2014-2015学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷含参考答案

2014-2015学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}
2．（5.00分）下列各组中的两个函数是同一函数的是（）
A．f（x）=和f（x）=x+1
B．f（r）=πr2（r≥0）和g（x）=πx2（x≥0）
C．f（x）=log a a x（a＞0且a≠1）和g（x）=（a＞0且a≠1）
D．f（x）=x和g（t）和g（t）=
3．（5.00分）函数f（x）=是（）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
4．（5.00分）函数f（x）的定义域为[0，1），则f（1﹣3x）的定义域是（）A．（﹣2，1]B．（﹣，1]C．（0，]D．（﹣，0]
5．（5.00分）设a=log20.4，b=0.42，c=20.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
6．（5.00分）若O是△ABC所在平面内一点，且满足（）•（﹣）=0，则△ABC一定是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．斜三角形
7．（5.00分）要得到y=cos2x的图象，可由函数y=cos（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
8．（5.00分）已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．
9．（5.00分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）
A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1
10．（5.00分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（）
A．B．C．D．
11．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b图象的一部分如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=1﹣sin（2x﹣）
12．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两
个不同的根，则实数k的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．[1，2） D．（1，2）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5.00分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（x）=．14．（5.00分）函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的区间为[n，n+1]，n∈Z，则n的值为．
15．（5.00分）已知f（x）=sin2（x﹣），则f（lg5）+f（1g）=．16．（5.00分）若，是两个非零向量，且||=||，|+|=||，则与﹣
的夹角是．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10.00分）设全集为Z，A={x|x2+2x﹣15=0}，B={x|ax﹣1=0}．
（1）若a=，求A∩（∁Z B）；
（2）若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C．
18．（12.00分）已知向量=（cosα﹣5，﹣sinα），=（sinα﹣5，cosα），∥，
且α∈（0，π），求tan2α的值．
19．（12.00分）证明函数f（x）=log a（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．20．（12.00分）在△AOB上，点P为边AB上的一点，且||=2||．
（1）试用表示；
（2）若||=3，||=2，且∠AOB=，求的值．
21．（12.00分）销售甲，乙两种商品所得到利润与投入资金x（万元）的关系分别为f（x）=m，g（x）=bx（其中m，a，b∈R），函数f（x），g（x）对应的曲线C1，C2，如图所示．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲，乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
22．（12.00分）已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞﹣2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|20=1≤2x＜4=22}={x|0≤x＜2}，∴A∩B={0，1}，
故选：C．
2．（5.00分）下列各组中的两个函数是同一函数的是（）
A．f（x）=和f（x）=x+1
B．f（r）=πr2（r≥0）和g（x）=πx2（x≥0）
C．f（x）=log a a x（a＞0且a≠1）和g（x）=（a＞0且a≠1）
D．f（x）=x和g（t）和g（t）=
【解答】解：对于A，f（x）=和定义域是{x|x∈R且x≠1}，y=x+1的定义域是R，两个函数的定义域不相同不是相同函数；
对于B，f（r）=πr2（r≥0）和g（x）=πx2（x≥0）两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同的函数；
对于C，f（x）=log a a x（a＞0且a≠1）义域是{x|x∈R}，和g（x）=（a ＞0且a≠1）定义域是{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同不是相同函数；
对于D，f（x）=x和g（t）和g（t）=；定义域是R，两个函数值域不相同，不是相同的函数；
所以B正确．
故选：B．
3．（5.00分）函数f（x）=是（）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，
∴函数f（x）为非奇非偶函数，
故选：D．
4．（5.00分）函数f（x）的定义域为[0，1），则f（1﹣3x）的定义域是（）A．（﹣2，1]B．（﹣，1]C．（0，]D．（﹣，0]
【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，1），
由0≤1﹣3x＜1，解得：0．
∴则f（1﹣3x）的定义域为（0，]．
故选：C．
5．（5.00分）设a=log20.4，b=0.42，c=20.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【解答】解：∵a=log20.4＜0，0＜b=0.42＜1，c=20.4＞1，
∴c＞b＞a．
故选：C．
6．（5.00分）若O是△ABC所在平面内一点，且满足（）•（﹣）=0，则△ABC一定是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．斜三角形
【解答】解：∵（）•（﹣）=0，
∴=0，
∴C=90°．
∴△ABC一定是直角三角形．
故选：C．
7．（5.00分）要得到y=cos2x的图象，可由函数y=cos（2x﹣）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【解答】解：由函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象，
故选：C．
8．（5.00分）已知f（α）=，则f（﹣）的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．
【解答】解：f（α）=﹣=﹣=﹣cosα，
则f（﹣π）=﹣cos（﹣π）=﹣cosπ=﹣cos（10π+）=﹣cos=﹣．故选：A．
