方程组⎩⎨⎧-==+2
2222v
u xy uv y x ，确定了函数),(),,(y x v v y x u u ==，求x v
x u ∂∂∂∂,。

二、（8分）设函数),(2
x y y x f z =，其中),(y x f 二阶偏导数连续，求y
x z
x z ∂∂∂∂∂2,。

三、（8分）设函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222
2y x y x y x y
x y x f ，试讨论该函数),(y x f 在点)0,0(的连续性、可微性。

四、（7分）求曲面2
2
1y x z ++=在点M ()3,1,1-的切平面与曲面2
2
y x z +=所围立体的体积。

五．（7分）设函数),,(z y x f 在闭球体3:2
22≤++Ωz y x 上有连续的偏导数，且满足条件①在Ω上
1=∂∂x
f
，1=∂∂y
f
，1-=∂∂z f ，②11)1,1,1(=f ，试求函数),,(z y x f 并证明Ω∈∀≤≤),,(,13),,(7z y x z y x f 。

一、填空（每小题3分，共15分）
1．设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在)1,1(-处取得极值，则常数=a ；
2．函数)ln(2
y
x e z x
+=-在点()1,1处沿}0,1{=l 方向的方向导数=∂∂l z ； 3．曲线2
tan ,sin ,cos t
z t y t x ===在点()1,1,0处的切线方程是 。

4. 交换累次积分的积分次序：
⎰
⎰⎰⎰
-+x
x dy y x f dx dy y x f dx 30
21
1
00
),(),(2= 。

5.设()2,1,1-M 是曲面),(y x f z =上的一点，若3)1,1(=-x f ，在任一点),(y x 处有:
),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+，则曲面在M 处的切平面的方程是 。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,
00,4),(22222
2y x y x y x xy
y x f 在点)0,0(处间断的原因是),(y x f （ ）
A ．在原点无定义；
B ．在原点极限存在但在原点无定义；
C ．在原点极限不存在；
D ．在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值； 2．函数()10232,22+--=y x xy y x f ，点)0,0(处（ ）；
Ａ．取得极大值； B ．取得极小值； C ．无极值； D ．不能判断是否取得极值； ３．设x
y
u arctan
= ，则=)1,1(u grad （ ）； (A) 21； (B) 21-； (C) }21,21{-； (D) }2
1
,21{- 。

４．设)(u f 是连续函数，平面区域)1(10:2
≤-≤≤x x y D ，则
⎰⎰+)
(22
)(D dxdy y x
f ＝（ ）。

(A) ⎰⎰
-+1
102
22
)(x dy y x f dx ； (B)
⎰⎰
-+1
10222
)(y dx y x f dy ；
(C)
⎰
⎰π
ρρρθ0
1
2
)(d f d ； (D)
⎰
⎰π
ρρθ0
1
2)(d f d 。

５．比较⎰⎰+=
)
(2
)(D dxdy y x I 与⎰⎰
+=)
(3)(D dxdy y x J 的大小，其中2)2()2(:2
2≤-+-y x D ，则（ ） (A) J I =； (B) J I >； (C) J I ≤； (D) J I ≥。

三、解答下列各题（每小题8分，共64分）
１．设函数2
2ln arctan y x x y z +-=，求y
x z x z ∂∂∂∂∂2,。

２．求曲面2=++
z y x 在任一点的切平面与三个坐标轴的截距之和。

３．计算二重积分：⎰
⎰+=
1
1
3
2
1x
dy y
xy dx I 。

４．（工科分析做①其他做②）①求向量值函数T y xy x y x f ),,(),(22=的Jacobi 矩阵； ②设函数),(y x z z =由方程0),(2222=--z y y x F 所确定，其中),(v u F 可微，求.y
z
x x z y
∂∂+∂∂ ５．设⎰⎰
≤++=
2
222
2sin
)(t y x y x dxdy e t F ，求.)
(lim 2
t
t F t '→
π。

６．讨论函数0,0,0
1sin )(),(2
22
22222=+≠+⎪⎩
⎪⎨⎧++=y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的可微性。

７．设有一物体，它是由曲面22y x z +=
和228y x z --=所围成，已知它在任意一点处得密度为z =μ，
试求此物体的质量。

８．设函数),(x y x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z dz ∂∂∂2,。

四（6分）在第一卦限内作旋转抛物面221y x z --=的切平面，使得该切平面与旋转抛物面
)0,0(122≥≥--=y x y x z 及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标。

高等数学(I 、II)期中考试题 2010年5月8日
一、填空（每小题3分，共15分） 1．设)y
x
e
xy z xyz
-+=，则=)0.2,1(u d 。

