2019-2020年高三第三次质量检测数学(理)试题含答案(I).doc

2019-2020年高三第三次质量检测数学（理）试题含答案(I)
一、选择题：本大12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集,{|(3)0},{|1},U R A x x x B x x ==+<=<- 则下图中 阴影部分表示的集合
为
A.{|31}x x -<<-
B. }{
3〈〈-x x
C.{|0}x x >
D.{|1}x x <- 【答案】A
【Ks5u 解析】集合{|(3)0}{30}A x x x x x =+<=-<<，图中阴影部分为集合A B ，
所以{31}A
B x x =-<<-，选A.
2." 2a ="是直线20ax y +=与直线1x y +=平行的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C
【Ks5u 解析】直线20ax y +=的斜截式方程为2a y x =-
，斜率为2
a
-。

直线1x y +=的斜截式方程为1y x =-+，斜率为1-，要使两直线平行，则有12
a
-=-，解得2a =，所以"
2a ="是直线20ax y +=与直线1x y +=平行的" 2a ="是直线20ax y +=与直线
1x y +=平行的充要条件，选C.
3.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
1.
A.4
B.8
C.16
D.20 【答案】C
【Ks5u 解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，四棱锥的高为4，底面为俯视图对应的矩形，俯视图的面积为2612⨯=，所以四棱锥的体积为1124163
⨯⨯=，选C.
4.已知∆ABC 中，a 、b 、c 分别为A ，B ，C 的对边， a=4,b=30∠=A ，则∠B 等于（ ）
A.30
B.30或150
C.60
D.60或120 【答案】D
【Ks5u 解析】由正弦定理可知
sin sin a b A B =。

即sin 1sin 2b A B a ===，所以60B =或120，选D.
5.不等式02
ax +bx +c >
的解集为{|24}x x <<,则不等式2
0cx bx a ++<的解集为（ ） A.11{|}24x x x ><或 B.1{|}4x x < C.1{|}2x x > D.11
{|}24
x x << 【答案】A
【Ks5u 解析】因为不等式02
ax +bx+c >的解集为{|24}x x <<,所以0a <，且2,4是方程02
ax +bx+c =的两个根，所以246b a +=-
=，248c
a
⨯==，所以68b a c a =-=，，所以不等式2
0cx bx a ++<等价为2
860a x a x a -+<，即2
8610x x -+>，所以(21)(41)0x x -->，解得11
24
x x 或><，所以不等式20c x b x a ++<的解集为11
{|}24
x x x >
<或，选A.
6.设数列{}n a 是等差数列，且23415a a a ++=，则这个数列的前5项和5S （ ） A.10 B.15 C.20 D.25 【答案】D
【Ks5u 解析】在等差数列中2343315a a a a ++==，所以35a =，所以
153
535()5252522
a a a S a +⨯=
===，选D. 7.函数()2sin(
)cos()1()44
π
π
=-+-∈f x x x x R 是（ ）
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数 【答案】B
【Ks5u 解析】()2sin(
)cos()12cos[()]cos()144244
f x x x x x πππππ
=-+-=--+-,即
2()2cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442
f x x x x x πππ
=+-=+=+=-，所以函数()f x 是最小正
周期为π的奇函数，选B.
8.若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.-4 B.4 C.-2 D.2 【答案】B
【Ks5u 解析】抛物线的焦点坐标为(
,0)2
p。

由双曲线的方程可知223,1a b ==，所以2224c a b =+=，即2c =，所以右焦点为(2,0)，所以2,42
p
p ==，选B.
9.要得到函数sin(2)3
π
=-y x 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A.向左平移
12π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移12
π
个单位
【答案】C
【Ks5u 解析】因为sin(2)sin 2()36
y x x π
π
=-
=-，所以将函数sin 2y x =的图像向右平移
6π个单位，即可得到函数sin(2)3
π
=-y x 的图像，选C.
10.若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为a 的值为（ ）
A.0或4
B.1或3
C.-2或6
D.-1【答案】A
【Ks5u 解析】由圆的方程可知圆心坐标为(,0)a ，半径为2，因为弦AB 的长为
心到直线的距离d =
=。

