期中考试11.15
江西省丰城中学2023-2024学年七年级上学期11月期中考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年江西省宜春市丰城中学七年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )A. B.C. D.2.借助一副三角尺的拼摆，你能画出度的角．( )A. B. C. D.3.下列方程的变形中正确的是( )A. 由得B. 由得C. 由得D. 由得4.关于多项式，下列说法错误的是( )A. 这个多项式是五次五项式B. 常数项是C. 四次项的系数是D. 按降幂排列为5.某校七年级班有学生人，其中女生人数比男生人数的多人，则女生的人数为( )A. B. C. D.6.如图，数轴上点，，对应的有理数分别为，，，则下列结论中：；；；；，正确的有( )A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.单项式次数是______ ．8.把式子改写成不含括号的形式是______ ．9.如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果为______ ．10.我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图的幻方中，．11.已知时，代数式的值是，那么当时，代数式的值为______ ．12.已知实数，，满足，且，则______ ．三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.为了增强市民的节约用电意识，实行阶梯收费、收费标准如下表：每月用电量收费第一档不超过度的部分电费元度第二档度以上至度的部分每度比上一档提价元第三档度以上的部分每度比上一档提价元若小新家月份用电度，则小新家月份应缴电费______元直接写出结果；若小新家月份的平均电费为元度，则小新家月份的用电量为多少度？若小新家月，月共用电度，月和月一共缴电费元，已知月份用电比月份少，求小新家，月各用多少度电电费每个月缴一次？四、解答题：本题共10小题，共76分。
四川省成都市郫都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市郫都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列调查中，适合用普查的是（）A ．了解我省初中学生的家庭作业时间B ．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量C ．了解一批电池的使用寿命D ．了解某市居民对废电池的处理情况2．若随机事件A ，B 满足()23P A =，()12P B =，()56P A B +=，则()P AB =（）A ．16B ．13C ．12D ．233．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（）A ．盛李豪的平均射击环数超过10.6B ．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C ．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D ．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差4．下列命题中正确的是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =- ，平面α的法向量为()6,4,1m =-，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+ ，则12m =-5．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A ．3BC D ．6．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A ．事件B 与C 互斥B ．()58P A B ⋃=C ．()()()()P ABC P A P B P C =D ．,,A B C 两两相互独立7．钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）A ．6B ．14C D ．48．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知12,1===AB AD AA .动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎡⎢⎣C ．⎤⎥⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦二、多选题9．某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（）A ．该学校高一学生共800人B ．志愿服务小组共有学生96人C ．志愿服务小组中高三学生共有20人D ．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为22510．下列对随机事件,A B 概率的说法正确的有（）A ．若,AB 相互独立，则(()()P AB P A P B =B ．若,A B 互斥，则()()()P AB P A P B =C ．()()()P A P AB P AB =+D ．()1()P A B P AB +=-11．若一个平面α与棱长为2的正方体的六个面都相交，且它们相交所成的二面角分别为(16)i i θ≤≤，则下列说法正确的是（）A ．621sin 2i i θ==∑B ．621sin 4i i θ==∑C ．若正方体的每条棱与平面α所成角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为D ．若正方体的每个面与平面α所成角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为三、填空题12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为.13．已知一组数据12,,,n x x x ⋯的平均数为10，方差为2，若这组数据1221,21,x x --⋯，21n x -的平均数为a ，方差为b ，则a =b =.14．两条异面直线a ，b 所成的角为60︒，在直线a 上取点A ，E ，在直线b 上取点B ，F ，使AB a ⊥，且AB b ⊥.已知6,8,14AE BF EF ===，则线段AB 的长为.四、解答题15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，L ，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值及样本成绩的第75百分位数；(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z 和方差2s .17．如图，在四棱锥,P ABCD PA -⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1,CD AB BC ===，1,,PA AB BC N =⊥为PD 的中点.(1)求证://AN 平面PBC ;(2)求点N 到平面PBC 的距离;(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是26，若存在，求出DMDP的值，若不存在，请说明理由.18．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组（岁）本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p 3[35,40)1000.54[40,45)a 0.45[45,50)300.36[55,60)150.3（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n 、p 、a 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．19．已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量,a b的夹角，记作,a b ，.定义a 与b 的“外积”为a b ⨯ ，且a b ⨯是一个向量，它与向量,a b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面,ABCD 4,DP DA ==E 为线段A 上一点，||AD BP ⨯=(1)求AB 的长；(2)若E 为A 的中点，求平面PEB 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)若M 为线段PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=，求||λ.。
2023—2024学年九年级上学期11月期中数学试题+
2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）2.用配方法解方程x2+6x+4=0时，原方程变形为（）A.(x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=43.二次函数y=﹣x2的图象向右平移2个单位，向上平移5个单位，则平移后的二次函数解析式为（）A.y=﹣(x+2)2+5B.y=﹣(x+2)2﹣5C.y=﹣(x﹣2)2+5D.y=﹣(x﹣2)2﹣54.若关于x的一元二次方程k x2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≥1且k≠0B.k≥﹣1C.k>﹣1D.k>﹣1且k≠05，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE 的长为（）A.5B.4C.3D.2第5题第7题第9题6.已知二次函数y=3(x﹣1)2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1 ＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y17，如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO.若OC：OB=3：5，则DE的长为（）A.3B. 4C. 6D. 88，某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A.289(1﹣x) 2=256B.256(1﹣x) 2=289C.289(1﹣2x) 2=256D.256(1﹣2x) 2=2899.在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cmA.1B.7C.1或7D.3或410.已知抛物线y=ax2+b x+c（a<0），经过点（﹣3，0）（1，0）.判断下列结论：①a bc>0；②a﹣b+c<0；③若m是任意实数，则a m2+b≤a﹣bm；④方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根；⑤无论a、b、c取何值，抛物线定过（，0）其中正确结论的个数（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.抛物线y=(x﹣2)2﹣5的顶点坐标是_____12.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣=0两个根为x1、x2，则x1+x2=____13.已知m 是一元二次方程x2﹣x﹣2=0 的一个根，则2022+m2﹣m=_____14.如图，在平面直角坐标系中，若直线y=m x+n与抛物线y=ax2+b x+c交于A（﹣1，p）、B （2，q）则关于x的不等式m x+n<ax2+b x+c的解集是_____15.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为_____16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α（0° <α<180°）得到△ABC'，BC交AB'于点F，连接BB'，则当△BB'F是等腰三角形时，旋转角α=_____第14题第15题第16题三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题7分，共21分。
广东省广州市中山大学附属中学2022—2023-学年九年级上学期数学期中考试卷(解析版)
2022-2023学年上学期中大附中初三11月数学线上测评姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（共30分）1.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得．【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.下列图形中，∠B＝2∠A的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A中，∠A=∠B；B中，∠A与∠B的大小无法判定；C中，∠A+∠B=180°；D中，∠B=2∠A．故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.无法确定B.相切C.相交D.相离【答案】C【解析】【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【详解】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∴r=3，d=2，∴d＜r，∴直线与圆相交，故选C．【点睛】本题考查直线由圆位置关系，记住．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l 和⊙O相离⇔d＞r是解题的关键．4.如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（）A.45°B.90°C.135°D.180°【答案】C【解析】【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解．【详解】旋转角是∠BAD=180°﹣45°=135°．故选C．5.下列说法错误的是（）A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（）A.55°B.45°C.35°D.25°【答案】C【解析】【分析】证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．的直径，【详解】解：∵AB是O∴∠=︒，ACB90，∠=︒55CABB∴∠=︒，35∴∠=∠=︒35.ADC B故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．7.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，将Rt ABC 绕点C 按顺时针方向旋转一定角度得到DEC Rt △，点D 恰好落在边AB 上．若20B ∠=︒，则BCE ∠的度数为（）A.20︒B.40︒C.60︒D.80︒【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形性质先求出70A ∠=︒，再利用旋转及等腰三角形性质求得40ACD ∠=︒，即可得出结论．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，20B ∠=︒，∴70A ∠=︒．由旋转知，CA CD =，ACD BCE ∠=∠．∴70ADC A ∠=∠=︒．∴40ACD ∠=︒．∴40BCE ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了旋转性质，熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解答此题的关键．8.如图，等边三角形ABC 的边长为2，CD AB ⊥于D ，若以点C 为圆心，CD 为半径画弧，则图形阴影部分的面积是（）A.12π- B.π- C.43π D.23π-【答案】A【解析】【详解】在等边三角形中，边长为2，=阴影部分的面积为等边三角形的面积减去60°扇形的面积，即143462S ππ=⨯-⨯=.故选A.9.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC =124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（）A.56°B.62°C.68°D.78°【答案】C【解析】【分析】由点I 是△ABC 的内心知∠BAC =2∠IAC 、∠ACB =2∠ICA ，从而求得∠B =180°﹣（∠BAC +∠ACB ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】解：∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC =2∠IAC 、∠ACB =2∠ICA ，∵∠AIC =124°，∴∠B =180°﹣（∠BAC +∠ACB ）=180°﹣2（∠IAC +∠ICA ）=180°﹣2（180°﹣∠AIC ）=68°，又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE =∠B =68°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．10.如图，在平面直角坐标系中，A （0，3）、B （3，0），以点B 为圆心、2为半径的⊙B 上有一动点P ．连接AP ，若点C 为AP 的中点，连接OC ，则OC 的最小值为（）A.1B.﹣1 C. D.322﹣1【答案】D【解析】【分析】确定点C 的运动路径是:以D 为圆心,以1DC 为半径的圆,当O 、C 、D 共线时,OC 的长最小,先求 D的半径为1,说明D 是AB 的中点,根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得所以OC 的最小值是1-.【详解】当点P 运动到AB 的延长线上时,即如图中点1P ,1C 是1AP 的中点，当点P 在线段AB 上时,2C 是中点,取12C C 的中点为D ，点C 的运动路径是以D 为圆心,以D 1C 为半径的圆(CA:PA=1:2,则点C 轨迹和点P 轨迹相似,所以点C 的轨迹就是圆),当O 、C 、D 共线时,OC 的长最小，设线段AB 交 B 于Q ，Rt AOB ∆中，OA=3,OB=3,A B ∴=.B 半径为2,112,BP AP ∴==1C 是1AP 的中点,11,2,AC AQ ∴==2C 是AQ 的中点,221,AC C Q ∴==12112,C C ⎫=-=⎪⎭即D 半径为1,111,2AD AB =+== 12OD AB ∴==1.OC ∴=故选D.【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC 最小时点C 的位置是解题关键,也是本题的难点二、填空题（共18分）11.正八边形的中心角等于______度【答案】45【解析】【分析】已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出360360458n ︒︒==︒．【详解】∵该多边形为正八边形，故n =8∴360360458n ︒︒==︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于360n︒．12.如图AB 、AC 、BD 是圆O 的切线，切点分别为P 、C 、D ，若5AB =，2BD =，则AC 的长是______．【答案】3【解析】【分析】根据切线长定理得到AC ＝AP ，BP ＝BD ＝2，然后求出AP 即可．【详解】解：∵AB 、AC 、BD 是圆O 的切线，∴AC ＝AP ，BP ＝BD ＝2，∵AP ＝AB ﹣BP ＝5﹣2＝3，∴AC ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理，得出线段的等量关系．13.已知二次函数23y x x m =-+（m 为常数）的图像与x 轴的一个交点为()1,0，则与x 轴的另一个交点的坐标为_______．【答案】(2,0)【解析】【分析】确定函数的对称轴322b x a =-=，即可求出与x 轴的另一个交点的坐标．【详解】解：函数的对称轴为322b x a =-=，该函数的图像与x 轴的一个交点为()1,0，则与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性，根据对称性找到交点坐标．14.如图，圆锥的高4AO =，底面圆半径为3，则圆锥的侧面积为___________．【答案】15π【解析】【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．【详解】解： 圆锥的高4AO=，底面圆半径为3，∴圆锥的母线长5==，∴圆锥的侧面积152π315π2=⨯⨯⨯=，故答案为：15π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为_____．【答案】（1，﹣4）【解析】【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．【详解】解：作AC⊥x轴于C，∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），∴AC＝2，BC＝3+1＝4，把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2，∴点A′的坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转．16.如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =将△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．【答案】1【解析】【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =，得到AB ===2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB ∠=︒，推出1''302ABD B BD ABB ∠=∠=∠=︒，得到BD 32=AB ′=C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1【详解】解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC ＝BC =∴AB ===2，∵△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB ′C ′的位置，∴∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，∴BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，∴C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB ∠=︒，∴1''302ABD B BD ABB ∠=∠=∠=︒，∴BD ==∴C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1故答案为1．【点睛】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D ，BD 的长是解题的关键．三、解答题（共72分）17.解方程：（1）240x x -=（2）24430x x --=（3）22(2)(23)x x -=+【答案】（1）120,4x x ==（2）1213,22x x =-=（3）1215,3x x =-=-【解析】【分析】（1）因式分解法解方程；（2）因式分解法解方程；（3）直接开方法解方程．【小问1详解】解：240x x -=()40x x -=，解得：120,4x x ==；【小问2详解】24430x x --=()()21230x x +-=，解得：1213,22x x =-=；【小问3详解】解：22(2)(23)x x -=+223x x -=+或()223x x -=-+，解得：5x =-或13x =-，∴1215,3x x =-=-．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．18.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，BD 是直径，且BC =2，连接CD ，求BD 的长．【答案】【解析】【分析】先根据圆周角定理可求出∠D =45°，∠BCD =90°，再根据三角形内角和定理可知△BCD 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出BC 的长．【详解】解：在⊙O 中，∵∠A ＝45°，∴∠D ＝45°.∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°，∴BC ＝BD ·sin45°＝2×22＝.19.如图，O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，3026DEB AE EB ∠=︒==，，，求CD 的长．【答案】【解析】【分析】作OH CD ⊥，根据26AE EB ==，得到半径为4，进而得出2EO =，根据含30度角的直角三角形的性质得到1HO =，在Rt HOD 中，勾股定理求得HD =【详解】作OH CD ⊥，连接OD ，∵26AE EB ==，，∴O 的半径为4，∴422EO AO AE =-=-=，在Rt OHE △中，30HEO DEB ∠=∠=︒，∴112OH EO ==，在Rt HOD 中，HD ==∵OH CD ⊥，∴2CD HD ==【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 三个顶点都在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣4，1），C （﹣1，1）．解答下列问题：（1）画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1绕点C 1逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 1，并求出点A 1经过的路径长．