9．（5.00分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）
A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1
【解答】解：由题意可得，∴，故有，
∴mn=1，
故选：C．
10．（5.00分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，
∵AM=1，点P在AM上且满足，∴．
∵M是BC的中点，∴．
∴==﹣4=﹣4×=﹣．
故选：D．
11．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b图象的一部分如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=1﹣sin（2x﹣）【解答】解：由函数图象观察可知函数f（x）的最大值是2，最小值是0，
则：b==1，A=×（2﹣0）=1，=，可解得：T=π=，ω=2，
故有：f（x）=sin（2x+φ）+1，
由点（，1）在函数图象上，可得：sin（2×+φ）+1=1，解得：φ=k，k∈Z，
当k=0时，有φ=﹣，
则f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）+1．
故选：C．
12．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两
个不同的根，则实数k的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．[1，2） D．（1，2）
【解答】解：①当x≥4时，
f（x）=1+是减函数，且1＜f（x）≤2；
②当x＜4时，
f（x）=log2x在（0，4）上是增函数，
且f（x）＜f（4）=2；
且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；
故实数k的取值范围是（1，2）；
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5.00分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（x）=x3．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（2，8）代入函数的解析式可得2α=8，解得α=3，故函数的解析式为f（x）=x3，
故答案为x3．
14．（5.00分）函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的区间为[n，n+1]，n∈Z，则n的值为1．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x3﹣3x+5是单调递减函数，
又∵f（1）=﹣13﹣3×1+5=1＞0，f（2）=﹣23﹣3×2+5=﹣9＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，
故答案为：1．
15．（5.00分）已知f（x）=sin2（x﹣），则f（lg5）+f（1g）=1．
【解答】解：f（x）=sin2（x﹣）=，
则f（lg5）+f（1g）=﹣sin（2lg5）+﹣sin2（1g）
=1﹣sin（2lg5）﹣sin（﹣21g5）
=1﹣sin（2lg5）+sin（21g5）=1，
故答案为：1．
16．（5.00分）若，是两个非零向量，且||=||，|+|=||，则与﹣
的夹角是．
【解答】解：根据已知条件得：
；
∴；
∴；
∴=；
∴的夹角为．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10.00分）设全集为Z，A={x|x2+2x﹣15=0}，B={x|ax﹣1=0}．
（1）若a=，求A∩（∁Z B）；
（2）若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C．
【解答】解：（1）A={x|x2+2x﹣15=0}={﹣5，3}，
当a=，则B={x|ax﹣1=0}={5}，
则A∩（∁Z B）={﹣5，3}；
（2）当B=∅时，a=0，此时满足B⊆A，
当B≠∅时，B={}，此时若满足B⊆A，
则=﹣5或=3，解得a=或，
综上C={，，0}．
18．（12.00分）已知向量=（cosα﹣5，﹣sinα），=（sinα﹣5，cosα），∥，且α∈（0，π），求tan2α的值．
【解答】解：∵∥，
∴（cosα﹣5）cosα+sinα（sinα﹣5）=0，
即cos2α+sin2α﹣5（sinα+cosα）=0，
即5（sinα+cosα）=1，
即sinα+cosα=，
平方得2sinαcosα=＜0，
∴α∈（，π），
∵sin2α+cos2α=1，
∴解得sinα=，cosα=，
则tanα=，tan2α==．
19．（12.00分）证明函数f（x）=log a（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．【解答】证明：设x1，x2为[0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，
则=，
当a＞1时，∵y=a x为增函数，∴，即0＜，
又y=log a x也为增函数，
∴=＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=log a（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．
20．（12.00分）在△AOB上，点P为边AB上的一点，且||=2||．
（1）试用表示；
（2）若||=3，||=2，且∠AOB=，求的值．
【解答】解：（1）如图可知，；
∴；
∴；
（2）==﹣1﹣3+=．
21．（12.00分）销售甲，乙两种商品所得到利润与投入资金x（万元）的关系分别为f（x）=m，g（x）=bx（其中m，a，b∈R），函数f（x），g（x）对应的曲线C1，C2，如图所示．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲，乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得，，
所以f（x）=（x≥0），
又由题意知，即，
所以g（x）=（x≥0）；
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元，
由（1）得y=+（0≤x≤4），
令=t，则，
故=（），
当t=2即x=3时，y取最大值1，
答：该商场所获利润的最大值为1万元．
22．（12.00分）已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞﹣2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令g（x）=x2+tx+1，对称轴方程为x=﹣，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=﹣与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当﹣≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜﹣＜2，即﹣4＜t＜0时，g（x）min=g（﹣）=1﹣，
考虑到g（x）＞0，所以﹣2＜t＜0，f（x）min=f（﹣）=lg（1﹣）；
③当﹣≥2，即t≤﹣4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤﹣2时f（x）没有最小值；
当t＞﹣2时，f（x）min=．
（2）假设存在．
由题设条件，得，
等价于x2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x2+（t﹣1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴，即，解得﹣＜t＜﹣1．
故实数t的取值范围是（﹣，﹣1）．。