即圆心到直线20x y --=的距离
d =
=，所以
22
a -=，解得4a =或0a =，选A 。

11.函数()f x 的图像如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排列正确的是（ ）
A.0f '(2)f '(3)f (3)f (2)<<<-
B.0f '(3)f (3)f (2)f '(2)<<-<
C. 0f '(3)f '(2)f (3)f (2)<<<-
D.0f (3)f (2)f '(2)f '(3)<-<< 【答案】B
【Ks5u 解析】'(2)f 的几何意义为在(2'(2))f ，处切线斜率，'(3)f 的几何意义为在
(3'(3))f ，处切线斜率，(3)(2)
(3)(2)32
f f f f --=
-，所以(3)(2)f f -的几何意义范围点
(2'(2))f ，与点(3'(3))f ，连线割线的斜率，由图象可知，0'(3)(3)(2)'(2)f f f f <<-<，
选B.
12.点P 在双曲线222
21(0,0)-=>>x y a b a b
上，12,F F 是这条双曲线的两个焦点，1290∠=F PF ,且12∆F PF 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 【答案】D
【Ks5u 解析】因为12∆F PF 的三条边长成等差数列，所以设2112,,PF PF F F 成等差数列，
且设2112,,PF x d PF x F F x d =-==+，
则2x d c +=，()2x x d d a --==，即2x c d =-，
2d a =。

又12
90∠=F PF ，所以222
()()x d x x d -+=+，解得4x d =，即52
c d =，所以双曲线的离心率为52
52d c e d a
===，选D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分。

13.已知向量a,b
满足，||1,||()==⊥+a b a a b ，则a 与b 夹角的大小是 【答案】
34
π
【Ks5u 解析】因为()a a b ⊥+，即()0a a b +=，所以2
0a a b +=，即2
1a b a =-=-，
所以cos ,2
a b a b a b
<>=
=
=3,4a b π<>=。

14.以抛物线2
20y x =的焦点为圆心，且与双曲线
221169
x y -=的两条渐近线都相切的圆的方程为 。

【答案】2
2
(5)9x y -+=
【Ks5u 解析】抛物线的焦点坐标为(5,0)，所以圆心坐标为(5,0)。

双曲线的渐近线为
3
4
y x =±，即340x y ±=，不妨取直线3
40x y -=，则圆心到直线的距离
15
35
d =
=
=，即圆的半径3r =，所以圆的方程为22(5)9x
y -+=。

15.若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于
【Ks5u 解析】要想是平面与正方体的12条棱所成的角相同，根据平行性可知，只要平面和同一个顶点的三条棱所成的角相同即可，如图可知ADO ∠即为棱与平面所成的角θ，设正方体的棱长为1
，则AO =
,2DO ==
.
所以cos AD DO θ====
16.设x 、y 满足约束条件23023400-+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
x y x y y ，若目标函数z ax by =+（其中a>0,b>0）的最
大值为3，则12
a b
+的最小值为 【答案】3
【Ks5u 解析】做出可行域，由z ax by =+得a z
y x b b
=-
+，因为0,0a b >>，所以直线斜率0a b -
<，直线截距越大，z 越大，做出直线a z
y x b b
=-+，，由图象可知当直线a z
y x b b =-+经过点A 时，截距做大，此时3z =，由2302340
x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩得
1
2x y =⎧⎨
=⎩，代入直线z a x b =+得
23a b +=，即2133
a b
+=。

所
以1212
214252254
()()3333333333
a b a b b a b
a b
b b a +=++=+++⨯=
+=，当且仅当2233a b
b a
=，即a b =时取等号，所以12a b +的最小值为1.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在∆ABC 中，a,b,c 分别为有A,B,C 的对边，向量
2(2sin ,2cos 2),(2sin (
),1),24
π
=-=+-B m B B n 且⊥m n
（1）求角B 的大小； （2）若a =b=1，求c 的值。

18.（本题满分12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，1
//,2
PD QA QA AB PD ==.
(1)证明：平面⊥PQC DCQ 平面； (2)求二面角Q BP C --的余弦值.
19.（本题满分12分）
经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t 天（130,)*
≤≤∈t t N 的旅游人数()f t （万人）近似地满足1
()4f t t
=+
，而人均消费()g t （元）近似地满足()120|20|g t t =--.
（1）求该城市的旅游日收益()W t （万元）与时间(130,)*
≤≤∈t t t N 的函数关系式； （2）求该城市旅游日收益的最小值。

20.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +满足12n n n a a ++=，且11a = （1）求证123
⎧
⎫-⨯⎨⎬⎩
⎭
n
n a 是等比数列
（2）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S
21.（本题满分13分）
已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过(0,1)(1,2
（1）求椭圆C 的方程
（2）直线:3310l x y --=交椭圆C 与A 、B 两点，若(0,1)T 求证||||TA TB TA TB +=-
22.(本题满分13分）已知函数247
(),[0,1]2-=
∈-x f x x x
（1）求()f x 的单调区间和值域。

（2）设1≥a ，函数3
()32,[0,1]=--∈g x x ax a x ，若对任意1[0,1]∈x ，总存在0[0,1]∈x ，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围。