2．设曲线为⎪⎩
⎪⎨⎧===t z t y t x 2
3，则它在1=t 所对应点处的切线方程为 ；
3．设()2
22ln ,,z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(gradf 。

４．设函数2
2z xy u -=，则u 在点()1,1,2-处沿方向}3
1
,31,31{
=l 的方向导数为 ； ５．⎰⎰≤+-=
2
22)(2
R y x dxdy y x
I = 。

二、解答下列各题（每小题7分，共63分）
１．求曲面12
2
-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程和法线方程。

２．计算积分：⎰
⎰
--+=
1
1
112
2
sin y y dx x
xy
dy I 。

３．设函数),2(2x y x xf z =，其中f 二阶偏导数连续求y
x z
∂∂∂2。

４．讨论函数0,0,0
),(2
22222=+≠+⎪⎩
⎪⎨⎧+=y x y x y x xy y x f 在)0,0(处的偏导数的存在性及可微性。

５．设有形状为旋转抛物面的一容器，其中心轴截面与容器的截面方程为2x y =，现将长为l 的细棒ＡＢ置于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设1<l ）． ６．（工科分析做①其他做②） ①求向量值函数T z y z x y x f )1),
ln(),[sin(2
22222++-=
在点)1,1,1(处的导数；
②设由方程052422
2
2
=-+-+-z x z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的二阶导数.22x
z ∂∂
７．计算二重积分
⎰⎰
+D
dxdy y x 22，其中}0,0,42),{(22≥≥≤+≤=y x y x x y x D 。

８．设二元函数),(y x z z =在ｘｏｙ平面上的任意一个有界区域Ｄ内存在一阶连续的偏导数，且
dxdy z x x z xz dxdy x z D D ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂222
2，试求函数),(y x z z =。

９．设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程⎰⎰
≤+++
=2
22
2
422
4)2
1(
)(t y x t dxdy y x f e t f π，求)(t f 。

三、讨论题（每小题11分，共22分）
１．计算二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处对ｘ的偏导数),(00y x f x 时，可以现将0y y =代入),(y x f 中，再求一元函数),(0y x f 在0x 处对ｘ的偏导数，即,)
,(),(0
000x x x dx
y x df y x f ==
为什么？
２．试通过讨论函数4
2
2
812),(y xy x y x f +-=的极值点来说明当点),(y x 在过),(000y x P 的任一直线Ｌ上变动时，二元函数),(y x f 都在),(000y x P 处取得极值，能否断定该函数在),(000y x P 处取得极值？ 高等数学(I 、II)期中考试题 2011年5月8日 一、填空（每小题5分，共20分） 1．求函数)2sin(ln ),(y x e y x f x
-=在⎪⎭
⎫
⎝⎛0,4π点处的全微分=df 。

2．设函数22z xy u -=，则u 在点()1,1,2-处沿方向的方向导数的最大值为 ； 3．求曲面12222=++z y x 在点)2
1,21,21(-处的切平面方程为 ；
4. 设),(y x z z =由方程y z z x ln =确定，则=∂∂22x
z。

二、单选题（每小题5分，共20分）
１．在曲线⎪⎩
⎪⎨⎧===t z t y t x 2
3
的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（ ）；
A ．只有1条；
B ．只有2条；
C ．只有3条；
D ．不存在；
2. ⎰⎰≤+-→+2
222
2)cos(1
lim 2
0r y x y x r dxdy y x e
r
π = （ ）。

A ．π； B ．π
1
； C ．1； D ．-1；
3. 设),(y x f 连续，则⎰
⎰
=
e
x
dy y x f dx I 1
ln 0
),(交换积分次序后为（ ）。

(A) ⎰⎰
=e x
dx y x f dy I 1
ln 0),(； (B) ⎰⎰=e
e
y dx y x f dy I 1
),(；
(C) ⎰
⎰=
x
e
dx y x f dy I ln 0
1
),(； (D) ⎰⎰=1
),(e
e
y dx y x f dy I 。

4.函数0,0,0
),(2
22
222=+≠+⎪⎩
⎪⎨⎧+=y x y x y x xy y x f 在)0,0(处（ ）。

A ．无定义； B ．连续； C ．有极限但不连续； D ．无极限；
三、（10分）设函数),(v u f 可微，),(y x z z =是由方程),(yz xz f xy z =+确定的可微函数，求
y
z
x z ∂∂∂∂,； 四、（10分）讨论函数xy y x f =),(在)0,0(处的连续性、可导性、可微性。

