广东省2020届高三数学一轮单元测评训练 第八单元 理

单元能力检测(八)
[考查范围：第八单元 解析几何]
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2
＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0
2．已知实数m 是2,8的等比中项，则双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率为( )
A. 5
B.
52
C. 3
D. 2
3．已知直线l 1与圆x 2＋y 2
＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1
的方程是( )
A ．3x ＋4y －1＝0
B ．3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －9＝0
C ．3x ＋4y ＋9＝0
D ．3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0
4. 设连接双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2
a
2＝1(a >0，b >0)的4个顶点的四边形面积为S 1，连接
其4个焦点的四边形面积为S 2，则S 1
S 2
的最大值为( )
A.1
2 B ．1 C. 2 D ．2
5．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1与双曲线x 2p －y 2
q
＝1(m ，n ，p ，q 均为正数)有共同的焦点F 1、F 2，P
是两曲线的一个公共点，则|PF 1→|·|PF 2→
|＝( )
A ．p 2－m 2
B ．p －m
C ．m －p
D ．m 2－p 2
6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的两焦点到直线x a －y
b
＝1的距离之
和为2，则该双曲线方程是( )
A.x 2
2
－y 2
＝1
B ．x 2
－y 2
2＝1
C ．2x 2－y 2
＝1
D ．x 2－2y 2
＝1
7．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2
＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
8．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2
－y 24
＝1有公共的焦点，C 2的一条
渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )
A ．a 2
＝132
B ．a 2
＝13
C ．b 2
＝12
D ．b 2＝2 ks5u
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置) 9．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，过M 点作直线l 的垂线，得到的直线方程是________．
10．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)
①0; ②1
2
； ③1; ④2; ⑤3.
11．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，
N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为________．
12．过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两
点(点A 在x 轴上方)，则|AF |
|BF |
＝________.
13．设圆C 位于抛物线y 2
＝2x 与直线x ＝3所组成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的
半径能取到的最大值为________．
14．有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径．定理：
如果圆x 2＋y 2＝r 2
(r >0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜
率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值－1.写出该定理在有心曲线x 2m ＋y 2
n
＝1(mn ≠0)中的
推广：________________________________________________________________________.
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)(1)已知点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，B (3,0)，动点M 到A 与B 的距离比为常数12，求点M 的轨迹方程；
(2)求与圆(x －1)2＋y 2
＝1外切，且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)的圆的方程．
16．(13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，点M 在椭圆上，且它的横坐标
为1，点B (0，3)，且AB →＝2AM →
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点A 的直线l 与椭圆交于另一点N ，若线段AN 的垂直平分线经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫613，0，
求直线l 的方程．
ks5u
17．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，y )，M (x ，－4)，以线段PM 为直径的圆经过原点O .
(1)求动点P 的轨迹W 的方程；
(2)过点E (0，－4)的直线l 与轨迹W 交于两点A ，B ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，试判断直线A ′B 是否恒过一定点，并证明你的结论．
18．(14分)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O
(1)求12(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
19．(14分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22
3，且椭圆上一点与椭圆的两
个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．
20．(14分)已知F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0为抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，点N (x 0，y 0)(y 0>0)为其上一点，
点M 与点N 关于x 轴对称，直线l 与抛物线交于异于M ，N 的A ，B 两点，且|NF |＝5
2
，k NA ·k NB
＝－2.
(1)求抛物线方程和N 点坐标；
(2)判断直线l 中，是否存在使得△MAB 面积最小的直线l ′，若存在，求出直线l ′的方程和△MAB 面积的最小值；若不存在，说明理由．
ks5u
单元能力检测(八)
1．D [解析] 圆心C (3,0)，k PC ＝－1
2
，k MN ＝2，∴MN 方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y
－1＝0，故选D.
2．A [解析] 由题意得m ＝4，故双曲线的离心率是 5.
3．D [解析] 设直线l 1的方程是3x ＋4y ＋c ＝0，则|4－c |
5
＝1，所以c ＝－1,9，故选
D.
4．A [解析] S 1＝2ab ，S 2＝2(a 2＋b 2
)，S 1S 2＝ab a 2＋b 2≤12
.
5．C [解析] 根据定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ， ||PF 1|－|PF 2||＝2p .两式平方后相减即得．
6．C [解析] c a ＝3，得a ＝33c ，b ＝c 2－a 2
＝63c ，所以直线x a －y b ＝1，即3x －
62y －c ＝0，根据点到直线的距离公式得
|－3c －c |3＋32＋|3c －c |3＋3
2
＝2，解得c ＝62，此时a ＝2
2，
b ＝1，故所求的双曲线方程是2x 2－y 2＝1.
