2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第九章 平面解析几何 第5讲 含答案

基础巩固题组
（建议用时:45分钟）
一、填空题
1.椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0）的焦距为2,则m的值等于________。

解析当m>4时,m－4＝1，∴m＝5；当0〈m<4时，4－m＝1，∴m＝3.
答案5或3
2。

设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________.
解析由题意知，在△PF1F2中，OM＝错误!PF2＝3，
∴PF2＝6，∴PF1＝2a－PF2＝10－6＝4。

答案 4
3.(2016·苏州调研）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于错误!，则C的方程是________。

解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝错误!＝错误!⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3,因此其方程是错误!＋错误!＝1.
答案错误!＋错误!＝1
4.若椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是________.
解析由椭圆定义知PF1＋PF2＝10，又PF1＝6,∴PF2＝4.
答案 4
5.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（错误!，1）、P2（－
3，－错误!），则椭圆的方程为________。

解析设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0且m≠n）。

∵椭圆经过点P1、P2，∴点P1、P2的坐标适合椭圆方程.
则错误!
①、②两式联立,解得错误!
∴所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
答案错误!＋错误!＝1
6。

(2015·南京师大附中调研)已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A,上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为错误!F1F2，则椭圆C的离心率e＝________.
解析设椭圆C的焦距为2c(c〈a),
由于直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0,
∴错误!＝错误!c，∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0,
解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去）,∴e＝错误!。

答案错误!
7。

已知椭圆错误!＋错误!＝1 (a〉b〉0）的离心率等于错误!，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中,错误!的值等于________。

解析在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以错误!＝错误!＝错误!＝3。

答案 3
8.(2016·遵义联考)已知P是以F1、F2为焦点的椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)上一点,若错误!·错误!＝0，tan∠PF1F2＝2，则椭圆的离心率为________。

解析∵PF1＋PF2＝2a，∵错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!，
∴错误!2＋错误!2＝错误!2＝4c2，∵tan∠PF1F2＝2，
∴PF2＝2PF1，
∴e2＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴e＝错误!.
答案错误!
二、解答题
9.如图所示，已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0)，F1，F2
分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2
交椭圆于另一点B。

（1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且错误!＝2错误!，求椭圆的方程。

解（1）∵AF1＝AF2＝a,
且∠F1AF2＝90°，F1F2＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝错误!c，∴e＝错误!＝错误!。

(2）由题知A(0,b），F2（1,0),设B（x,y),
由错误!＝2错误!，解得x＝错误!，y＝－错误!,
代入x2
a2＋错误!＝1，得错误!＋错误!＝1，
即错误!＋错误!＝1，解得a2＝3，∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中,F1，F2分
别是椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点
B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A
作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C。

(1）若点C的坐标为错误!，且BF2＝错误!，求椭圆的方程；
（2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
解设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0).
(1）因为B(0，b),所以BF2＝错误!＝a。

又BF2＝错误!,故a＝错误!.
因为点C错误!在椭圆上,
所以错误!＋错误!＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为错误!＋y2＝1。

(2)因为B(0，b),F2（c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为错误!＋错误!＝1。

解方程组错误!得错误!错误!
所以点A的坐标为错误!.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为错误!。

因为直线F1C的斜率为错误!＝错误!,直线AB的斜率为－错误!，且F1C⊥AB，
所以错误!·错误!＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2. 故e2＝错误!，因此e＝错误!.
能力提升题组
（建议用时:25分钟)
11。

(2016·汕头一模）已知椭圆x2
4＋错误!＝1上有一点P，F1,F2是椭圆的左、右
焦点,若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有________个.
解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大,且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.
答案 6
12.（2016·苏北四市模拟）椭圆C:x2
a2＋错误!＝1（a>b〉0)的左焦点为F，若F关
于直线错误!x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为________. 解析法一设A(m，n），则错误!
解得A错误!,
代入椭圆C中，有错误!＋错误!＝1,
∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，
∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2（a2－c2），
∴c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，
∴e2＝4±2错误!，∵0<e〈1，∴e＝错误!－1.
法二借助于椭圆的定义，本题还有如下简洁解法：设F′是椭圆的右焦点，连接AF，AF′.由已知得△AFF′是直角三角形，其中∠A＝90°，∠AFF′＝30°，∵FF′＝2c，
∴AF＝错误!c，AF′＝c，
∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1.
答案错误!－1
13。

(2016·云南统一检测）设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,4)，则PM＋PF1的最大值为________. 解析PF1＋PF2＝10,PF1＝10－PF2，
PM＋PF1＝10＋PM－PF2，
易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，
此时PM－PF2取最大值MF2，
故PM＋PF1的最大值为
10＋MF2＝10＋错误!＝15.
答案15
14。

(2015·南京模拟)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）过点P（－1，－1），c为椭圆的半焦距，且c＝错误!b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C 分别交于另两点M，N.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；
(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程。

解（1)由条件得错误!＋错误!＝1，且c2＝2b2，
所以a2＝3b2，解得b2＝4
3，a
2＝4.
所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1.
(2)设l1的方程为y＋1＝k(x＋1)，联立｛y＝kx＋k－1，
x2＋3y2＝4
消去y得(1＋3k2)x2＋6k（k－1)x＋3(k－1）2－4＝0。

因为P为(－1，－1），
解得M错误!.
当k≠0时，用－错误!代替k，
得N错误!
将k＝－1代入，得M(－2，0）,N(1，1).
因为P(－1,－1），所以PM＝2，PN＝2错误!，
所以△PMN的面积为错误!×错误!×2错误!＝2.
（3)设M（x1,y1），N（x2，y2），则错误!
两式相减得（x1＋x2）（x1－x2)＋3（y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，
从而可得（x1＋x2）（x1－x2)＝0。

若x1＋x2＝0，则N（－x1,－y1).
因为PM⊥PN,所以错误!·错误!＝0，得x错误!＋y错误!＝2。

又因为x错误!＋3y错误!＝4，所以解得x1＝±1，
所以M(－1，1），N(1，－1)或M(1，－1),N(－1，1)。

所以直线MN的方程为y＝－x.
若x1－x2＝0，则N(x1，－y1），
因为PM⊥PN，所以错误!·错误!＝0，得y错误!＝(x1＋1）2＋1。

又因为x错误!＋3y错误!＝4,所以解得x1＝－错误!或－1，
经检验：x1＝－错误!满足条件，x1＝－1不满足条件。

综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－错误!.。