【答案】（1）画图见解析，B 1(4,-1)（2）π【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可；（2）根据弧长公式列式计算即可得解．【小问1详解】解：如图，()14,1B -；【小问2详解】解：如上图，1A 走过的路径长：1224ππ⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置．21.如图，P 是正ABC 内的一点，若将PAC △绕点A 逆时针旋转到P AB '△，（1）求PAP '∠的度数；（2）若3,4,5AP BP CP ===，求APB ∠的度数．【答案】（1）60︒（2）150︒【解析】【分析】（1）根据旋转的性质：对应角相等，以及等边三角形的性质：三个角均为60︒，即可得解；（2）将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒，得到，连接，可得：为等边三角形，利用勾股定理逆定理可得：是直角三角形，即可得解．【小问1详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，∵将PAC △绕点A 逆时针旋转到P AB '△，∴CAP BAP '∠=∠，∴CAP BAP BAP BAP '∠+∠=∠+∠，即：60PAP BAC '∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，将ABP ∆绕点A 顺时针旋转60︒，得到1ACP ∆，连接1PP ，则：111,,60BPA CP A AP AP PAP ∠=∠=∠=︒，∴1APP 为等边三角形，∴160APP ∠=︒，∵3,4,5AP BP CP ===，∴1113,4,PP AP AP CP BP =====∴22222113425,PP PC CP +=+==∴1PPC 是直角三角形，∴190CP P ∠=︒，∴1116090150BPA CP A PP A PPC ∠=∠=∠+=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理逆定理．熟练掌握旋转前后的两个图形全等，是解题的关键．本题是旋转全等模型，遇到等腰（边）三角形内部一点，可以通过旋转构造全等三角形来解题．22.如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，AC CD =，连接AD ，延长DB 交过点C 的切线于点E ．（1）求证：ABC CAD ∠=∠；（2）求证：BE CE ⊥．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等弦对等弧，得到弧AC 等于弧CD ，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；（2）连接OC ，根据切线的性质可得：OC EC ⊥，再根据圆内接四边形的外角等于内对角，以及ABC CAD ∠=∠，得到：CBE OBC OCB ∠=∠=∠，进而得到：OC BE ∥，即可得证．【小问1详解】证明：∵O 是ABC 的外接圆，点D 在O 上，AC CD =，∴ AC CD=，∴ABC CAD ∠=∠；【小问2详解】证明：连接OC ，则：OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵CE 是O 的切线，∴OC CE ⊥，∵CBE CAD ABC ∠=∠=∠，∴CBE OCB =∠∠，∴OC BE ∥，∴BE CE ⊥．【点睛】本题考查等弦对等弧，圆周角定理，切线的性质，以及圆内接四边形．熟练掌握等弧所对的圆周角相等，以及圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．23.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2+mx+2-12m=0的两个实数根．（1）求△ABC 的周长．（2）求△ABC 的三边均为整数时的外接圆半径．【答案】（1）△ABC 的周长为725或7；（2）△ABC 的三边均为整数时的外接圆半径为477．【解析】【分析】（1）此题分两种情况考虑：一是b 和c 中有一个和a 相等，是3；二是b=c ，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．【详解】（1）若b 、c 中有一边等于3，则方程可化为193m 2m 02++-=，解得m=-225；原方程可化为x 2-222155+=0，解得x 1=3，x 2=75，所以三角形的周长为3+3+75=275；若b=c ，则△=m 2-4(12m 2-)=0，解得m=﹣4或2，当m=﹣4时，方程为x 2﹣4x+4=0，得x 1=x 2=2，所以三角形的周长为2+2+3=7；当m=2时，方程为x 2+2x+1=0，得x 1=x 2=﹣1；（不合题意，舍去）综上可知△ABC 的周长为725或7．（2）作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于点D 、交BC 于E ，连接BO ，则有AE ⊥BC ．∵△ABC 的三边均为整数，∴AB=AC=2，BC=3，BE=12BC=32．==72，设AO=R ，在Rt △BOE 中，R 2=（32）2+（72﹣R ）2，∴R=7，∴△ABC 的三边均为整数时的外接圆半径为7．【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，三角形的外接圆与外心，三角形的外接圆及外心.注意（1）中的多种情况，能够熟练结合等腰三角形的三线合一和勾股定理求得等腰三角形的外接圆的半径．24.如图，在平面直角坐标系中，以(5,4)D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．（1）求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；（3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN △面积最大？若存在，求出CBN △面积的最大值，并求出此时点N 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）215442y x x =-+（2）见解析（3）存在，(4,2)N -，CBN △面积的最大值为：16【解析】【分析】（1）连接,CD AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，利用切线的性质和垂径定理，求出点,,C A B 三点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）连接DF ，将二次函数转化为顶点式，求出F 的坐标，分别求出,,AF DF AD ，利用勾股定理的逆定理求出90DAF ∠=︒，即可得证；（3）过点N 作NP y 轴，交BC 于点P ，设点N 的坐标为215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则：点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用12BCN PNC PNB S S S PN OB =+=⨯⨯ 进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接,CD AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，13,2AE BE AB ===4DE =，∴90DCO ∠=︒，5DA ===∴四边形OCDE 是矩形，∴4,5OC DE OE CD ====，∴2,8OA OE AE OB OA AB =-==+=，∴)0,4,2,,()()0,0(8C A B ，设经过点,,C A B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++，有：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：145,24a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：215442y x x =-+；【小问2详解】证明：∵()221519454244y x x x =-+=--∴顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点D 为圆心，点A 在圆周上，由（1）知，5r DA ==，如图：连接DF，∵()5,4D ，∴925444DF =+=，154AF ==，∴22222215625255((4164DA AF DF +=+===∴90DAF ∠=︒，∴直线FA 与D 相切；【小问3详解】解：存在点N ，使CBN △如图，过点N 作NP y 轴，交BC 于点P，∵)0,4,()0(8,C B ，设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则：114,80b k b =⎧⎨+=⎩解得：1124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：142y x =-+；设点N 的坐标为215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵NP y 轴，交BC 于点P ，∴点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2211514422424NP n n n n n ⎛⎫=-+--+=-+ ⎪⎝⎭，12BCN PNC PNB S S S PN OB ∴=+=⨯⨯ ，222118(2)8(4)1624n n n n n =⨯⨯-+=-+=--+；∴当4n =时，CBN S 最大，最大值为16，此时(4,2)N -．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．同时考查了切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理逆定理．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．。
四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期11月期中测试数学试题
四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期11月期中测试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,2,,1,3A a B a =+=，若对,x A ∀∈都有x B ∈，则a 为（）A ．1B ．1-C ．2D ．1或22．直线220x y -+=被圆()()22124x y -+-=截得的弦长为（）AB C D ．8553．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（）A ．超过13的大学生更爱使用购物类APPB ．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C ．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D ．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%4．数列{}n a 为等比数列，若154215,6a a a a -=-=，则3a 为（）A ．4B ．-4C ．4±D ．不确定5．已知实数,x y 满足0x y >>，则下列不等式恒成立的是（）A ．222xy xy+>B ．2x yy +>>C ．4x y y x+≥D ．2≥+xyx y6．已知四面体A BCD -的外接球半径为2，若π3BC BDC =∠=，则四面体A BCD -的体积最大值为（）A ．94B ．92C D 7．设F 为抛物线2:4y x Γ=的焦点，过F 且倾斜角为60︒的直线交曲线Γ于,A B 两点（B 在第一象限，A 在第四象限），O 为坐标原点，过A 作Γ的准线的垂线，垂足为M ，则||||OB OM 的值为（）A ．13B ．12C ．2D ．38．已知函数1()93xf x =-的图象关于点P 对称，则点P 的坐标是（）A ．12,18⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,0二、多选题9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）A ．1A 、2A 为对立事件B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=10．对于函数()sin f x x =与()πsin 36g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．当[0,2π]x ∈时，()f x 与()g x 的交点个数为6C ．将()f x 的图像向右平移π6个单位，并把横坐标变为原来的13可以得到()g x 的图像D ．将()f x 的图像横坐标变为原来的13，并向右平移π6个单位可以得到()g x 的图像11．已知函数()1ln f x x a x x=--，下列说法正确的是（）A ．若1,a =则曲线()f x 在()1,0的切线方程为10x y --=B ．若()0f x <当且仅当()0,1x ∈，则a 的取值范围(),2-∞C ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若函数()1ln f x x a x x=--有三个零点为123,,x x x ，则123ax x x 的取值范围()2,+∞三、填空题12．已知1sin()2αβ+=，tan 5tan αβ=，则sin()αβ-=．13．已知数列{}n a 满足：11,2,N7,231,21,Nn n n n n a a k k a a a a k k *+*⎧=∈⎪==⎨⎪+=+∈⎩，则4a 为.14．设1234,,,a a a a 是数字1,2,3,4的排列，若存在14i j k ≤<<≤成立i j k a a a <<，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是.四、解答题15．已知在ABC V 中，221cos 2ac B bc a b -=-，(1)求A ；(2)若2a =，则三角形ABC,.b c 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，2AB =，8AD =，5AC CD ==.(1)求证：平面PCD ⊥平面PAB ；(2)求点B 到平面PCD 的距离.17．已知函数()()e 1xf x a x=-+(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()e 1xf x a x b =-+≥对于R x ∈恒成立，求b a -的最大值.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=过3(1,2A ，3317(1,),(,2510B E ---，(2,0)F -中的三点.(1)求椭圆方程及其离心率；(2)过(4,0)P 作直线QR 交C 于,Q R 两点（Q R ≠），连接,BP BR ，过Q 作x 轴垂线分别交,BP BR 于,M N .求证:M 为QN 中点.19．若数列{}()**1,,N n a n k n k ≤≤∈∈N 满足{}0,1n a ∈，则称数列{}n a 为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .(1)若{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，求数列{}(1)nn a -的所有项的和；(2)从集合k M 中任意取出两个不同数列{}{},n n a b ，记1ki i i X a b ==-∑.①若3k =，求随机变量X 的分布列与数学期望；②证明：()2k E X >.。
2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期11月期中考试数学试题(解析版)
2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．以下给出了4个对应关系：A R =，B R =，对应关系f ：11y x =+，x A ∈，y B ∈；{}0,1,2,A =⋅⋅⋅，{}0,1,2,3B =对应关系:f A 中的元素对应它除以4的余数； M ={你们班的同学}，N ={身高}，f ：每个同学的身高；M ={三角形的周长}，N ={所有的三角形}，f ：周长相等的三角形；其中可称为映射的对应关系共有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】题目考察映射的概念，即一个变量有且只有一个应变量与之相对应，可称之为映射关系 【详解】①集合A 中的元素1- 在集合B 中没有与它相对应的元素，不可构成映射，故错误； ②任何一个整数除以4的余数只能是0，1，2，3中的一个，所以集合A 中的元素在集合B 中有且只有一个元素与它相对应，可构成映射，故正确；③M 中任意一个元素（同学），在N 中有且只有一个元素与它相对应，可构成映射，故正确； ④因为相同的周长对应无数个不同的三角形，所以M 中任意一个元素，在N 中不是有且只有一个元素与它相对应，不可构成映射，故错误. 则有两个可称为映射的对应关系 故选：C2．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ）A 322+B 342+C 322+ D 342+【答案】A【解析】所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.3．设:01p x <<，:()[(2)]0q x a x a --+≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{|10}a a -≤≤ B ．{|10}a a -<< C ．{|0a a ≤或1}a ≥ D ．{|1a a <-或0}a >【答案】A【分析】根据题意求出条件q 的取值范围，再根据p 是q 的充分不必要条件列不等式组求得实数a 的取值范围．【详解】解：由()[(2)]0x a x a --+≤得2a x a ≤≤+， 所以:01p x <<，:2q a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则021a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围{|10}a a -≤≤． 故选：A ．4．设全集U =R ，集合{}{}222120,280A x x ax B x x bx b =+-==++-=∣∣，若(){}2UA B =，则b的值为（ ） A ．4 B ．2C ．2或4D ．1或2【答案】B 【分析】由(){}2UAB =可知2A ∈，由此即可解出4a =，则可求出{}6,2A =-，再由(){}2UA B =可知6B -∈，2∉B 由此即可求出答案. 【详解】因为(){}2UA B =所以2A ∈所以222120a +-=解得：4a =，2412(2)(6)02x x x x x +-=-+=⇒=或6x =-所以{}6,2A =-， 所以6B -∈，2∉B所以()222628068(2)6(4)0b b b b b b -+-=⇒-+=--=-解得：2b =或4b =， 且2222280+224(6)(4+2)0b b b b b b +-≠⇒-=+-≠解得：6b ≠-且4b ≠ 所以2b =. 故选：B5．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.6．若x A ∈，且1A x∈，则称A 为“影子关系”集合．在集合110,,,1,2,3,432M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．7个 D ．8个【答案】C【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可.【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合110,,,1,2,3,432M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭中，为影子关系的集合有{}1224561111111,,2,,3,1,,2,1,,3,2,,,3,232323M M M M M M ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫======⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭7111,2,,,323M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.故选：C7．若函数()213x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间是A ．(],2∞-B ．[)2,∞+C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【答案】B【分析】将复合函数拆成两个简单函数,利用两个简单函数的单调性以及”同增异减”原则可确定复合函数的单调区间.【详解】将原函数看成复合函数1,2,3uy u x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为1y=()3u是关于u 的减函数，u 在[)2,∞+为增函数，在(],2∞-为减函数,由复合函数的性质知，()f x 的单调递减区间是[)2,∞+. 故选B.【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法,属于中档题.求复合函数的单调区间,一般是通过将复合函数拆成两个简单函数,再利用两个简单函数的单调性以及”同增异减”原则,可确定复函数的单调区间. 8．设函数y ＝x 3与y ＝212x -⎛⎫⎪⎝⎭的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【答案】B【解析】函数y ＝x 3与y ＝212x -⎛⎫⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标即为231()2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，将问题转化为确定函数231()2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【详解】设231()2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x 是增函数，又(0)40,(1)10,(2)70g g g =-<=-<=>.所以(1)(2)0g g <， 所以x 0所在的区间是(1，2) 故选：B【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.9．已知函数4323x x y =-⋅+，若其值域为[]1,7，则x 可能的取值范围是 A ．[]2,4 B ．(,0]-∞C ．[](0,1]2,4⋃D ．(][]-01,2∞⋃，【答案】D【分析】令2xt =则22333324y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由选项的x 的范围分别求值域即可得解.【详解】令2xt =则22333324y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，对称轴为32t =.当[]2,4x ∈时，[]4,,16t ∈，此时[]7,211y ∈，不满足题意； 当(],0x ∈-∞时，(]0,1t ∈，此时[]1,3y ∈，不满足题意；当(][]0,12,4x ∈⋃时，(][]1,24,16t ∈⋃，此时[]3,17,2114y ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦，不满足题意；当][(,01,2x ⎤∈-∞⋃⎦时，][(0,12,,4t ⎤∈⋃⎦，此时[]1,7y ∈，满足题意. 故选D.【点睛】本题主要考查了换元法求值域，注意新元的范围，属于基础题. 10．已知0.40.3a =，0.40.4b =，0.30.3c -=，则（ ） A ．a c b << B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】D【解析】利用指数函数的单调性比较a 、c 与1的大小关系，利用幂函数的单调性比较a 、b 与1的大小关系，由此可得出结论.【详解】指数函数0.3x y =为R 上的减函数，则0.400.30.310.30.3-<=<，即1a c <<， 幂函数0.4y x =在()0,∞+上为增函数，则0.40.40.40.30.411<<=，即1a b <<. 因此，a b c <<. 故选：D.11．定义运算()=(>)a ab a b b a b ≤⊕⎧⎨⎩ ，则函数()12xf x =⊕的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可.【详解】解：因为运算()=(>)a a b a b b a b ≤⊕⎧⎨⎩，所以，()2,0=12=1,>0x xx f x x ≤⊕⎧⎨⎩，所以，根据指数函数图像可知A 选项满足题意. 故选：A12．化简(3216811111421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是A ．13211(2)---B ．11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13212--D ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据平方差公式以及分数指数幂的运算即可求解.【详解】因为111323216121212---⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以原式的分子分母同乘以13212-⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以原式11111132321684213212121212121212,111111616842132121212121212,,111111111884244222111323232121212121212121212121212------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===--- 111323212112212----==⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：B.二、填空题13．若函数31,(0)1()142,(0)2x x x f x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪⨯-<⎪⎩的值域为A ，则A 为__________.【答案】71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】分段函数分段求出值域，然后再求并集。
湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷
湖南省长沙市周南中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}1,0,,1,2,3A a B =-=-.若{}1,0,2,3A B ⋃=-，则实数a 的取值集合为（）A ．{}2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2,3-D ．{}0,1,2,3-2．复数34i34iz -=-的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“tan 0α≥”是“sin20a ³”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()f x 的定义域为R ，设()f x 的导函数是()f x '，且()()0f x f x x '⋅+>恒成立，则（）A ．()()11f f <-B ．()()11f f >-C ．()()11f f >-D ．()()11f f <-5．已知a 为单位向量，向量b 在向量a上的投影向量是2a ，且()4a b a l +^ ，则λ的值为（）A ．2B ．0C ．2-D ．1-6．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为()10F ,，过焦点F 的直线交C 于A B，两点，A 在第一象限，若以AF 为直径的圆经过(0,2)，则AOB V 的面积为（）A ．54B ．52C ．174D ．57．已知数列{}n a 的前n 项和为211,6,12n n n S a S a +==+，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．31nn S =+8．已知可导函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，设()g x 是()f x 的导函数，若()1g x +为奇函数，且()102g =，则()202412k kg k =∑=（）A ．-1012B ．-506C ．506D ．1012二、多选题9．盒中有3个球，其中1个红球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为()()E D ξξξ，，分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是（）A ．()103P ξ==B ．()1E ξ=C ．()313E ξ+=D ．()316D ξ+=10．点P 在曲线ln y x =上，点Q 是点P 关于y 轴的对称点，点R 是点P 关于x 轴的对称点，点S 是点R 关于直线y x =的对称点.设O 为坐标原点，则下列结论正确的有（）A ．0OQ OR += B ．点S 在曲线e x y -=-上C ．SPO ∠为定值D ．当且仅当点P 与点R 重合时，QS 11．设直线123l l l ，，两两垂直，且三条直线与平面123ααα，，所成角如下表所示：夹角1α2α3α1l π63θ2l π42θ03l 1θπ6π4注：夹角为0表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（）A ．1π3θ=B ．12θθ=C ．1θ和2θ互余D ．13θ和32θ互补三、填空题12．函数()sin cos f x x x =+的值域是.13．已知圆()2241C x y +-=：，点P 在直线2l y x =：上运动，以线段PC 为直径的圆D与圆C 相交于A B ，两点，则直线AB 过定点.14．在棱长为4的正四面体ABCD 中，O 为其外接球的球心，过点O 作平面α使得//CD α.若B α∈，则α截正四面体所得截面的面积为.四、解答题15．锐角ABC V 的三个内角是A B C ，，，满足()cos2cos22sin sin sin A B C B C -=-，ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径是1.(1)求角A 的大小及OB OC ⋅的值；(2)求OA AB ⋅的取值范围.16．已知函数()()()1πsin ln 1R 22f x x xg x x ax a =--=-++∈，，设{}max ,m n 表示m n ，的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =.(1)讨论()f x 在()0,2π上的单调性；(2)当>0时，()0F x ≥，求a 的取值范围.17．设E 是ABC V 的边AC 上一点，沿BE 将CEB 翻折至DEB 的位置(D 不在平面CEB 内)，F 是线段AB 上的一个动点，且()01AF AB λλ=<<.(1)如图1，若DF ⊥平面ABE ，求证：直线DE 与平面ABE 所成的角以及DE 与平面AFD 所成的角之和不可能超过90 ；(2)如图2，若9042C AC BC Ð=== ，，，E 是AC 的中点，平面DEB ⊥平面ABE .是否存在λ，使得三棱锥D BEF -若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，以C 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点（A B ，不与椭圆的顶点重合）.(1)求C 的标准方程；(2)若以A 为直径的圆经过原点，求证：直线l 与圆22127O x y +=：相切；(3)若动直线l 过点()40M ，，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线A 与x 轴的交点为E ，求ABE 面积的最大值.19．设{}*N 2,0,1,1,2,,,i n n x i n ∈≥∈= ，集合(){}12,,,n n S XX x x x == ∣.对于()()1212,,,,,,,n n n n P p p p S Q q q q S =∈=∈ ，记()*1122,,,n n P Q p q p q p q P Q =---=,!1||niii p q =-∑.(1)若,,n A B C S ∈，证明：()()**A C B C A B =!!；(2)若*,,,n A B C S A B ∈和*A C 都为奇数，证明：*B C 为偶数；(3)若121020,,,X X X S ∈ ，当110i j ≤<≤时，求所有*i j X X 之和的最大值.。
江苏省无锡市惠山区2024-2025学年九年级上学期期中考试历史试题
九年级历史期中试卷2024.11注意事项：1.答题前，请将姓名、准考证号用0.5毫米黑色水笔填写在答题卡规定位置。
2.请将试题的答案写在答卷上，不要写在试题上。
一、单项选择题：共24题，每题1分，共24分。
每题只有一个选项最符合题意。
1．为配合中学生研学旅行，某旅行社制作了如下文化广告，其中符合历史事实是A.在恒河南岸观光，了解楔形文字，感受印度的释迦牟尼佛像B.在两河流域驻足，了解种姓制度，欣赏古巴比伦城遗址C.沿尼罗河而行，了解象形文字，领略胡夫金字塔的壮美D.参观希腊历史博物馆，看汉谟拉比石柱，领略海洋文化魅力2．“在希腊，山岭纵横，河流交错，几乎没有一整块大面积的平原，这种自然环境形成了以‘个人导向’为倾向的文化渊源，在某种程度上有利于民主制度的发展。
”对此理解正确的是A.强调了自然环境对希腊文明的影响B.希腊的地理环境只能导致个人主义C.希腊的地理环境只能导致民主政治D.政治文明完全由自然地理环境左右3．美国学者约翰 · 赞恩在《法律的故事》一书中写道：“罗马的法律机器得以完善地运行，得益于程序完备的罗马法庭和专业律师阶层的出现……所有这些贡献为现代世界的法律制度构造了近于完善的框架。
”该学者意在A.探究罗马法律制度完善的根源B.分析了罗马法于帝国巩固之作用C.强调罗马法对于人类文明的意义D.指出自然法是罗马法的基础4．古希腊哲学家成就突出，出现了一位百科全书式的学者，他有一句名言“吾爱吾师，吾更爱真理。
”该学者是A.亚里士多德B.苏格拉底C.德谟克利特D.莎士比亚5．下面思维导图中“? ”处应填写的内容是A.罗马帝国B.法兰克王国C.亚历山大帝国D.阿拉伯帝国6．近代翻译家严复在《原富》一书中把“feu Dalism ”翻译为“拂特之制”，进而解释为“顾分土因而分民，于是乎有拂特之俗。
……用拂特之制，民往往知有主而不必知有王。
故地大民众者，王力不足以御临之也。
”材料中的“拂特之制”指A.罗马共和制B.雅典奴隶制C.封君封臣制D.中央集权制度7．中世纪西欧庄园某个村民因“从领主的池塘中捉了条鱼”而被罚“ 向领主上交6 倍于此的鱼”，但当领主过度盘剥农民时，农民便利用庄园法庭来反抗领主。
江苏省徐州市2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题含解析
2023~2024学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,5U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,3,4 B.{}1,3 C.{}1,2,5 D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用并集与补集的概念计算即可.【详解】由题意可知{}3,4U B =ð，所以(){}1,3,4U A B ⋃=ð.故选：A 2.若2i 1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求得复数z ，即可得z ，可得其对应的点的坐标，即可得答案.【详解】由题意知2i 1iz -=+，故i(1i)21i z =++=+，故1iz =-则复数z 对应的点为(1,1)-，在第四象限，故选：D3.拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】先确定a 可能的取值，再结合余弦定理判断三角形为钝角时a 的取值，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则a 的取值可能为1,2,3,4,5,6，有6种可能；,4,5a 能够构成三角形时，需满足19a <<，若,4,5a 能够构成钝角三角形，当5所对角为钝角时，有2222450,9a a +-<∴<，此时2a =；当a 所对角为钝角时，需满足2222540,41a a +-<∴>，此时没有符合该条件的a 值，故,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是16，故选：D4.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则⋅= ab （）A.2-B.52-C.2D.112【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量定义及向量的数量积、向量的模计算即可.【详解】因为()()0,2,1,a b t =-=，所以向量b 在向量a上的投影向量为2142||||b a a t a a a a⋅-⋅==-，所以1t =，故2a b ⋅=-故选：A5.已知等比数列{}n a 的首项为3，则“911a a <”是“1114a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，由911a a <可得q 的取值范围，说明1q <-时不能推出1114a a <；继而说明1114a a <成立时推出1q >，即可推得911a a <，由此可判断答案.【详解】由题意知等比数列{}n a 的首项为3，设公比为q ，由911a a <，则81033q q <，即21,1q q >∴>或1q <-，当1q <-时，01114133(1)0q a a q -=->，即1114a a >，即“911a a <”不是“1114a a <”的充分条件；当1114a a <时，即1013,1q q q <∴>，则810q q <，即81033q q <，即911a a <，故“911a a <”是“1114a a <”的必要条件，故“911a a <”是“1114a a <”的必要不充分条件，故选：B 6.已知π4ππsin ,3536θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则πtan 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425-B.2425C.724D.724-【答案】C 【解析】【分析】根据角的变换及诱导公式，二倍角的正切公式求解即可.【详解】因为ππ36θ-<<，所以ππ032θ<+<，所以3cos 5π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，故4tan 3π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，πππsin 2cos 232πππ13tan 2tan 2ππ632ππsin 2tan 2cos 23332θθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎢ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦⎝⎭+=+-==-=-⎪ ⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π161tan 17394π2422tan 33θθ⎛⎫-+-⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，故选：C7.已知()1y f x =-为偶函数，当1x ≥-时，()()2ln 23f x x x =++.若()()12f x f x >，则（）A.()()121220x x x x -+-< B.()()121220x x x x -+->C.()()121220x x x x -++< D.()()121220x x x x -++>【答案】D 【解析】【分析】利用偶函数的性质及复合函数的单调性计算即可.【详解】由()1y f x =-为偶函数可知()f x 的图象关于=1x -轴对称，又1x ≥-时，()222312u x x x =++=++单调递增，ln y u =单调递增，故()()2ln 23f x x x =++在()1,-+∞上单调递增，(),1-∞-上单调递减，即()()()()()()221212121212111120f x f x x x x x x x x x >⇒+>+⇒+-+=-++>.故选：D8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()0,3的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，若6AF BF +=，则ABD △的面积为（）A.2B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为H ，A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，由题意和抛物线的定义可得3HH '=，即2H x =，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出直线AB 的斜率，求得H 的坐标，进而求出其中垂线方程，可得D 的坐标，结合弦长公式和三角形面积公式计算即可求解.【详解】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，设A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，则1()2HH AA BB '''=+，由抛物线的定义可知，,,6AF AA BF BB AF BF ''==+=，所以6AA BB ''+=，得3HH '=,即点H 的横坐标为2，设直线AB ：3y kx =+，代入抛物线方程，得22(64)90k x k x +-+=，由22(64)360k k ∆=-->，得13k <且0k ≠.设()()1122,,,A x y B x y ，则122464k x x k -+==，解得2k =-或12（舍去）.所以直线AB ：23y x =-+，(2,1)H -，所以AB 的中垂线方程为11(2)2y x +=-，令0y =，解得4x =，即(4,0)D ，则DH =又122994x x k==，所以AB =所以1122ABD S AB DH == .故选：C.Q二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM 2.5（PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：3ug /m ）的日均值，依次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33，则（）A.前4天的极差大于后4天的极差B.前4天的方差小于后4天的方差C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数与众数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据方差和极差判断A ，B 选项，根据中位数判断C 选项，根据百分位数和众数判断D 选项.【详解】前4天的极差361719-=，后4天的极差423012-=，A 正确;前4天的平均数25.5，方差222210.50.58.5 2.547.254+++=，后4天的平均数34，方差2222834122.54+++=,前4天的方差大于后4天的方差，B 选项错误;数据从小大排列17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,这组数据的中位数为3133322+=，C 选项错误;这组数据的第60百分位数100.66⨯=是第6个数和第7个数的平均数3333332+=与众数33相同，D 选项正确.故选:AD.10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点相邻的()f x 的一个零点为π6，则（）A.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数C.()f x 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据极小值可得A ，再根据极值点与零点关系可得周期，进而可得ω，再代入极小值点求解即可；对B ，根据解析式判断即可；对C ，代入ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭判断是否为减区间即可；对D ，根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可.【详解】对A ，由题意2A =-，且周期T 满足5πππ12644T -==，故πT =，即2ππω=，2=ω，故()()2cos 2f x x ϕ=+.因为()f x 在5π12x =处取得极小值2-，故()5π2π2π,Z 12k k ϕ⨯+=+∈，即()π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，故π6ϕ=，则()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由诱导公式()2ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ，ππππ2cos 22cos 22sin 23362y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对C ，ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭则ππ5π2,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，不为余弦函数的单调递减区间，故C 错误；对D ，π5π,46x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则1π22π1π,366x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，故,πc 2os 216x ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎣⎭⎭，则π2cos 26x ⎡∈-⎣⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）A.11B D 与EF 是异面直线B.存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC.1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为3D.点1B 到平面1A EF 的距离为45【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅=⋅，则1AF 与平面1B EB所成角的余弦值为3=，C 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111117A B n n ⋅==，D 错误.故选：BC12.已知函数()()()11ln ,f x a x x x a =-++∈R ，则下列说法正确的是（）A.当1ln8a =时，()122f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.当0a >时，()22f a a a <-C.若()f x 是增函数，则2a >-D.若()f x 和()f x '的零点总数大于2，则这些零点之和大于5【答案】ABD 【解析】【分析】直接代入即可判断A ，令()()()22a g a f a a =--，利用导数说明函数的单调性，即可判断B ，由()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，利用导数求出()min f x '，即可求出a 的取值方程，即可判断C ，首先说明2a <-，得到()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，利用对数均值不等式得到121x x >，即可得到122x x +>，再说明()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x 且431x x =，最后利用基本不等式证明即可.【详解】对于A ：当1ln 8a =时()()()11ln 1ln 8f x x x x =-++，则()12ln3ln23ln 23ln 208f =+=-+=，11111331ln 1ln ln 2ln 202282222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：()()()()211ln 1ln f a a a a a a a a a =-++=-++，令()()()()()()222221ln 21ln a a a a a a a a a g a f a a a --+--=--+==++，则()112ln ln 21a a a a a a ag a '=+-++=-++，令()()1ln 21a a am a g a -+=+'=，则()2222217211214820a m a a a a a a a '⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=--==<，所以()g a '在()0,∞+上单调递减，又()10g '=，所以当01a <<时()0g a '>，当1a >时()0g a '<，所以()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110g a g ==-<，所以当0a >时，()22f a a a <-，故B 正确；对于C ：()1ln 0x f x a x x+'=++≥在()0,∞+上恒成立，令()()1ln x h x f x a x x +'==++，则()22111x h x x x x-'=-=，所以当01x <<时()0h x '<，当1x >时()0h x '>，所以()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 120f x f a ''==+≥，解得2a ≥-，故C 错误；对于D ：因为()10f =，即1为()f x 的一个零点，当2a =-时()0f x '≥，()0f x '=有且仅有一个根1，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()f x 和()f x '都只有1个零点，不符合题意；当2a >-时()0f x ¢>，则()f x '无零点，()f x 只有一个零点，不符合题意；当2a <-时()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，所以11221ln 101ln 10a x x a x x ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，所以211221ln ln x x x x x x -=>-，所以121x x >，所以122x x +>=，且()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，且()10f =，所以()10f x >，()20f x <，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x ，又()()()11111111ln 11ln f a a x x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=--++=-⎡⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以431x x =，所以()123412*********x x x x x x x x ⎛⎫++++=++++>++= ⎪⎝⎭，故D 正确.ln ln a ba b-<-的证明如下：ln ln a b a b -<-，只需证ln ln ln aa b b -=⇔=1x =>，只需证12ln x x x <-，1x >，设1()2ln n x x x x=-+，1x >，则()22221(1)10x n x x x x-'=--=-<，可得()n x 在(1,)+∞上单调递减，∴1()(1)02ln n x n x x x<=⇒<-，得证.