2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第七章 平面解析几何 49 含答案 精品

考点测试49 双曲线
一、基础小题
1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )
A.
x 216－y 2
9
＝1 B.
x 216－y 2
9
＝1(x ≥4) C.x 29－y 2
16＝1 D.x 29－y 2
16
＝1(x ≥3) 答案 D
解析 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A 、C ；又c ＝5，a ＝3，∴b ＝c 2
－a 2
＝4.
∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29－y 2
16
＝1(x ≥3)．故选D.
2．若双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率为( )
A. 5 B ．5 C. 2
D ．2
答案 A
解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b a
x 的距离为bc a 2＋b
2
＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2
，∴5a 2
＝c 2
，∴离心率e ＝c a
＝ 5.
3．已知双曲线C ：x 2a －y 2
b
＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )
A.x 220－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
20＝1 C.
x 2
80－y 220
＝1 D.
x 220－y 2
80
＝1 答案 A
解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2
＋b 2
.①
又双曲线渐近线方程为y ＝±b a
x ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2b
a
＝1，即a ＝2b .②
由①②解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 2
5
＝1，故应选A.
4．已知双曲线x 2
－y 2
8＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支
分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )
A ．2 2
B ．3
C ．4
D ．22＋1
答案 C
解析 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4，选C.
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过F 2的直
线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设F 1B →
＋F 1C →
＝m ，F 1A →
＋F 1D →
＝n ，则下列各式成立的是( )
A ．|m |>|n |
B ．|m |<|n |
C ．|m －n |＝0
D ．|m －n |>0
答案 C
解析 取过点F 2且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则F 1B →＋F 1C →＝m ＝2F 1F 2→，F 1A →＋F 1D →＝n ＝2F 1F 2→
，故|m －n |＝0，选C.
6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－2
3
，则此双曲线的方程是( )
A.x 23－y 24＝1
B.x 24－y 23＝1
C.x 25－y 2
2＝1 D.x 22－y 2
5
＝1 答案 D
解析 依题意得a 2
＋b 2
＝c 2
＝7，
由此设双曲线方程为x 2a 2－y 2
7－a 2
＝1，
另设直线与双曲线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x ，y )．
则x 21a 2－y 217－a 2＝1，① x 22a 2－
y 22
7－a 2
＝1，② ①－②得：1a 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝1
7－a
2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，
又由x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，x ＝－23，y ＝x －1，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，得a 2
＝2.
∴双曲线方程为x 22－y 2
5
＝1，故选D.
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的
距离为1，则双曲线C 的方程为________．
答案 x 2
－y 2
3
＝1
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
c －a ＝1，c
a
＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2
－y 2
3
＝1.
8．设F 1，F 2分别为双曲线x 216－y 2
20
＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点
F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．
答案 17
解析 解法一：∵实轴长2a ＝8，半焦距c ＝6， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8.
∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17. 又∵|PF 2|的最小值为c －a ＝6－4＝2， ∴|PF 2|＝17.
解法二：由题知，若P 在右支上， 则|PF 1|≥2＋8＝10>9，∴P 在左支上． ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝9＋8＝17. 二、高考小题
9．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )
A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 答案 B
解析 因为e ＝
1＋b 2a 2，所以b
a 越大，e 就越大，令λ＝
b ＋m
a ＋m
b a
＝ab ＋am ab ＋bm
.当a >b 时，λ>1，e 2>e 1；当a <b 时，λ<1，e 2<e 1.故选B.
10．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2
的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A ．±12
B ．±
22
C ．±1
D ．± 2
答案 C
解析 不妨令B 在x 轴上方，因为BC 过右焦点F (c,0)，且垂直于x 轴，所以可求得B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2
a ，⎝
⎛⎭⎪⎫c ，－b 2
a ，又A 1，A 2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，所以A 1B →＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2
a ，A
2C →＝⎝
⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2
a ，因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，即(c ＋a )(c －a )－
b 2
a ·
b 2
a ＝0，即c 2
－a 2
－b 4a 2＝0，所以b 2
－b 4a 2＝0，故b 2a 2＝1，即b a ＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±b a
，
故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.
11．已知双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，
则a ＝______；b ＝________.
答案 1 2
解析 由题可知双曲线焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a
x ，又一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，
∴b a
＝2，即b ＝2a .
又∵该双曲线的一个焦点为(5，0)，∴c ＝ 5. 由a 2
＋b 2
＝c 2
，可得a 2
＋(2a )2
＝5，解得a ＝1，b ＝2.
12．设双曲线x 2
－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐
角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
答案 (27，8)
解析 △PF 1F 2为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在P 1与P 2之间运动(如图)． 当P 在P 1点处时，∠F 1P 1F 2＝90°，
S △P 1F 1F 2＝12|F 1F 2|·|yP 1|＝12
|P 1F 1|·|P 1F 2|.