莱州一中2010级高三第三次质量检测答案
一、选择题 ACCDA DBBCA BD
二、填空题 13.
34π 14.22
(5)9x y -+= 15.3
17.解
22sin 2sin (
)(2cos 2)24
2sin (1cos())2cos 22
π
π
=+--=-+-+B mgn Bg B Bg B B
1
2sin 10,sin 2
=-=∴=
B B ………………4分 因为0π<<B ，所以566
ππ
=B 或……………………6分
（2）在∆ABC 中，因为b<a ，所以6
π
=
B ………………8分 由余弦定理2
2
2
2cos b a c ac B =+-， 得2
320c c -+=…………10分 所以1c =或2c =
18.解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.
（1）依题意有(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0)Q C P ， 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0)DQ DC PQ ===-. 所以0,0⋅=⋅=PQ DQ PQ DC 即,⊥⊥PQ DQ PQ DC 故⊥PQ 平面DCQ .
又⊂PQ PQC 平面，所以平面⊥PQC DCQ 平面.………………6分 （2）依题意有(1,2,1)B CB BP =--（1，0，1），＝（1，0，0），. 设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,
0,
20.
0,⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩m CB x x y z m BP 即
因此可取(0,1,2)=--n .
设m 是平面PBQ 的法向量，则0,
0.
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BP m PQ
可取(1,1,1)m =
所以cos ,5
<>-
m n .
故二面角Q-BP-C
的余弦值为5
-
.………………12分 19.解：（1）1()()()(4)(120|20|)W t f t g t t t
==+--………………3分
＝1004014(120)1405594(2030)⎧
++≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩
t t t
t t t …………………………………………5分
（2
）当100[1,20],4014401441(5∈++
≥+=t t t t 时取最小值）7分 当140
(20,30]4∈-t t t
因为W(t)=559+
单调递减，…………………………10分 2
30()(30)4433
∴==t W t W 时，有最小值………………………………11分
[1,30]∴∈t W 时，（t ）的最小值为441万元。

…………………………………12分
20.由1
111
1
2,2
(2)3
3
++++=-⨯=--⨯n
n n n n n n a a a a 得，
故数列123
⎧⎫-⨯⎨⎬⎩
⎭
n
n a 是首项为121
33
a -=，公比为-1的等比数列。

（2）1112(1)3
3--⨯=
⨯-n
n n a ，即1
[2(1)]3
=--n n n a 123=+++n n S a a a …+a
{}
232111(222)(1)(1)3
1(1)122321112(1)362
+-⎡⎤=
+++---+-+⎣⎦⎡⎤--=--
⎢⎥⎣⎦=⋅---n n
n n n n …+2+(-1)…
21.解：设椭圆C 的方程为2
2
1mx ny +=
由椭圆C 过点（0，1）
，(1,得： 121
⎧+⎪
⎨⎪-⎩m n m
解得121
⎧=⎪⎨⎪=⎩m n
∴椭圆C 的方程为2212
x y += （2）设2112223310(,),(,)12
--=⎧⎪⎨+=⎪⎩x y A x y B x y x y 由 消去y 整理得12212492712160,1627⎧+=⎪⎪--=⎨⎪=-⎪⎩
x x x x x x 由韦达定理得，则
=+两边平方整理可得0=∙TB TA 只需证明0=∙TB TA
)1,()1,(2211-⋅-=∙y x y x TB TA
121212121212121212121212(1)(1)
()1
1111()()()3
339112333
x x y y x x y y y y y y x x x x x x y y x x x x =+--=++++=--=-+++=-+-=+-而
x x x x y y x x -091627162732916)(342121212121=+=+--=++-=++=∙∴
22.解：（1）对函数f(x)求导，得
2224167(21)(27)'()(2)(2)
x x x x f x x x -+----==-- 令17'()022
f x x x ===解得或 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
所以，当(0,)()(,1)()22∈∈x f x x f x 时，是减函数；当时，是增函数 当(0,1)∈x 时，f(x)的值域为[-4，-3]。

（2）对函数g(x)求导，得图表1
222'()3()
1,(0,1)'()3(1)0
=-≥∈<-≤g x x a a x g x a 当时， 因此当221100122(0,1)()[0,1]()[(1),(0)](1)[123,2,(0)2,[0,1]()[123,2]
[0,1],()[4,3],[0,1],()(),[123,2][4,3]123423
∈∈∈=---=-∈∈---∈∈--∈=---⊃--⎧--≤-⎨-≥-⎩x g x x g x g g g a a a g a x g x a a a x f x x g x f x a a a a a a 时，为减函数，从而当时有
又即当时有
任给存在使得则
即解32≤a 得
又1≥a ，所以a 的取值范围为312
≤≤a。