故选：ABD【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(35)P X <<的值为__________.【答案】0.3##310【解析】【分析】根据正态分布的性质求得(7)P X ≥，根据正态分布的对称性求出(3)0.2P X ≤=，继而可求得答案.【详解】由题意知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(7)10.80.2P X ≥=-=，故(3)0.2P X ≤=，故(35)0.5(3)0.50.20.3P X P X <<=-≤=-=，故答案为：0.314.已知52323a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为__________.【答案】270【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：27015.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的内切球的体积为__________.【答案】9π2【解析】【分析】根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，即可求得圆锥的高，继而利用圆锥的母线和高之间的夹角的正弦求得内切球半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥内切球的半径为R ，则π515π,3r r ⨯⨯=∴=，则圆锥的高为22534h =-=，设圆锥的母线和高之间的夹角为π,(0,)2θθ∈，则33sin ,452R R R θ==∴=-,故该圆锥的内切球的体积为3439ππ(322⨯=，故答案为：9π216.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.3【解析】【分析】由题意求出22||b PF a =，结合双曲线定义以及角平线性质推出1||2AF a =，从而推出1222cos 2cPF F b a a ∠+=，在1AOF △中，利用余弦定理可求得4224340a a c c -+=，结合齐次式求解离心率，即可得答案.【详解】由题意知2(,0)F c ，2PF x ⊥轴，故将x c =代入22221x ya b-=中，得22221c y a b -=，则2b y a =±，即22||b PF a=，不妨设P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -=，故21||2b PF a a=+；设PQ 为12F PF ∠的平分线，由题意知2F A PQ ⊥，则2||||PA PF =，即2||b PA a =，而211||||||2b PF PA AF a a=+=+，故1||2AF a =，由点A 在圆222:O x y a +=上，得||OA a =；又1||OF c =，则1221212c ||os 2||F F PF b c PF F a a∠=+=，在1AOF △中，222111112||||||2||||cos OA OF AF OF AF PF F =+-⋅∠,即222224222ca c a c ab a a=+-⋅⋅⋅+，结合222b c a =-，即得4224340a a c c -+=，即42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍），故3e =，即C 33【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出,,a b c 之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在1AOF △中，利用余弦定理求出,,a b c 的关系，化为齐次式，即可求得答案.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点2⎫⎪⎪⎭.（1）求C 的标准方程；（2）过点()1,0-的直线l 与C 交于,A B 两点，当165AB =时，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）y =或y =-【解析】【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆经过的点，列出方程组，解之即可求解；（2）易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212,x x x x +，根据弦长公式化简可得2212(1)34k AB k +=+，结合165AB =计算求出k 的值即可求解.【小问1详解】由题意，222222212()21c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，即y kx k =+，()()1122,,,A x y B x y ，22143y kx kx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=，22222(8)4(34)(412)990k k k k ∆=-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，2212(1)34k AB k+==+，又165AB=，所以2212(1)16534kk+=+，解得k=，所以直线l的方程为yy=-.18.在①()()21212n n nS S a n-+=+≥，②1na=+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知正项数列{}n a的前n项和为1,1nS a=，且__________，*Nn∈.（1）求{}n a的通项公式；（2）设11,n nn nb Ta a+=为数列{}n b的前n项和，证明：12nT<.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）21na n=-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若选择①，根据n a和n S的关系得到12n na a+-=，确定等差数列得到通项公式；若选择②，根据n a和n S的关系得到12n na a+-=，确定等差数列得到通项公式；（2）确定11122121nbn n⎛⎫=-⎪-+⎝⎭，再根据裂项求和法计算得到答案.【小问1详解】若选择①：()()21212n n nS S a n-+=+≥，则()21121n n nS S a+++=+，相减得到：()()()1112n n n n n na a a a a a++++=+-，0na>，故12n na a+-=，()122221S S a+=+，解得23a=，212a a-=，故数列{}n a为首项是1，公差为2的等差数列，故21na n=-；若选项②：1na=+，则()241n nS a=+，()21141n nS a++=+，相减得到：()()2211411n n n a a a ++=+-+，整理得到()()1120n n n n a a a a +++--=，0n a >，故120n n a a +--=，故数列{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，故21n a n =-；【小问2详解】()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，故()21111111112335212122211n T n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪-++⎝<⎭ .19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-.（1）求cos B ；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D，且BD =，若b =ABC 的面积.【答案】（1）13-（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得cos B ，即得答案；（2）根据同角三角函数关系求出sin 3B =，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，由二倍角余弦公式求出cos 3θ=，利用等面积法推出()32a c ac +=，结合余弦定理即可求得12ac =，从而利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】由题意cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-可得sin cos sin cos 3sin cos 3sin B C C B B A C +=-，即sin()3sin cos 3sin()B C B A A B +=-+,即sin 3sin cos 3(sin cos cos sin )3sin cos A B A A B A B A B =-+=-，而(0,π),sin 0A A ∈∴>，故1cos 3B =-；【小问2详解】由(0,π)B ∈，1cos 3B =-可得sin 3B =，角B 的平分线交AC 边于点D ，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，则213cos 2cos 1cos 33B θθ=-=-∴=，111sin sin sin 2222ABC S c a ac θθθ=⋅+=⋅ ，()32323ac a c ac =⋅∴+=，由b =22212483b a c ac ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，即()24483a c ac +-=，则()()224448,129093a c ac ac ac -=∴-+=，则12ac =（负值舍去），故21s in 11232ABC ac B S =⨯⨯== 20.设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X 表示最后摸出的2个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）4495（2）分布列见解析，24475【解析】【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.（2）确定X 的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.【小问1详解】从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为223225C C 2C 5P +==，记事件A 为最后摸出的2个球颜色不同，事件B 为这2个球是从丙箱中摸出的，则()()()|P AB P B A P A =，()111111113342222665661242C C C C C C C C 21433855C 5C 55C 5C 7523P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭，()111143223663C C C C 2148855C 5C 375P AB ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以()8844375|389575P B A ==；【小问2详解】X 的所有可能取值为2，3，4，则()222342226662C C C 214333255C 5C 55C 25P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()38375P X ==，()2222322542226666C C C C 2143228455C 5C 55C 5C 753P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列如表：X 234P32538752875故()33828181141122442342575757575E X ++=⨯+⨯+⨯==.【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 是锐角三角形，PA BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC .（1）求证：AB BC ⊥；（2）设2,4PA PB AC ===，点D 在棱BC （异于端点）上，当三棱锥-P ABC 体积最大时，若二面角C PAD --大于30 ，求线段BD 长的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）46(0,9【解析】【分析】（1）过点P 作PE AB ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥平面ABC ，进而证得BC ⊥平面PAB ，即可得到BC AB ⊥；（2）设2,2AB a BC b ==，得到22(4)3P ABC V a a -=-，令()22(4)3f a a a =-，利用导数求得函数的单调性，得到233a =时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，建立空间直角坐标系，设BD m =，求得平面CPA 与PAD 的法向量分别为12,1)n = 和246(2,1)3n m= ，结合向量的夹角公式和题设条件，列出不等式，求得m 的取值范围即可.【小问1详解】证明：过点P 作PE AB ⊥于点E ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，且PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又因为PA BC ⊥，且PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.【小问2详解】解：设2,2AB a BC b ==，因为BC AB ⊥，可得222AB BC AC +=，即224416a b +=，所以224a b +=，所以b =，又由PE ==所以2112222(4)3233P ABC V a b a a -=⨯⨯⨯==-，令()22(4)3f a a a =-，可得()22(43)3f a a '=-，令()0f a ¢=，解得233a =，当03a <<时，()0f a '>，()f a 单调递增；当23a <<时，()0f a '<，()f a 单调递减，所以当3a =时，即,33AB BC ==时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，,BC BA 所在的直线分别为,x y 轴，以过点B 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BD m =，可得4643232643(,,0),(0,,(,33333CA PA DA m =-=-=- ，则(,0,0),(,0,0),(0,,(0,,0)3333D m C P A ，设平面CPA 与平面PAD 的法向量分别为11112222(,,),(,,)n x y z n x y z == ，由11114643033033x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1y =，可得111,1x z ==，所以1n = ，又由2222232603303y z mx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1y =，可得22,13x z m ==，所以2()3n m = ，设二面角C PA D --的平面角的大小为θ，所以12123cos cos302n n n n θ⋅===，解得09m <<，所以BD 的长的取值范围为(0,9.22.已知函数()2e 32sin 1,xf x a ax x a =-+-∈R .（1）当01a <<时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当0x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值.【答案】（1）38（2）2a =或1a =【解析】【分析】（1）求出曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程，然后求出与x 轴，y 轴的交点，表示出切线与两坐标轴围成的三角形面积，然后利用导数求最大值即可；（2）令()00f '=求出a 的值，然后验证a 的值使函数()f x 在0x =处取到极值.【小问1详解】由已知()2e 32cos xf x a a x '=-+，01a <<则()2320f a a '=-+，()201f a =-，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()22321y a a x a =-++-，01a <<当0x =时，21y a =-，当0y =时，12a x a +=--，设线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为()h a ，则()()221111112222a a a a a a h a ++=-=-⋅--，01a <<()()()()()()()()()23222321211213112222h a a a a a a a a a a a a +---+-∴-+-=⋅=--'-，令()0h a '>，则102a <<，即()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0h a '<，则112a <<，即()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 111132112481222h a h +⎛⎫=-⋅= ⎪⎛⎫= ⎪-⎝⎝⎭⎭，即曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值为38；【小问2详解】由（1）()2e 32cos x f x a a x '=-+，因为当0x =时，函数()f x 取得极值，得()20032f a a '=-+=，解得2a =或1a =，当2a =时，()4e 62cos x f x x '=-+，设()()4e 62cos xg x f x x '==-+，则()4e 2sin x g x x -'=，令()()4e 2sin xr x g x x =-'=，则()4e 2cos x r x x -'=，明显()4e 2cos x r x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()02r x r ''∴>=，即()4e 2sin x g x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()4g x '∴>，即()4e 62cos x f x x '=-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()4620f x '∴>-+=，即函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增又明显()4e 2sin 0x g x x -'=>在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则()4e 62cos x f x x '=-+在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ''∴<=，即函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，当1a =时，()e 32cos x f x x '=-+，设()()e 2cos 3xt x f x x '=+-=，则()e 2sin xt x x -'=，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，明显()0t x '>，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为e 1,sin x x x x ≥+≥，()()()e 2sin 12sin sin 1sin 0x t x x x x x x x '∴-=≥+=-+-≥-()e 2sin 0x t x x -'∴=≥在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()e 32cos x f x x '∴=-+在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又()00f '=，∴函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，故2a =或1a =.现证明e 1x x ≥+，设()=e 1x m x x --，则()=e 1xm x '-，令()0m x '>，得0x >，()m x 在()0,∞+上单调递增，令()0m x '<，得0x <，()m x 在(),0∞-上单调递减，()()00m x m ∴≥=，即e 1x x ≥+，现证明πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭，设()sin n x x x =-，则()1cos 0n x x ='-≥在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立即()n x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()00n x n ∴≥=，即πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭.。
四川省遂宁市遂宁中学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题(含答案)
遂宁中学校介福校区高2027届高一（上）半期适应性考试数学试卷满分：150分，时间：120分钟一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.a2＋b22B.ab C. a＋b2D.2aba＋b二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共计15分.四、解答题 本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(13分).已知集合.(1)当时，求；(2)若，求的取值范围.16．(15分)(1)已知5≤a ≤6，1≤b ≤2，且a －2b 的取值范围是m ≤a －2b ≤n, 若x ＞0，y ＞0，mx ＋ny ＝1，求3xy 的最大值;(2)已知一元二次不等式x 2－5x ＋4≤0的解是m ≤x ≤n,且x ＞0，y ＞0，mx ＋ny ＝1，求1x ＋4y 的最小值.17．(15分已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，．(1)画出函数的图象； (2)求函数的解析式（写出求解过程）．(3)求，的值域．()(){|22},{|340}A x m x m B x x x =-<<+=+-<4m =A B ⋂B B A =⋃m ()f x 0x ≤()22f x x x =--()y f x =()()f x x ∈R ()y f x =[]4,2x ∈-果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？19.（17分）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.(1)求，的值；(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；(3)若对任意的，恒成立，求实数a 的取值范围.()f x R x y ()()()f x y f x f y +=()0f x ≠0x >()1f x >()29f =()1f ()3f ()f x R R x ∈()()()2223534f x a a f x f x -+≥--遂宁中学校介福校区高2027届高一（上）半期适应性考试数学参考答案一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有三、填空题:12．13．14．①③④四、解答题 本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（1）由得，所以............................................5分（2）由得，当，则；当，则；综上， (13)解：(1)因为5≤a ≤6，1≤b ≤2，所以2≤2b ≤4，则1≤a －2b ≤4，所以m ＝1，n ＝4...........................................................................................................3分则x ＋4y ＝1，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋4y ＝1≥24xy ，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12 , y ＝18时等号成立，分所以1x ＋4y ＝(x ＋4y ）( 1x ＋4y ）＝17＋4yx ＋4xy .因为x ＞0，y ＞0，所以4yx ＋4xy ≥24y x·4xy＝8，当且仅当4y x ＝4x y ，即x ＝y ＝15时等号成立，),1()2,(+∞--∞ 3-4=m {|26},{|34}A x x B x x =-<<=-<<{|24}A B x x =-<< B B A =⋃A B ⊆A =∅220m m m -≥+⇒≤A ≠∅0230224m m m m >⎧⎪-≥-⇒<≤⎨⎪+≤⎩2m ≤，再作出其关于原点对称的图，19解：（1）由，则，又当时，，则，；................................4分（2）令，则，即，当时，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，则，所以，即在上单调递增；................................................................................10分（3）由已知，又由（1）得，.所以，又函数在上单调递增，则恒成立，所以恒成立，又，即，解得. .......................17分()()()f x y f x f y +=()()()221191f f f =+==0x >()1f x >()13f =()()()()312123927f f f f =+=⋅=⨯=0y =()()()00f x f x f +=⋅()01f =0x <0x ->()1f x ->()()()()1f x x f x f x +-=⋅-=()()10f x f x =>-()0f x >R ()()()f x y f x f y +=()()()y f x y f f x +=1x x y =+2x x =12x x >120x x ->()()()11221f x f x x f x =->()()12f x f x >()f x R ()()()()2223534349f x a a f x f x f x -+≥--=-()13f =()()()()()22234914948f x a a f x f f x f x -+≥-=-=-R 22248x a a x -+≥-22248x x a a -+≥-()222482166x x x -+=-+≥26a a -≤23a -≤≤。