7．B [解析] 设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y
2
，代入圆的方程得点M 的轨迹
方程是(x －2)2＋y 2＝22
，此时|PF 1|－|PF 2|＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故点P 的轨迹是双曲线．
8．C [解析] 由双曲线x 2
－y 2
4
＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共
焦点，
∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2
，
联立直线方程与椭圆方程消y 得，x 2
＝b 2＋5b 25b 2
＋20
. 又∵C 1将线段AB 三等分，∴1＋22
×2
b 2＋5b 25b 2
＋20＝2a 3，解得b 2
＝12
.
9.x ＋2y －2＝0 [解析] M (2,0)，所求直线的斜率是－12，故所求直线的方程是y ＝－
1
2
(x －2)，即x ＋2y －2＝0.
10．①③④ [解析] 三条直线有两条平行，另外一条与这两条相交符合要求，此时k ＝0,2；三条直线交于一点也符合要求，此时k ＝1.
11.1＋52
[解析] 根据双曲线的对称性，△OMN 为等腰直角三角形，右焦点为F ，则
|OF |＝|MF |，即c ＝b 2a ，即c 2－ac －a 2＝0，即e 2
－e －1＝0，解得e ＝1＋52或1－52
(舍去)．
12．3 [解析] 直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程得3x 2
－5px ＋34
p 2＝0，
解得x 1＝32p ，x 2＝p
6
，
所以|AF ||BF |
＝
x 1＋
p 2x 2＋
p 2
＝3. ks5u
13.6－1 [解析] 为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线x ＝3
相切，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为(x ＋r －3)2＋y 2＝r 2，将其与y 2＝2x 联立得：x
2
＋2(r －2)x ＋9－6r ＝0，令Δ＝[2(r －2)]2
－4(9－6r )＝0，并由r >0，得r ＝6－1.
14．有心曲线x 2m ＋y 2
n
＝1(mn ≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端
点的连线斜率乘积等于－n
m
[解析] 设直径端点为A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，C (x 0，y 0)为曲线上异于A ，B 的任意
一点，则k AC k BC ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1.由于点A ，C 在曲线上，所以x 20m ＋y 20n ＝1，x 21m ＋y 21
n ＝1，
两式相减得y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝－n
m
.
15．[解答] (1)设M (x ，y )，则
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2
x －32＋y 2＝1
2
，
两边平方整理得：(x －1)2
＋y 2
＝1.
(2)设所求圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
，
依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
1－a
2
＋b 2
＝1＋r ，
|a ＋3b |2＝r ，
－33×b ＋3a －3＝－1.
∴b ＝3(a －4)，
代入前两个等式得：a －12＋b 2＝1＋2|a －3|.
(1)当a >3时，有(a －1)2＋3(a －4)2＝(2a －5)2
， 解得a ＝4，∴b ＝0，r ＝2.
(2)当a ≤3时，有(a －1)2＋3(a －4)2＝(7－2a )2
， 解得a ＝0，∴b ＝－43，r ＝6，
综上所述：(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2
＝36.
16．[解答] (1)由AB →＝2AM →
知M 是AB 中点， ∵A (a,0)，B (0，3)，点M 的横坐标为1，
∴a ＝2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，将点M 坐标代入椭圆方程得b 2
＝1，
∴椭圆方程为x 2
4
＋y 2
＝1. (2)A (2,0)，设l 的方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆方程解得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2
－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，线段AN 的中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2
4k 2＋1，－2k 4k 2＋1，则－2k 4k 2＋18k 2
4k 2
＋1－613＝－1k ，所以k 2
＝19，所以k ＝±13， 直线l 的方程为y ＝±1
3
(x －2)．
17．[解答] (1)由题意可得OP ⊥OM ，
所以OP →·OM →
＝0，即(x ，y )·(x ，－4)＝0，
即x 2－4y ＝0，即动点P 的轨迹W 的方程为x 2
＝4y .
(2)设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(－x 1，y 1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －4，x 2
＝4y ，
消y 整理得x 2
－4kx ＋16＝0，
则Δ＝16k 2
－64>0，即|k |>2，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.
直线A ′B ：y －y 2＝y 2－y 1
x 2＋x 1
(x －x 2)，
∴y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，∴y ＝x 22－x 2
1
4x 1＋x 2(x －x 2)＋14
x 22，
∴y ＝x 2－x 14x －x 2
2－x 1x 24＋14x 22，∴y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 2
4，
即y ＝x 2－x 1
4
x ＋4，所以，直线A ′B 恒过定点(0,4)．
18．[解答] (1)设抛物线C 2：y 2
＝2px (p ≠0)，则有y 2
x
＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知，
(3，－23)、(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2
＝4x .