由|P 1F 1|2
＋|P 1F 2|2
＝|F 1F 2|2
，|P 1F 1|－|P 1F 2|＝2， 得|P 1F 1|·|P 1F 2|＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝27. 当P 在P 2点处时，∠P 2F 2F 1＝90°， ∴xP 2＝2，易知yP 2＝3，
此时|PF 1|＋|PF 2|＝2|PF 2|＋2＝8，
∴当△PF 1F 2为锐角三角形时，|PF 1|＋|PF 2|∈(27，8)．
13．已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
8
＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△
APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
答案 12 6
解析 由已知得双曲线的右焦点F (3,0)．设双曲线的左焦点为F ′，则F ′(－3,0)．由双曲线的定义及已知，得|PF |＝2a ＋|PF ′|＝2＋|PF ′|.△APF 的周长最小，即|PA |＋|PF |最小．|PA |＋|PF |＝|PA |＋2＋|PF ′|≥|AF ′|＋2＝17，即当A 、P 、F ′三点共线时，△APF
的周长最小．设P 点坐标为(x 0
，y 0
)，y 0
>0，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0
－3＋y
66＝1，
x 20
－y
20
8
＝1，得y 2
0＋66y 0－96＝0，
所以y 0＝26或y 0＝－86(舍去)．所以当△APF 的周长最小时，该三角形的面积S ＝12
×6×66－1
2
×6×26＝12 6.
三、模拟小题
14．设P 为双曲线C ：x 2－y 2
＝1上一点，F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，若cos
∠F 1PF 2＝1
3
，则△PF 1F 2的外接圆半径为( )
A.94 B ．9 C.32 D ．3
答案 C
解析 由题意知双曲线中a ＝1，b ＝1，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2 2.因为cos ∠F 1PF 2＝1
3，
所以sin ∠F 1PF 2＝223.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R (R 为△PF 1F 2的外接圆半径)，即22
22
3＝
2R ，解得R ＝32，即△PF 1F 2的外接圆半径为3
2
，故选C.
15．已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2
＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )
A.y 2
3－x 2
＝1 B.x 2
3－y 2
＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 2
2
＝1 答案 D
解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，即
F (2,0)，∴4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±b
a
x 相切，由双曲线
的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为
2b
b 2＋a
2
＝2，∴a 2＝b 2
＝2，故双曲线C 的
方程为x 22－y 2
2
＝1.
16．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是
两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )
A ．m 2
－a 2
B.m －a
C.1
2(m －a ) D ．m －a
答案 D
解析 不妨设点P 是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线的定义可令|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两式联立得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －
a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .
17．已知直线l 与双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )
A.12 B ．1 C ．2 D ．4
答案 C
解析 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则
OA ⊥OB ，AB 的中点为⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，又因为AB 的中点在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1－x 222
＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝1
2
|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2，故选C.
18．已知双曲线：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y
＝3(x ＋c )与双曲线的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D.3＋1
答案 D
解析 ∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1
＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M .∴|MF 1|＝12|F 1F 2|＝c ，|MF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，
由双曲线的定义有：|MF 2|－|MF 1|＝3c －c ＝2a ，∴离心率e ＝c a
＝
c
3c －c
2
＝3＋1，故选D.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题
1．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，求顶点C 的轨迹方程．
解 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |，
所以|CA |－|CB |＝(|CE |＋|AE |)－(|CF |＋|BF |)＝|AE |－|BF |＝8－2＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 2
9
－y 2
16
＝1(x >3)． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直
线x ＝a 2c 的距离为32
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →
＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝3
2
，
∵a 2
＋b 2
＝c 2
，∴c ＝2a ， ∴a ＝1，c ＝2，∴b 2
＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 2
3
＝1.
(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为
M ，
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋m ，x 2－y 2
3＝1得2x 2－2mx －m 2
－3＝0，
∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－
m 2＋3
2
，
又∵DF →·BF →
＝1，
即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，
∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 2
2＝1，
∵DA →·BA →
＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，
∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∵|MA |＝1
2|BD |，
∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
3．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E
的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1
5
.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →
，求λ的值．
解 (1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20
b
2＝1.
由题意有
y 0x 0－a ·
y 0
x 0＋a ＝1
5
，
可得a 2
＝5b 2
，c 2
＝a 2
＋b 2
＝6b 2
，e ＝c
a ＝
305
. (2)联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－5y 2
＝5b 2
，
y ＝x －c ，得4x 2
－10cx ＋35b 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝5c
2，x 1x 2
＝35b
2
4
.①
设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.
又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2
，有
(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2
.
化简得
λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②
又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，
所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.
由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
4．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .
(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故⎩⎪⎨⎪⎧
k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，－2k k 2－2
>0，2k －2>0. 解得k 的取值范围是－2<k <－ 2. (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②
假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由FA ⊥FB 得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0， 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2
＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③
把②式及c ＝62代入③式，化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65
∉(－2，－2)(舍去)，
6＋6
5使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
可知存在k＝－。