四川省遂宁市2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题含解析
高2023级高一上期半期考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题（本题共8小题共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则A B = （）A.{}1,2,4B.{}1,2C.{}1,2,3,4 D.{}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】【分析】根据交集的运算，即可得出答案.【详解】根据交集的运算可得，{}{}{}0,1,2,31,2,41,2A B ⋂=⋂=.故选：B.2.“5x >”是“3x ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】比较两个不等式表示范围的大小，即可得出答案.【详解】因为5x >所表示的范围要小于3x ≥所表示的范围，所以，“5x >”是“3x ≥”的充分不必要条件.故选：A .3.命题“0,10x x ∀>+≥”的否定是（）A.0,10x x ∃≤+< B.0,10x x ∃>+<C.0,10x x ∃≤+≥D.0,10x x ∀>+<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解.【详解】命题“0,10x x ∀>+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“0,10x x ∀>+≥”的否定是：0,10x x ∃>+<.故选：B4.已知幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则()3f =（）A.5B.6C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求()3f 的值【详解】由题意令()f x x α=，由于图象过点()2,4，得24α=，2α=，所以()2f x x =，得()2393f ==故选：D5.已知0x >，则4x x+的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】直接由基本不等式运算即可.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，即4x x +的最小值为4，当且仅当20x =>时，等号成立.故选：D.6.下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A.y x x =B.1y x =+ C.23y x = D.1y x=【答案】A 【解析】【分析】先求出函数的定义域，代入x -，判断奇偶性；然后根据函数的形式，判断得出单调性，即可得出答案.【详解】对于A 项，设()f x x x =，定义域为R ，且()()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.当0x ≥时，()2f x x =在[)0,∞+上单调递增，且()0f x ≥；当0x <时，()2f x x =-在(),0∞-上单调递增，且()0f x <.所以，()f x 在定义域上为增函数.故A 项正确；对于B 项，设()1g x x =+，定义域为R ，且()()1g x x g x -=-+≠-，所以，()g x 不是奇函数.故B 项错误；对于C 项，设()23h x x =，定义域为R ，且()()23h x x h x -==，所以，()h x 为偶函数，不是奇函数.故C 项错误；对于D 项，设()1k x x=，定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()11k x k x x x-==-=--，所以()k x 为奇函数.又()k x 在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递减，故D 项错误.故选：A.7.已知()f x 是定义在()22-，上的单调递减函数，且()()232f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（）A.()04， B.()1+∞， C.1522⎛⎫⎪⎝⎭， D.512⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a 的取值范围.【详解】∵()f x 是定义在()22-，上的单调递减函数，且()()232f a f a -<-，则2322222232a a a a ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得512a <<故选：D..8.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，对于()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有()()1221210x f x x f x x x ->-，()216f =，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00f =，则不等式()80f x x ->的解集为（）A.()(),22,∞∞--⋃+ B.1,00,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C.()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.()1,02,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式【详解】设120x x <<，因为()()1221210x f x x f x x x ->-，所以()()12210x f x x f x ->，即()()2121f x f x x x >，令()()f x g x x=，则有120x x <<时，()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上为增函数，由题知()f x 为定义在R 上的偶函数，易知()()f x g x x=为奇函数且在(),0∞-上为增函数，因为()216f =，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()(2)282f g ==，1()128122f g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以11822g g ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0x =时，()8000f x x -=-=，不等式不成立，当0x >时，()80f x x ->等价于()8f x x >，即()(2)g x g >，则2x >，当0x <时，()80f x x ->等价于()8f x x <，即1()(2g x g <-，则12x <-综上所述：等式()80f x x ->的解集为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选：C.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．9.设a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.0a b ->B.33a b > C.a b> D.a c b c>【答案】AB 【解析】【分析】根据不等式性质判断A 、B ；C 、D 选项举出反例即可.【详解】对于A ，由0a b a b >⇔->，故A 对；对于B ，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为a b >，所以0a b ->，得330a b ->，故B 对；对于C ，若1a =，2b =-，a b <，故C 错；对于D ，当0c =时，a c b c =，故D 错.故选：AB10.与y x =表示同一个函数的是（）A.y =B.2y =C.,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩ D.2x y x=【答案】AC 【解析】【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.【详解】y x =定义域为R ，且,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩.对于A ：y x ==，定义域也为R ，故A 正确；对于B ：2y =的定义域为[)0,∞+，定义域不一样，故B 错误；对于C ：,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩，定义域与解析式都相同，故C 正确；对于D ：2x y x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，定义域不一样，故D 错误；故选：AC.11.下列说法正确的是（）A.函数()f x =(),2-∞B.函数()21x f x x -=+的值域为[)2,1-C.若()f x 定义在R 上的幂函数，则()()011f f -=-D.若()g x 是奇函数，则一定有()00g =【答案】BC 【解析】【分析】求出()f x 的定义域即可判断A ；利用分离常数法求值域判断B ；利用幂函数的性质求值判断C ；利用奇函数的定义结合举例判断D.【详解】由240x x -≥，解得04x ≤≤，可知当0x <时，函数()f x 无意义，故A 错误；()21113x f x x x -==-++，∵0,11x x ≥+≥，∴0133x <≤+，∴()21f x -≤<，即函数()f x 的值域为[)2,1-，故B 正确；若()f x 定义在R 上的幂函数，则()()00,11f f ==，得()()011f f -=-，故C 正确；若()g x 是奇函数，令()1g x x=，是奇函数，但函数在0x =处无意义，故D 错误.故选：BC.12.已知函数()22x f x x =+，下面四个结论中正确的是（）A.()f x 的值域为0,2⎡⎢⎣⎦B.()f x 是偶函数C.()f x 在区间()0,∞+上单调递增D.()f x 的图像与()14g x =的图像有4个不同的交点【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的性质逐个判定即可.【详解】易得()f x 的定义域为R ，因为()()()2222xx f x f x x x --===+-+，所以()f x 为偶函数，B 正确；对于A ：当0x =时()0f x =；当0x >时()2122x f x x x x==++，由对勾函数性质可知0x >时2x x+≥x =所以()124f x x x ⎛=∈ ⎝⎦+，因为()f x 为偶函数，所以0x <时()4f x ⎛∈ ⎝⎦，所以()f x的值域为0,4⎡⎢⎣⎦，A 错误；对于C ：由A 可知()0,x ∈+∞时()12f x x x=+，由对勾函数性质可知在(上单调递增，在)+∞单调递减，所以C 错误；对于D ：当()0,x ∈+∞时()22x f x x =+，令2124x x =+，则2420x x -+=，此时16880∆=-=>，所以方程有两个不同的根，又因为12122040x x x x =>⎧⎨+=>⎩，所以方程有两个不同的正根，因为()f x 为偶函数，所以当(),0x ∈-∞时也有两个负根，所以()f x 的图像与()14g x =的图像有4个不同的交点，D 正确，故选：BD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合{}22,1M x =-，且0M ∈，则实数x =______．【答案】1±【解析】【分析】根据元素与集合的关系即得【详解】因为0M ∈，且{}22,1M x =-，所以210x -=得1x =±，当1x =±时，{}2,0M =符合互异性.所以1x =±.故答案为：1±14.若2(1)2f x x x +=-，则()f x =________．【答案】243x x -+【解析】【分析】利用换元法结合条件即得.【详解】令1t x =+，则1x t =-，所以22()(1)2(1)43f t t t t t =---=-+，即2()43f x x x =-+.故答案为：243x x -+.15.已知命题“2R,10x ax ax ∀∈-+≥”是真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]0,4【解析】【分析】根据真命题得到不等式恒成立，求出参数的取值范围即可.【详解】因为命题“2R,10x ax ax ∀∈-+≥”是真命题，所以210ax ax +≥-恒成立，①当0a =时不等式恒成立，所以0a =符合要求；②当0a ≠时，要使得210ax ax +≥-恒成立，则200Δ040a a a a >>⎧⎧⇒⎨⎨≤-≤⎩⎩，解得04a <≤，综上可知[]0,4a ∈，故答案为：[]0,416.已知函数()3221xf x x x =+++，若[]1,2a ∃∈，使得()()2634f x ax f a x --+->有解，则实数x 的取值范围为______．【答案】()(),03,-∞+∞ 【解析】【分析】根据题意先构造()()32R 1xg x x x x =+∈+，可得()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，即可由()()2634f x ax f a x --+->得()2360a x x x -+-->，将()236y a x x x =-+--看作为关于a 的一次函数，结合[]1,2a ∃∈，()2360a x x x -+-->有解，根据一次函数的单调性分类可得x 的取值范围.【详解】由()()2634f x ax f a x --+->得()()26223f x ax f a x --->--，设()()()322R 1x g x f x x x x =-=+∈+则()()321xg x x g x x --=-+=+故()g x 为奇函数，由()()2634f x ax f a x --+->得()()26223f x ax f a x --->--，即()()()2633g x ax g a x g x a -->--=-，当0x >时，()3322211x g x x x x x =-+=+++，根据3y x =在()0,∞+单调递增，221x y -+=+在()0,∞+单调递增，故()g x 在()0,∞+单调递增，又()g x 为奇函数，故()g x 在R 上单调递增，故由()()263g x ax g x a -->-得263x ax x a -->-即()2360a x x x -+-->，由题意[]1,2a ∃∈使得()2360a x x x -+-->有解，当30x -=时，()2360a x x x -+--=，不符合题意；当30x ->即3x <时，()22360x x x -+-->，解得0x <或3x >，故0x <；当30x -<即3x >时，()21360x x x ⨯-+-->，解得1x <-或3x >，故3x >，综上可得实数x 的取值范围为()(),03,-∞+∞ ，故答案为：()(),03,-∞+∞ 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()f x =+的定义域为集合A ，集合()(){}230B x x x =-+>．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}23x x -<≤（2）{2x x ≤-或}2x >【解析】【分析】（1）直接根据二次根式、分式有意义的条件即可求解.（2）先求出集合B ，再根据补集、并集的定义即可求解.【小问1详解】因为函数()f x =的定义域为集合A ，则30020x x -≥⎧≠+≥⎩，解得23x -<≤，即集合{}23A x x =-<≤．【小问2详解】因为()(){}{2303B x x x x x =-+>=<-或}2x >，{}23A x x =-<≤，所以，{R 2A x x =≤-ð或}3x >，则(){R 2A B x x ⋃=≤-ð或}2x >．18.已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若()2f a =，求a 的值；【答案】（1）5；（2）0.【解析】【分析】（1）根据自变量的范围选择相应的解析式可求得结果;（2）按照三种情况1,12,2a a a ≤<<≥,选择相应的解析式代入解方程可得结果.【小问1详解】1152222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，552522f ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭,故152f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当1a ≤时,()22f a a =+=,解得0a =,成立;当12a <<时,2()2f a a ==,解得a =或a =(舍);当2a ≥时,()22f a a ==,解得1a =,不成立，a ∴的值为0.19.已知集合{}{}11,13A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，从以下两个条件中任选一个，补充到第（2）问的横线处，求解下列问题．①A B B ⋃=；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若______，求实数a 的取值范围．【答案】19.{}13A B x x ⋃=-≤≤20.选①②，答案均为[]0,2【解析】【分析】（1）根据并集概念求出答案；（2）若选①，根据并集结果得到A B ⊆，从而得到不等式组，求出实数a 的取值范围；若选②，得到A ⫋B ，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，集合{}{}13,13A x x B x x =≤≤=-≤≤，所以{}13A B x x ⋃=-≤≤；【小问2详解】若选择①A B B ⋃=，则A B ⊆，因为11a a -<+恒成立，故A ≠∅，又{}13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择②，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A ⫋B ，因为11a a -<+恒成立，故A ≠∅，又{}13B x x =-≤≤，所以1113a a ->-⎧⎨+≤⎩或1113a a -≥-⎧⎨+<⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2．20.已知函数()1f x a x=-.（1）若()()()1g x x f x =+为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，试判断()g x 在[]1,3上的单调性并用定义法给出证明，写出此时()g x 的值域.【答案】（1）1（2）单调递增，证明见解析，80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用函数为奇函数的性质()()0g x g x -+=求解即可；（2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域.【小问1详解】因为()()()()111g x x f x x a x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且为奇函数，所以()1()()(10)11g x x g x x a x a x ⎛⎫-+=-+⎛⎪⎫+-= + ⎝⎭⎪⎭+⎝，所以11(11)0x x a x x x x-++-++++-=，即220a -=，解得1a =.【小问2详解】由（1）知，211()(1)1x g x x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，()g x 在[]1,3上单调递增，证明如下：设12,[1,3]x x ∀∈，且12x x <，则()()22211221212112111()()x x x x x x g x g x x x x x -+---=-=，因为1213x x ≤<≤，所以120x x >，210x x ->，1210x x +>，所以21()()0g x g x ->，即21()()g x g x >，所以()g x 在[]1,3上单调递增.由()g x 的单调性可知，()(1)(3)g g x g ≤≤，即()803g x ≤≤，所以()g x 的值域为80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.已知函数()()21f x x a x a =-++.（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）若()20f x x +≥在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(-∞，1） （2，)∞+.（2）(,3⎤-∞+⎦.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）原不等式等价于20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，分离参数得21x x a x +≤-，令1(0)t x t =->，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.解：当2a =时，则2()32f x x x =-+，由()0f x >，得2320x x -+>，令2320x x -+=，解得1x =，或2x =，∴原不等式的解集为(-∞，1） （2，)∞+；【小问2详解】解：由()20f x x +≥即20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，从而有：21x x a x +≤-，令1(0)t x t =->，则22(1)12331x x t t t x t t++++==++≥+-t =时取等号，∴3a ≤+故实数a的取值范围是(,3⎤-∞⎦.22.若在函数()f x 的定义域内存在区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上单调，且函数值的取值范围是[],ma mb （m 是常数），则称函数()f x 具有性质M ．（1）当12m =时，函数()f x =M ?若具有，求出a ，b ；若不具有，说明理由；（2）若定义在()0,2上的函数()45f x x x =+-具有性质M ，求m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x =M ，0,4.a b =⎧⎨=⎩（2）19,216⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得1212a b ==，解得即可；（2）首先将()f x 写出分段函数，再分[](),0,1a b ⊆和[][),1,2a b ⊆两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当[][),1,2a b ⊆时，得到()2451f x m x x x==-+-在[)1,2上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.解：因为()f x =[)0,∞+上单调递增，所以()f x =[],a b上的函数值的取值范围是，即1212a b ==，显然0a b ≤<，所以04a b =⎧⎨=⎩，故函数()f x =M ．【小问2详解】解：()45,014545,12x x x f x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪=+-=⎨⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为4y x x=+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，当[](),0,1a b ⊆时，()f x 单调递减，∴()()f a mb f b ma ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4545a b a a b b +-=+-，整理得()()50a b a b -+-=，∵5a b +=与[](),0,1a b ⊆矛盾，∴当[](),0,1a b ⊆时，不合题意．当[][),1,2a b ⊆时，()f x 在[)1,2单调递增，∴()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，知()f x mx =在[)1,2上有两个不等实根，即()2451f x m x x x==-+-在[)1,2上有两个不等实根，令11,12t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()2451h t t t =-+-，由1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，59816h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10h =，知19216m <<，。