设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝
⎛
⎭⎪⎫2，22代入得：
⎩⎪⎨⎪⎧
4
a 2＝1，2a 2
＋12b 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝1，
∴C 1的方程为x 2
4
＋y 2
＝1. ks5u
(2)方法1：
假设存在这样的直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x －1＝my ，两交点坐
标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧
x －1＝my ，x 2
4
＋y 2
＝1，消去x ，得(m 2＋4)y 2
＋2my －3＝0，
∴y 1＋y 2＝
－2m m 2
＋4，y 1y 2＝－3
m 2＋4
，① x 1x 2＝(1＋my 1)(1＋my 2)＝1＋m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2.② 由OM →⊥ON →，即OM →·ON →
＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0(*)，
将①②代入(*)式，得4－4m 2
m 2＋4＋－3m 2＋4＝0，解得m ＝±1
2
，
所以假设成立，即存在直线l 满足条件， 且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.
方法2：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l 斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2＝1，y ＝k x －1，
消掉y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2
－1)＝0，
于是x 1＋x 2＝8k 2
1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－11＋4k
2
，①
y 1y 2＝k (x 1－1)×k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，
即y 1y 2＝k 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 2
1＋4k 2.② 由OM →⊥ON →，即OM →·ON →
＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0(*)，
将①、②代入(*)式，得4k 2－11＋4k 2－3k 2
1＋4k 2＝k 2－4
1＋4k
2＝0，解得k ＝±2.
所以存在直线满足条件，
且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.
19．[解答] (1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a ＋2c ＝6＋4 2.
又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝22
3
a ，
所以a ＝3，c ＝2 2.
所以b ＝1，椭圆M 的方程为x 2
9
＋y 2
＝1.
(2)方法1：由(1)得，C (3,0)．
不妨设BC 的方程y ＝n (x －3)(n >0)，
则AC 的方程为y ＝－1
n
(x －3)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝n x －3，x 29
＋y 2
＝1，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫19＋n 2x 2－6n 2x ＋9n 2
－1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为3x 2＝81n 2
－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2
－39n 2＋1，同理可得x 1＝27－3n
2
9＋n 2，
所以|BC |＝61＋n 2
9n 2＋1，|AC |＝6n 1＋n
2
9＋n
2
， S △ABC ＝12|BC ||AC |＝2⎝ ⎛⎭⎪
⎫n ＋1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋1n 2＋64
9.
设t ＝n ＋1n ≥2，则S ＝2t t 2＋649＝2t ＋
649t ≤38，当且仅当t ＝8
3
时取等号，
所以△ABC 面积的最大值为3
8
.
方法2：不妨设直线AB 的方程为x ＝ky ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky ＋m ，x 29
＋y 2
＝1，消去x 得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2
－9＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2－9
k 2＋9
.①
因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA →·CB →
＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →
＝(x 2－3，y 2)， 得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.
将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式，
得(k 2＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2
＝0.
将①代入上式，解得m ＝12
5
或m ＝3(舍)．
所以m ＝125此时直线AB 经过定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，0，与椭圆有两个交点， 所以S △ABC ＝1
2|DC ||y 1－y 2|
＝12×35
y 1＋y 22
－4y 1y 2＝
9
5
25
k 2＋9－144
25k 2＋9
2
. 设t ＝1k 2＋9，0<t ≤1
9
，
则S △ABC ＝
9
5
－14425t 2
＋t . 所以当t ＝25288∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19时，S △ABC 取得最大值3
8.
20．[解答] (1)由题意p 2＝12，|NF |＝x 0＋p 2＝52
，则p ＝1，x 0＝2，y 2
0＝4.又y 0>0，得y 0
＝2.
所以抛物线方程为y 2
＝2x ，N (2,2)，M (2，－2)．
(2)由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝ty ＋b ，
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝2x ，x ＝ty ＋b ，得y 2
－2ty －2b ＝0.
设两个交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
22，y 2(y 1≠±2，y 2≠±2)， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4t 2
＋8b >0，y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2b .
又k NA ·k NB ＝
y 1－2y 212－2·y 2－2y 22
2
－2
＝4
y 1＋2y 2＋2＝－2， 整理得b ＝2t ＋3，此时Δ＝4(t 2
＋4t ＋6)>0恒成立， 由此直线l 的方程可化为x －3＝t (y ＋2)， 从而直线l 过定点E (3，－2)．
因为M (2，－2)，所以M 、E 所在直线平行于x 轴，
△MAB 面积S ＝12|ME ||y 1－y 2|＝t 2
＋4t ＋6，
所以当t ＝－2时，S 有最小值为2， 此时直线l ′的方程为x ＋2y ＋1＝0.。