五、（10分）在曲面222:y x z +=∑上求一点),,(000z y x p ，使它到平面0622:=++-z y x π的距离最短。

六、（10分）计算⎰⎰⎰
⎰+=
42
2
2
1
2sin
2sin
x
x
x
dy y
x
dx dy y
x
dx I ππ；
七、（10分）计算二重积分
⎰⎰+D
dxdy y x 22sin
其中22224:ππ≤+≤y x D 。

八、（4分）（工科分析做①其他做②）
①求向量值函数T
x xz ye y x z y x f ))sin(,,cos (),,(= 的Jacobi 矩阵；
②求函数)3,2,(2y x y x x f z -+=的梯度（f 的偏导数存在）；
九、（6分）求旋转抛物面221y x z ++=的一个切平面，使得它与抛物面及圆柱1)1(22=+-y x 围成的体积最小，试写出切平面的方程并求出最小体积。

高等数学(I 、II)期中考试题 2012年4月21日
一、填空（每小题5分，共20分）
1．曲线t z t y t x ===,2,2上相应于2=y 点处的切线方程是 。

2．x
y
z u arctan
=在点()1,0,1A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 ； 3．曲面01),,(322=+-++=z y xy x z y x F 在点)6,1,2(-M 处的切平面方程为 ； 4. 若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 。

二、计算下列各题（每小题9分，共54分）
１．计算⎰
⎰+=
1
1
sin )
1(y
x dx x
x
e dy I 2. 计算二重积分
⎰⎰+D
dxdy y x 22sin
其中22224:ππ≤+≤y x D 。

3. 设函数),(22
x y x f x z =，其中f 二阶偏导数连续，求22,x
z
x z ∂∂∂∂。

4.求椭圆面12
322
2=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆长半轴与短半轴之长。

5.在曲面)0,0,0(1>>>=++c b a z c y b x a 上作切平面，使该切平面与三个坐标平面所围成的体积最大，求切点的坐标。

6.设函数)](1[),(2
2
y x yf x y x F ++=，其中)(u f 二阶可导（1）求y
x F
x F ∂∂∂∂∂2,
；（2）求二重积分⎰⎰=D
dxdy y x F I ),(，其中D 是由1,1,3-===x y x y 围成的平面区域。

三、（9分）（工科分析做①其他做②）①设有二元向量值函数T
xy y x y x f )2,(),(22-= ，试求f 在点
)1,1(处的导数与微分；
②设),(y x z z =是由方程0=+---z y x xe y x 所确定，求dz 。

四、（11分）讨论函数32),(y x y x f =在)0,0(处是否连续、偏导数是否存在，是否可微？
五、（6分）已知)(2
2
y x u u +=有连续的二阶偏导数，且满足222222y x y
u x u +=∂∂+∂∂，试求函数的u 表达式。

高等数学(I 、II)期中考试题 2014年4月26日
一、计算下列各题（每小题7分，共70分） 1．设函数y x y x f arctan ),(=，求)1,(x f x ; 2. 设函数y x e z x 2sin(ln -=，求)0,4
(πdz ;
3．设22z xy u -=，求u 在点()1,1,2-A 处的方向导数的最大值；
4. 求椭球面12222=++z y x 在点)2
1,21,21(M 处的切平面方程和法线方程； 5. 求空间曲线32,3,t z t y t x ===上1=t 对应的点处的切线和法平面方程；
6. 设函数),(y x F F =具有一阶连续偏导数，),(y x z z =是由方程0),(=z
y z x F 所确定的隐函数，试求表达式
.y
z x x z y
∂∂+∂∂ 7. 求二元函数xy y x y x f 3),(33++=的极值；
8. 交换积分次序
⎰⎰---1
1
11
2
),(x dy y x f dx ，其中),(y x f 连续；
9. 计算二重积分⎰⎰+D
dxdy y x
22
sin ，其中D 是由圆周)0(22>-=a y a x 和x =0所围成的区域；
10. 求向量值函数T
x
xz ye y x z y x f )sin ,,cos (),,(=
的导数；
二、（8分）设函数)(),(2
222
y x xg x y y x f z ++=，其中f 二阶偏导数连续，g 二阶可导，求y
x z x z ∂∂∂∂∂2,。

三、（8分）讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222
222y x y x y
x y x y x f ，在点)0,0(处偏导数存在，但在)0,0(处偏导数不连续性，而f (x,y )却在)0,0(处可微。

四、（8分）在平面
)0,0,0(1>>>=++c b a c
z
b y a x 与三个坐标平面所围成的四面体内作一个以该平面为顶，在坐标平面上的投影围成的六面体，求最大六面体的体积。

五、（6分）设)()()(),(2
2y x s y g x f y x F +==，其中f ，g ，s 都是可导函数，证明)
(22
),(y x
C e C y x F +=，
其中C C ,为任意常数。