陕西省西安市莲湖区2024—-2025学年七年级上学期11月期中数学试题
陕西省西安市莲湖区2024—-2025学年七年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作5-步，那么向南走7步记作（）A ．7+步B ．7-步C ．12+步D ．2-步2．下列各组中的两个数互为倒数的是（）A ．23和32B ．58和58-C ．517和715D ．12和0.53．若()22024205-⨯⨯ 的运算结果为正数，则□内的数字可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-4．下列几何体中，是棱柱的是（）A ．B ．C ．D ．5．相关数据显示，我国基本医保年度参保率稳定在95％左右，参保人数超13.3亿人．将数据“13.3亿”用科学记数法表示为（）A ．713310⨯B ．813.310⨯C ．91.3310⨯D ．101.3310⨯6．52-表示的意义是（）A ．5个2相乘的相反数B ．5个2-相乘C ．2个5相乘的相反数D ．2个5-相乘7．在式子2a +，58b -，2x ，27x y -，3m ，单项式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要11根火柴棒；第3个图形需要16根火柴棒；……按照这个规律，第n 个图形需要火柴棒的根数是（）A ．6nB ．42n +C ．54n -D ．51+n 二、填空题9．一个直角三角形绕其直角边旋转一周得到的几何体是．10．一辆小汽车每小时行驶a 千米，高铁的速度比它的3倍多10千米，则高铁的速度是每小时行驶千米．（用含a 的式子表示）11．塔克拉玛干沙漠是中国最大的沙漠，昼夜温差大．某科学考察队测得其夏季某天中午的最高温度是零上62℃，当天晚上的最低温度是零下8℃，这一天中的温差是℃．12．用四舍五入法把2.496精确到0.01，结果为．13．一个圆柱体的高为6cm ，底面半径为2cm ，若其截面是长方形，则这个长方形面积最大为2cm ．三、解答题14．计算：61039-+-+-．15．计算：()()2133442-+-⨯-÷．16．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为刹车距离．某车的刹车距离()m s 与车速．()km h x 之间的关系式是20.010.002s x x =+，若该车以100km h的速度行驶，求该车的刹车距离．17．已知37a b -=，求83b a +-的值．18．若()2520a b ++-=，求ab 的值．19．若a 是最大的负整数，b 是最小的正整数，c 的相反数是它本身，求2025a b c +-的值．20．一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：cm ），a ，b ，c 分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知5cm c =，求该长方体包装盒的体积．21．把下列各数填在相应的括号里．5-，0.12，0，6，36%，73-，23，112-．正数：{___________________...}；分数：{___________________…}；整数：{___________________…}．22．已知有四个有理数，分别是3-，0，112，4.5．(1)请把这四个有理数在数轴上表示出来．(2)用“<”把这四个数连接起来．23．如图，这是由6个相同的小正方体搭成的几何体（从正面看到的图形已给出）．(1)请在方格中画出该几何体从左面和上面看到的图形．(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面看到的图形不变，最多可以再添加______个小正方体．24．如图，这是一套住宅的建筑平面图（单位：m ）．(1)这套住宅的建筑面积为_______2m ．（用含x ，y 的式子表示）(2)该住宅的销售价格为1.5万元/2m ，当6x =，4y =时，求该套住宅的总价．25．学生食堂购进了20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如下表．每袋与标准质量的差/千克3-2- 1.5-02 2.5袋数134354(1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻__________千克．(2)与标准质量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？(3)若土豆每千克的售价为2元，则买这20袋土豆共需多少钱？26．已知多项式24325m n mn --的二次项系数为a ，项数为b ，次数为c ，如图，在数轴上，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，点C 表示的数为c ．(1)填空；a =________，b =__________，c =_______．(2)若将该数轴对折，使得对折后点A 与点C 重合，求折叠后与点B 重合的点所表示的数．(3)有一电子蟋蟀落在数轴上的点A 处，第1步向右跳一个单位长度，第2步向左跳2个单位长度，第3步向右跳3个单位长度，第4步向左跳4个单位长度，……按以上规律跳了2025步后，求电子蟋蟀最终落在数轴上的点所表示的数．。
山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一上学期11月期中考试 数学含解析
2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一数学试题（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1x M y y x ==≤，{N x y ==，则M N ⋃等于（）A .∅B.{}2 C.[]0,2 D.(],2-∞2.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，命题p ：“函数()f x 的最小值为3”，则p ⌝是（）A.对任意x ∈R ，都有()3f x <B.存在x ∈R ，使得()3f x <C.对任意x ∈R ，都有()3f x ≠D.“‘存在x ∈R ，使得()3f x <’或‘对任意x ∈R ，都有()3f x ≠’”3.如图所示是函数mn y x =（m 、*n ∈N 且互质）的图象，则（）A.m ，n 是奇数且1m n< B.m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C.m 是偶数，n 是奇数，且1m n> D.m ，n 是偶数，且1m n>4.若函数()2211y x a x =+-+在区间()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.函数()2333x xx f x -=+的图象大致是（）A. B.C. D.6.已知函数()3xy f =的定义域为[]1,2，则函数()12f x y x +=-的定义域为（）A.[)1,1- B.[]0,1 C.(]2,8 D.[)(]0,22,3 7.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A .16小时B.20小时C.24小时D.28小时8.已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122023202320222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A.40452B.40432C.2021D.0二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．9.若非空集合M ，N ，P 满足：M N N ⋂=，M P P = ，则（）A.⋃=N P PB.P M⊆ C.N P N=∩ D.()P N M =∅ð10.若0a b a >>>-，0c d <<，则下列结论正确的是（）A.ad bc <B.0a d d c+> C.a c b d->- D.()()a d cb dc ->-11.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为()R 1,Q0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B.x ∀∈R ，()()1f f x =C.11|()|()22x f x x f x ⎧⎫⎧⎫<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭D.对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=12.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()2f x g x ax x +=-，若对于任意122x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.2- B.1C.2D.0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________.x 1234f(x)1313g(x)323214.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_________15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()f x 在()0,x ∈+∞单调递增；③()f x 是偶函数．16.已知a b >，c d >，设不等式()()0x a x b x ---<的解集为{}x d x c <<，则不等式()()0x c x d x --+>的解集为______．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知()()11f x a x x=++（a R ∈）．（1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；（2）若[]2,4x ∈时，()0f x =有实数解，求a 的范围．18.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[]3,43=，[]4,25-=-，不等式516x +<≤的解集为A ，不等式2 23200x x --≤的解集为B ．（1）求A B ⋃，()R A Bð（2）已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求44a a b+的最小值．19.已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合50x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭．（1）设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1}，且C ⊆（A ∩B ），求a 的取值范围：（2）设m 为实数，集合2112022D x x m x m m ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-+++≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，若x ∈（A ∪B ）是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．20.已知函数()131xm f x =+-（R m ∈）（1）判断函数()f x 在(),0∞-内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()()g x xf x =为偶函数？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式：讨论()g x 的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．22.设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已1416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且01x <<时，()0f x >（1）求()1f 与12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递减；（3）解不等式()131222f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1x M y y x ==≤，{N x y ==，则M N ⋃等于（）A.∅B.{}2 C.[]0,2 D.(],2-∞【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质求值域可得集合M ，根据函数定义域求解一元二次不等式得集合N ，再根据并集的概念运算即可.【详解】由于函数2x y =在(],1-∞上递增，所以当1x ≤时，02y <≤，即(]0,2M =又函数y =的定义域满足20x x -≥，解得01x ≤≤，故[]0,1N =，所以M N ⋃=[]0,2.故选：C.2.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，命题p ：“函数()f x 的最小值为3”，则p ⌝是（）A.对任意x ∈R ，都有()3f x <B.存在x ∈R ，使得()3f x <C.对任意x ∈R ，都有()3f x ≠D.“‘存在x ∈R ，使得()3f x <’或‘对任意x ∈R ，都有()3f x ≠’”【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定即可求解.【详解】命题p ：“函数()f x 的最小值为3”是一个全称命题，故其否定是一个特称命题.所以p ⌝是函数()f x 的最小值不是3，即“存在x ∈R ，使得()3f x <”或“对任意x ∈R ，都有()3f x ≠”.故选：D.3.如图所示是函数mn y x =（m 、*n ∈N 且互质）的图象，则（）A.m ，n 是奇数且1m n< B.m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C.m 是偶数，n 是奇数，且1m n> D.m ，n 是偶数，且1m n>【答案】B 【解析】【分析】根据图象得到函数的奇偶性及()0,∞+上单调递增，结合m 、*n ∈N 且互质，从而得到答案.【详解】由图象可看出m ny x =为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，故()0,1mn∈且m 为偶数，又m 、*n ∈N 且互质，故n 是奇数.故选：B4.若函数()2211y x a x =+-+在区间()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数性质运算求解即可【详解】因为函数()2211y x a x =+-+开口向上，对称轴为12x a =-，若函数()2211y x a x =+-+在区间()2,+∞上是增函数，则122a -≤，所以32a ≥-，故实数a 的取值范围是3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；故选：A ．5.函数()2333x xx f x -=+的图象大致是（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到函数()f x 为偶函数，且当0x >时，()0f x >，结合选项，即可求解.【详解】由函数()2333x x x f x -=+，可得其定义域为R ，且()()223()33333x x x xx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，又由0x >时，()0f x >，结合选项，只有B 项符合题意.故选：B.6.已知函数()3xy f =的定义域为[]1,2，则函数()12f x y x +=-的定义域为（）A.[)1,1- B.[]0,1 C.(]2,8 D.[)(]0,22,3 【答案】C 【解析】【分析】先由函数()3xy f =的定义域得函数()f x 的定义域，从而进一步可求出函数()12f x y x +=-的定义域.【详解】函数()3xy f =的定义域为[]1,2，易知3xy =是增函数，[]1,2x ∈时，[]33,9x∈.所以函数()f x 的定义域为[]3,9.于是函数()12f x y x +=-的定义域为31920x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，即(]2,8x ∈.故选：C.7.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时【答案】C 【解析】【分析】将两组数据代入解析式可得111e 2k=，192e b =，当33x =时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间.【详解】由已知得192e b =①，222248e e e k b k b +==⋅②，将①代入②得221e4k=，则111e 2k=．当33x =时，333331e ee 192242k bkby +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选：C ．8.已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122023202320222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A.40452B.40432C.2021D.0【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求解出,a b 的值，然后分析()1f x f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值特点，从而求解出结果.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，所以()()()222211a xb x ax bx x x -+-+=+-+，所以20bx =且x 不恒为0，所以0b =，()221axf x x =+又因为()112f =，所以122a =，所以1a =，所以()221x f x x =+，又因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111140451220232022120232022222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．9.若非空集合M ，N ，P 满足：M N N ⋂=，M P P = ，则（）A.⋃=N P PB.P M⊆ C.N P N=∩ D.()P N M =∅ð【答案】ACD 【解析】【分析】先根据交集、并集运算的结果得到,N M M P ⊆⊆，然后再逐项进行判断.【详解】因为M N N ⋂=，M P P = ，所以,N M M P ⊆⊆，所以N M P ⊆⊆，对于A ：因为N P ⊆，所以⋃=N P P ，故正确；对于B ：因为M P ⊆，所以P M ⊆不一定成立，故错误；对于C ：因为N P ⊆，所以N P N =∩，故正确；对于D ：因为N M ⊆，()P M M =∅ ð，所以()P N M =∅ ð，故正确；故选：ACD.10.若0a b a >>>-，0c d <<，则下列结论正确的是（）A.ad bc< B.0a dd c+> C.a c b d->- D.()()a d cb dc ->-【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质逐项进行判断.【详解】A ：因为0,0,0,0a b c d ><<<，所以0ad bc <<，故正确；B ：因为2a d ac d d c cd++=，其中2ac d +的正负无法确定，故错误；C ：因为0c d <<，所以c d ->-，所以a c a d ->-，又因为a b >，所以a d b d ->-，所以a c b d ->-，故正确；D ：因为0c d <<，所以0d c ->，又因为0a b >>，所以()()a d c b d c ->-，故正确；故选：ACD.11.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为()R 1,Q0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B.x ∀∈R ，()()1f f x =C.11|()|()22x f x x f x ⎧⎫⎧⎫<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭D.对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值逐项判断即可．【详解】当Q x ∈，则x -∈Q ，所以()()1f x f x -==，当R Q x ∈ð，则R Q x -∈ð，所以()()0f x f x -==，又()f x 的定义域为R ，故()f x 是偶函数，故A 正确；由函数()f x 的值域是{0,1}知道，0,1Q ∈，所以x ∀∈R ，(())1f f x =，故B 正确；由1()2f x <，所以()0f x =，所以R Q x ∈ð，1()2f x >，所以()1f x =，所以Q x ∈，所以11{|()}()22x f x x f x ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭，故C 错误；因为2Q x ∈，所以当1Q x ∈时，12Q x x +∈，()()1211f x x f x +==当1x ∈R Q ð时，12R Q x x +∈ð，()()1210f x x f x +==，故对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()2f x g x ax x +=-，若对于任意122x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.2-B.1C.2D.0【答案】BC 【解析】【分析】结合函数奇偶性得到()2g x ax =，题目条件变形后得到()()112244g x x g x x ->-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则()h x 在()2,+∞上单调递增，分0a =和0a ≠两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出1a ≥，得到答案.【详解】()()2f xg x ax x +=-①中将x 换为x -得，()()2f xg x ax x -+-=+，又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=--=，故()()2x f x g x a x -+=+②，①＋②得，()2g x ax =，对于任意122x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，故()()121244g x g x x x ->-，即()()112244g x x g x x ->-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则()h x 在()2,+∞上单调递增，若0a =，则()4h x x =-，不满足在()2,+∞上单调递增，舍去，若0a ≠，则要满足0422a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，故AD 错误，BC 正确.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________.x 1234f(x)1313g(x)3232【答案】2或4【解析】【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值.【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题.14.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_________【答案】①.90②.10【解析】【分析】（1）根据题意可得顾客需要支付的费用；（2）设M 是总价，据题意，在80M ≥时，列出不等式0.8()0.7M x x -≥，解之可得，注意分类讨论．【详解】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒，得总价为4060100+=元.因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元1001090-=（元）；（2）设订单总价为M ，若080M <<，没有优惠，符合题意；若80M ≥，则0.8()0.7M x M -≥，8Mx ≤，而801088M ≥=，所以10x ≤，最大值为10．故答案为：（1）90；（2）10.15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()f x 在()0,x ∈+∞单调递增；③()f x 是偶函数．【答案】()2f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据性质①②③找出符合题意的一个()2f x x =.【详解】由性质②()f x 在()0,x ∈+∞单调递增；③()f x 是偶函数，可以取二次函数()2f x x =，经检验，对性质①()()()1212f x x f x f x =也符合.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16.已知a b >，c d >，设不等式()()0x a x b x ---<的解集为{}x d x c <<，则不等式()()0x c x d x --+>的解集为______．【答案】{|x x b <或}x a >【解析】【分析】利用韦达定理可得a 、b 、c 、d 的关系，代入目标不等式求解可得.【详解】由题知，,c d 为方程()()0x a x b x ---=的两根，因为()()2(1)0x a x b x x a b x ab ---=-+++=所以1,c d a b cd ab+=++=所以()()220(1)0()0x c x d x x c d x cd x a b x ab --+>⇔-+-+>⇔-++>解方程2()0x a b x ab -++=得，12,x a x b==因为a b >，所以不等式()()0x c x d x --+>的解集为{|x x b <或}x a >.故答案为：{|x x b <或}x a >四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知()()11f x a x x=++（a R ∈）．（1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；（2）若[]2,4x ∈时，()0f x =有实数解，求a 的范围．【答案】（1）{}10x x -<<（2）11,620⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）将1a =代入得()11f x x x=++，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案.（2）由题意得()11a x x =-+，令()()11g x x x =-+，进而利用单调性和不等式的性质求()g x 的值域，于是得到a 的范围.【小问1详解】当1a =时，()11f x x x=++.代入原不等式：1111111x x x x +++<++++，即111x x <+，移项通分()101x x <+，解得10x -<<.∴原不等式的解集为{}10x x -<<【小问2详解】由于()()110f x a x x=++=在[]2,4x ∈上有解，所以()11a x x =-+，即求()()11g x x x =-+在[]2,4x ∈值域，由于()1y x x =+在[]2,4x ∈单调递增，所以()[]16,20x x +∈，于是()111,1620x x ⎡⎤-∈--⎢⎥+⎣⎦，即()11,620g x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.所以11,620a ⎡⎤∈--⎢⎣⎦．18.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[]3,43=，[]4,25-=-，不等式516x +<≤的解集为A ，不等式2 23200x x --≤的解集为B ．（1）求A B ⋃，()R A Bð（2）已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求44a a b+的最小值．【答案】（1）5|52A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，(){}R |45A B x x ⋂=<<ð（2）5【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式得集合A ，由一元二次不等式可得集合B ，再根据集合的并集及补集与交集的运算即可；（2）根据集合与元素的关系可得[]4a b x +==，再利用基本不等式即可得最值.【小问1详解】不等式516x +<≤，解得45x ≤<，即{}|45A x x =≤<，223200x x --≤，解得542x -≤≤，即5|42B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以5|52A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，由于R 5{|2B x x =<-ð或4}x >，所以(){}R |45A B x x ⋂=<<ð.【小问2详解】因为{}|45x x x ∈≤<，所以[]4a b x +==，因为0a >，0b >，所以0ba>，40a b >444415a a b a b a a b a b a b++=+=++≥，当且仅当4b a a b =即43a =，83b =时，44a a b+取得最小值，最小值为5．19.已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合50x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭．（1）设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1}，且C ⊆（A ∩B ），求a 的取值范围：（2）设m 为实数，集合2112022D x x m x m m ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-+++≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，若x ∈（A ∪B ）是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．【答案】（1）()1(0,1,2+∞ ；（2）存在；92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】20222x x x -⇔⇔-≤≤≤≤，所以[]2,2A =-，()0500550x x x x x x ≠⎧-≤⇒⇒<≤⎨-≤⎩，所以(]0,5B =，（1）由已知得(]0,2A B = ，①C =∅时，2131a a a +<⇒>，此时满足题意；②C ≠∅时，1a ≤，要满足题意需21210302a a a +≤⎧⇒<≤⎨>⎩综上所述，a 的取值范围是()1(0,]1,2+∞ ；【小问2详解】由已知得[]2,5A B ⋃=-，由题意得D 是()A B 的真子集()21111202222x m x m m x m x m m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=---⇒+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤≤≤，所以1,2D m m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，要满足题意需2152m m ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩（等号不同时成立）922m ⇒-≤≤答：满足条件的m 存在，取值范围是92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．20.已知函数()131xm f x =+-（R m ∈）（1）判断函数()f x 在(),0∞-内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()()g x xf x =为偶函数？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）函数()f x 在(),0∞-内单调递减，证明见解析（2）存在；12m =【解析】【分析】（1）结合指数运算利用单调性定义证明单调性即可；（2）根据偶函数的定义列方程求解即可得m 的值.【小问1详解】函数()f x 在(),0∞-内单调递减，理由如下：任取1x ，()2,0x ∈-∞，且12x x <则()()()()21121212113331313131x x x x x x f x f x m m -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭由于120x x <<，可得120331x x <<<，所以21330x x ->，1310x -<，2310x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以当m 取任意实数时，函数()f x 在(),0∞-内单调递减【小问2详解】假设存在m ，使得函数()g x 为偶函数，()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以由()()g x g x -=，即()()xf x xf x --=，即()()f x f x -=-，可得113131x x m m -+=----，解得12m =因此，存在12m =，使得()()g x xf x =为偶函数21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式：讨论()g x 的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．【答案】（1）45100x <<（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意列不等式求解即可得答案；（2）根据实际意义得函数()g x 的表达式，再根据分段函数确定函数单调性即可得结论.【小问1详解】由题意得180029040x x+->且30100x <<．化简得2659000x x -+>，即()()45200x x -->．所以20x <或45x >．综上所述，当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．【小问2详解】①若030x <≤，则()304011001004010x x S S x g x S ⎛⎫⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭==-．②若30100x <<，则()21800290401113100100585010x x x S S x g x x S ⎛⎫⎛⎫+-⋅⋅+⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+．所以()2340,0301011358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩．当030x <≤时，()g x 单调递减；所以()37g x ≥当30100x <<时，()2113585010g x x x =-+的对称轴为0652x =，所以6530,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减且()37g x <，65,1002⎛⎫⎪⎝⎭单调递增．综上所述，650,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，65,1002⎛⎫⎪⎝⎭单调递增即：当S 中的自驾人数比例在()0,32.5%时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当S 中的自驾人数比例在()32.5%,100%时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当S 中32.5%的成员自驾时，该地上班族S 的人均通勤时间达到最小值36.875分钟．实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．22.设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已1416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且01x <<时，()0f x >（1）求()1f 与12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递减；（3）解不等式()131222f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭【答案】（1）()10f =，112f ⎛⎫=⎪⎝⎭（2）证明见解析（3）4423x x x ⎧⎫><<⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）根据抽象函数的性质结合1416f ⎛⎫=⎪⎝⎭，采用赋值法求解()1f 与12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值即可；（2）设120x x >>，则()()2121x f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据01x <<时，()0f x >可得()()21f x f x -的符号，从而证得单调性；（3）结合抽象函数的性质将不等式转化为213242f x f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合单调性解不等式即可得x 的取值集合.【小问1详解】令1x =，1y =，则()()()111f f f =+，故()10f =令14x y ==，则可得11114216444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令12x y ==，得1111214222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，【小问2详解】设120x x >>，则()()2121x f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵2101x x <<，故210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >，故()f x 在()0,∞+上单调递减【小问3详解】由于()131222f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以()132222f x f f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以132222f x f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即213242f x f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2132042x x >->，解得>4x 或423x <<，所以不等式的解为：4423x x x⎧⎫><<⎨⎬⎩⎭或.。
2024-2025学年甘肃省酒泉市金塔县高一上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回2024-2025学年甘肃省酒泉市金塔县高一上学期11月期中考试数学检测试题.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合3{|5}A x x =<，{3,1,0,2,3}B =--，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3} C. {1,0,2}- D. {3,1,0}--【答案】D 【解析】【分析】求出集合{A x x =，再利用交集运算即可求解.【详解】由题意可得集合{A x x =，因为12<<，且{3,1,0,2,3}B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，故D 正确.故选：D.2. 下列命题中正确的是（ ）A. 若0a b >>，则22a b > B. 若a b <，则22ac bc <C. 若a b <，则11a b> D. 若a b >，则ac bc>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ；举反例判断BCD.【详解】对于选项A ：若0a b >>，由不等式性质可得22a b >，故A 正确；的对于选项BD ：例如0c =，可得220ac bc ==，0ac bc ==，故BD 错误；对于选项C ：利用1,1a b =-=，可得111,1a b =-=，即11a b<，故C 错误；故选：A.3. 已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B. 1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C. 1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D. 1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D4. 已知函数()235,1,28,1,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则()()2f f 的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】因为f (x )=3x +5,x ≤1,−2x 2+8,x >1,所以()222280f =-⨯+=，所以()()()203055ff f ==⨯+=.故选：B5. 下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()1f x x=B. ()exf x =C. ()2f x x = D. ()1f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性，即可得出结论.【详解】函数()1f x x=是奇函数，在区间()0,∞+上单调递减，故A 不符合题意；函数()e xf x =是非奇非偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故B 不符合题意；函数()2f x x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故C 不符合题意；函数()1f x x x=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且满足()()1f x x f x x -=-+=-，又函数y x =和1y x =-均在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()1f x x x =-在区间()0,∞+上单调递增，即函数()1f x x x=-既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增，符合题意.故选：D.6. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（ ）A. 2 B. 4C. 2-D. 4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A7. 已知2345a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【详解】易知3362555422933c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭定义域上单调递减，36145<<，所以23b c >>，易知()230y xx =>单调递增，432543>>，则223334422533a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上a b c >>.故选：A8. 函数()1,4,11x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩的值域为（ ）A. [)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B. 5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)3,4,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D. 3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得1x ≤时函数()f x 的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，再由基本不等式可求得当1x >时，函数()f x 的值域为[)5,+∞，即可得出结论.【详解】根据题意当1x ≤时，()f x x =t =，可得[)0,t ∈+∞，所以21x t =-，因此可得()2215124f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭；由二次函数性质可得当12t =，即34x =时，()1f x x x =≤取得最大值54，此时()1f x x x =+≤的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；当1x >时，()44111511f x x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；此时()4,11f x x x x =+≥-的最小值为5，因此()4,11f x x x x =+≥-的值域为[)5,+∞；综上可得，函数()f x 的值域为[)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数()f x 的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件B. 命题“21,1x x ∀<<”的否定是“1x ∃≥，21x ≥”C. 若a b >，则22a b c c >D. 若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最小值为9【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分和必要条件，全称量词命题的否定、不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】选项A ，若1a >，则11a <；若11a<，则a 有可能是负数，此时1a >不成立，故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，正确，符合题意；选项B ，命题“1x ∀<，21x <”的否定是“21,1x x ∃<≥”，错误，不符合题意；选项C ，若a b >，则22a b c c>，正确，符合题意；选项D ，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，16b =时，取等号，故11a b+的最小值为9，正确，符合题意.故选：ACD10. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞B. ()0f x =有3个根C. ()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃D. 当0x <时，()22f x x x=-+【答案】ABC 【解析】【分析】先求得0x <时()f x 的解析式判断选项D ；求得()f x 的单调递增区间判断选项A ；求得()0f x =的根的个数判断选项B ；求得()0xf x <的解集判断选项C.【详解】由()f x 是定义在R 上的奇函数知，对任意x ∈R ，()()f x f x -=-.当0x <时，0x ->，又当0x ≥时，()22f x x x =-，所以()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，故D 错误.由上可知()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩又抛物线22y x x =-的对称轴为直线1x =，开口向上，抛物线22yx x =--的对称轴为直线1x =-，开口向下，结合二次函数的性质知()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞，故A 正确.由()0f x =可得2020x x x ≥⎧⎨-=⎩或220x x x <⎧⎨--=⎩解之得，0x =或2x =或2x =-，故B 正确.由()0xf x <，可得2020x x x <⎧⎨-->⎩或220x x x >⎧⎨-<⎩解得20x -<<或02x <<，故C 正确.故选：ABC11. 已知函数2,0()2,0x x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则下列判断错误的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的图像与直线1y =有两个交点C. ()f x 的值域是[0,)+∞D. ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数【答案】AB 【解析】【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A 不正确；函数图象与直线1y =有一个交点，故B 错误；函数的值域为[0,)+∞，且在区间(,0)-∞上是减函数，即C 、D 正确；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 能说明“关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立”为假命题的实数a 的一个取值为_________.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】将关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立问题转化为0∆<，从而得到a 的取值范围，命题为假命题时a 的取值范围是真命题时的补集，即可得a 的取值.【详解】若不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则()2420a a ∆=--⨯<，解得08a <<，所以该命题为假命题时实数a 的取值范围是08a a ≤≥或，.所以实数a 一个取值为0.故答案为：0（答案不唯一，只要满足“0a ≤或8a ≥”即可）.13. 已知函数()21,02,6,2,x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩则不等式()12f x x >的解集为______.【答案】()1,4【解析】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象，即可求得不等式()12f x x >的解集.【详解】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为(1,4).故答案为：(1,4)14. 已知正数,x y 满足328x y -=，则3x y+的最小值为______.【答案】9【解析】【分析】先根据指数运算求出33x y =+，代入3x y+中，再利用基本不等式可得最小值.【详解】33282x y y -==，可得33x y =+，又0,0x y >>，所以3333239x y y y +=++≥⨯+=，的当且仅当1y y=，即1y =时取得最小值.故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.（1）若4a =，求A B ，()U A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）A ∪B ={x |−9≤x ≤5},(){}U 25A B x x ⋂=<≤ð; （2）13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算.（2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可.【小问1详解】因为4a =，所以{}92B x x =-≤≤.因为{}15A x x =≤≤，所以{}95A B x x ⋃=-≤≤.因为R U =，所以{9U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}25U A B x x ⋂=<≤ð.【小问2详解】因为B A ⊆.①当B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a -->-，解得13a <；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则121,25,122,a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤-⎩解得a ∈∅综上所述，实数a 的取值范围是13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.16. 已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f xf x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．.【答案】（1）证明见解析 （2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f xf x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.17. 已知函数()21x bf x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，【所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.18. 已知函数()122x f x =+.（1）求()0f 与()2f ，()1f -与()3f 的值；（2）由（1）中求得的结果，猜想f(x)与()2f x -的关系并证明你的猜想；（3）求()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值.【答案】（1））()103f =，()126f =，()215f -=，()1310f = （2）()()122f x f x +-=，证明见解析 （3）40434【解析】【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；（2）根据（1）的结果猜想()()122f x f x +-=，计算()()2f x f x +-的值即可证明；（3）根据（2）的结果可得1(2020)(2022)2f f -+=，根据规律计算即可求解.【小问1详解】解：因为()122x f x =+，故11(0)123f ==+，211(2)226f ==+，112(1)225f --==+，311(3)2210f ==+.【小问2详解】解：猜想：()()122f x f x +-=，证明：∵对于任意的x R ∈，都有2221122(2)2222222(22)22x x x x x x f x --====++⨯++∴221()(2)2(22)2x x f x f x ++-==+.故()()122f x f x +-=.【小问3详解】解：由（2）得()()122f x f x +-=，故(2020)(22022)f f -=-，1(2020)(2022)2f f -+=，1(2019)(2021)2f f -+=，所以()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++()()()()()()()2020202220192021(1)(3)021f f f f f f f f f =-++-+⋅⋅⋅+-++++1140432021244=⨯+=.19. 已知()f x 满足 ()()()(),f x f y f x y x y +=+∈R ，且0x >时，()0f x < .（1）判断()f x 的单调性并证明；（2）证明：()()f x f x -=-；（3）若()12f =-，解不等式()2260f x x -->．【答案】（1）减函数，证明见解析（2）证明见解析 （3）{|1x x <-或}3x >．【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索()f x -与()f x 之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可.【小问1详解】()f x 是R 上的减函数，证明如下：对任意12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以()210f x x -<；又()()()1212f x f x x f x +-=即()()()21210f x f x f x x -=-<，所以()()21f x f x <.所以()f x 是R 上的减函数.【小问2详解】由()()()f x f y f x y +=+，令y x =-，得()()()0f x f x f +-=；再令0x =可得()()()000f f f +=⇒()00f =；()()0f x f x ∴-+=即()()f x f x -=-.【小问3详解】()()()()122114f f f f =-⇒=+=-，()()()3216f f f =+=-，()2260f x x ∴-->，即()()()2233f x x f f ->-=-，又()f x 是R 上的减函数，所以223x x -<-⇒2230x x -->，解得：1x <-或3x >，所以不等式的解集为{|1x x <-或}3x >.。
山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期11月期中考试 数学含解析
高二学业水平阶段性检测一数学试题（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆223412x y +=的焦点坐标为（）A.()1,0± B.()0,1± C.()D.(0,2.过点()2,1-且方向向量为()2,1的直线方程为（）A.240x y -+=B.240x y +-=C.240x y -+=D.240x y --=3.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A.－1或2B.0或2C.2D.－14.过点(0,2)P -作圆22:(2)5C x y -+=的两条切线PA ，PB ，则四边形PACB 的面积为（）A.2B.C.D.5.如图，在三棱锥S ABC -中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a = ，SB b = ，SC c = ，则SG = （）A.111346a b c -+ B.111362a b c ++C.111366a b c ++D.111632a b c -+6.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（）A.90︒B.60︒C.45︒D.30︒7.已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为()A.()1,1- B.[]1,1- C.⎡⎣ D.(8.已知椭圆22132x y +=，1F ，2F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.3B.2C.32D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.已知向量//a b ，则a 、b 与任意向量都不能构成空间的一个基底B.若P ，M ，A ，B 四点共面，则MP xMA yMB=+C.若{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底D.在四面体P ，A ，B ，C 中，若0PA BC ⋅= ，0PC AB ⋅= ，则0PB AC ⋅=10.已知曲线22:1C ax by +=．下列结论正确的有（）A.若0a b >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0a b >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C.若0a b =>，则CD.若0b =，0a >，则C 是两条直线11.已知圆22:230A x y y +--=，圆22:430B x y x +-+=，则下列说法正确的是（）A.点(2,1)P -在圆A 内B.圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为1C.圆A 和圆B 的公切线长为2D.圆A 和圆B 的公共弦所在的直线方程为230x y --=12.的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A.21212124A F F A F F = B.11290F B A ∠=︒C.四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F D.1PF x ⊥轴，且21//PO A B 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,3,2a = ，()1,1,0b = ，则a 在b方向上的投影向量的坐标为__________．14.若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点(2,0)P ，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为__________．15.如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱l ．若二面角l αβ--的平面角为π3，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =______.16.若关于的方程440kx k +-=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过定点(2,3)A ．（1）若直线l 与直线230x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD AB ⊥，=45ADC ∠︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，3AD =．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．（2）求直线AD 到平面PBC 的距离．19.已知直线:10l x y -+=和圆22:24110C x y x y +-+-=．（1）若直线l 交圆C 于,A B 两点，求弦AB 的长；（2）求过点(5,1)P -且与圆C 相切的直线方程．20.已知定圆22:(1)16C x y ++=，动圆M 过点(1,0)B ，且和圆C 相切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）若直线:l y x m =+与圆心M 的轨迹交于E ，F 两点，20,7A ⎛⎫⎪⎝⎭，且||||AE AF =，求m 的值．21.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2，点D 在棱1BB 上运动（不包括端点）．（1）若D 为1BB 的中点，证明：11A D AC ⊥．（2）设平面1A DC 与平面ABC 的夹角为θ，求cos θ的取值范围．22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，上下顶点分别为A ，B ，||4AB =．过点()0,1E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于CD 两点．（1）求椭圆的方程．（2）若FC DE =，求k 的值．（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论．高二学业水平阶段性检测一数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.椭圆223412x y +=的焦点坐标为（）A.()1,0± B.()0,1± C.()D.(0,【答案】A 【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式，即可求出焦点坐标.【详解】由223412x y +=可得22143x y +=，因此1c ==，且焦点在x 轴上，所以焦点坐标为()1,0±.故选：A.2.过点()2,1-且方向向量为()2,1的直线方程为（）A.240x y -+=B.240x y +-= C.240x y -+= D.240x y --=【答案】D 【解析】【分析】根据方向向量确定出直线的斜率，然后可得到直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程即可.【详解】因为直线的方向向量为()2,1，所以12k =，所以直线方程为()()1122y x --=-，即为240x y --=，故选：D.3.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A.－1或2 B.0或2C.2D.－1【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B A C A C B C B C ⇔-=-≠-≠ 且（或）；4.过点(0,2)P -作圆22:(2)5C x y -+=的两条切线PA ，PB ，则四边形PACB 的面积为（）A.2B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点点距离公式可得PC ==PA ==由三角形面积公式即可求解.【详解】由22:(2)5C x y -+=可得()2,0,C r =，所以PC ==进而可得PA ==，故1122APC S PA r == ，所以四边形PACB 的面积为1222APC S =⨯= ，故选：C5.如图，在三棱锥S ABC -中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a =，SB b = ，SC c =，则SG =（）A.111346a b c -+ B.111362a b c++C.111366a b c ++D.111632a b c -+【答案】C 【解析】【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.【详解】如图，连接,SF 因点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足1,2EG GF =则1123SG SE EG SA EF =+=+ 11()23SA SF SE =+- 111236SA SF SA=+-111()332SA SB SC =+⨯+ 111,366SA SB SC =++即：SG = 111.366a b c ++ 故选：C.6.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（）A.90︒B.60︒C.45︒D.30︒【答案】C 【解析】【分析】当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，由此能求出结果．【详解】解：如图，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大取AC 的中点E ，则BE ⊥平面DAC ，故直线BD 和平面ABC 所成的角为DBE ∠cos 2BE DBE BD ∠==，4DBE π∴∠=．故选：C ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．7.已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为()A.()1,1- B.[]1,1- C.⎡⎣ D.(【答案】D 【解析】【分析】圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于1，利用点到直线距离求出b 的取值范围.【详解】因为圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于1b b <⇒<⇒<<，故本题选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.8.已知椭圆22132x y +=，1F ，2F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.103B.102C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PF PF PF PF +的值，利用()1212PO PF PF =+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22132x y +=，12,F F 为两个焦点，可得1a b c ===，则122PF PF a +==①，即221212212++=PF PF PF PF ，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即221212645=+-PF PF PF PF ，整理得2121216()45+-=PF PF PF PF ，②联立①②，解得：1252=PF PF ，则22127+=PF PF ，又因为()1212PO PF PF =+ ，则1212PO PO PF PF ==+，使用12122=+=PO PF PF uu u r uuu r uuu r .故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.已知向量//a b，则a、b与任意向量都不能构成空间的一个基底B.若P ，M ，A ，B 四点共面，则MP xMA yMB=+C.若{},,a b c 是空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一个基底D.在四面体P ，A ，B ，C 中，若0PA BC ⋅= ，0PC AB ⋅= ，则0PB AC ⋅=【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接由空间基底的定义即可判断；对于B ，直接举出反例即可判断；对于C ，设()()()0x a b y b c z c a +++++= ，结合{},,a b c是空间的一个基底，判断,,x y z 是否均为0即可；对于D ，画出图形，选取基底向量，将0PA BC ⋅= ，0PC AB ⋅= ，进行转换，从而即可证得0PB AC ⋅=.【详解】对于A ，若//a b ，所以,a b 共线，即,a b 与空间中其他任何向量一定共面，从而a 、b 与任意向量都不能构成空间的一个基底，故A 正确；对于B ，设点M ，点A ，点B 三点重合，且不与点P 重合，从而0MP xMA yMB ≠=+，故B 选项错误；对于C ，不妨设()()()0x a b y b c z c a +++++= ，整理得()()()0x z a x y b y z c +++++=，又{},,a b c 是空间的一个基底，所以当且仅当000x z x y y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得0x y z ===，从而{},,a b b c c a +++ 也是空间的一个基底，故C 正确；对于D，如图所示：选{},,PA PB PC 作为空间的一组基底向量，若0PA BC ⋅= ，0PC AB ⋅=，则()0PA BP PC ⋅+= ，()0PC AP PB ⋅+= ，即PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，从而()0PB AC PB AP PC PB PC PA PB ⋅=⋅+=⋅-⋅=，故D 正确.故选：ACD.10.已知曲线22:1C ax by +=．下列结论正确的有（）A.若0a b >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0a b >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C.若0a b =>，则CD.若0b =，0a >，则C 是两条直线【答案】AD 【解析】【分析】将方程22:1C ax by +=，转化为22111x y a b+=，判断选项ABC ，再根据0b =，0a >判断选项D.【详解】方程22:1C ax by +=，化为22111x y a b+=，表示椭圆，且其焦点在y 轴上，则11110,0,a b a b>><，即0a b >>，故A 正确；若22111x y a b +=，表示椭圆，且其焦点在x 轴上，则11110,0,a b a b>>>，即0b a >>，故B 错误；22111x y a b+=，表示圆11110,0,a b a b >>=，即0a b =>，其半径为a故C 错误；当0b =，0a >时，x a=±，则C 是两条直线，故D 正确，故选：AD11.已知圆22:230A x y y +--=，圆22:430B x y x +-+=，则下列说法正确的是（）A.点(2,1)P -在圆A 内B.圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为1C.圆A 和圆B 的公切线长为2D.圆A 和圆B 的公共弦所在的直线方程为230x y --=【答案】BCD 【解析】【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B ，根据相交弦的定义即可求解D ，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C.【详解】圆22:230A x y y +--=的圆心和半径分别为()0,1,2A R =,圆22:430B x y x +-+=的圆心和半径为()2,0,1B r =，对于A ，由于()()22212130+--⨯-->，故点(2,1)P -在圆外，故A 错误，对于B ，()0,1A 到34190x y -+=的距离为3d =，所以圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为1d R -=，B 正确，对于D,由于()1,3AB =,故两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：230x y --=，故D 正确，对于C2=，C 正确，故选：BCD12.的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A.21212124A F F A F F = B.11290F B A ∠=︒C.四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F D.1PF x ⊥轴，且21//PO A B【答案】BC 【解析】【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A ；根据向量数量积判断B ；由四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F ，结合面积公式求出e 判断C ；由1PF x ⊥轴求出P 的坐标，结合斜率公式计算离心率判断D.【详解】由22221(0)x y a b a b+=>>可知：()1,0A a -，()2,0A a ，()10,B b ，()20,B b -，()1,0F c -，()2,0F c ，对于A ，若21212124A F F A F F =，则()()224a c c +=，所以4a c c +=，即3a c =，所以13e =，与已知不符，故A 错误；对于B ，()11,F B c b = ，()12,B A a b =-，所以2221112F B B A ac b ac a c ⋅=-=-+，因为12c e a -==，所以)12a c -=，所以)(222111213022a a F B B A a --⋅=-+=，所以1112F B B A ⊥，所以11290F B A ∠=︒，故B 正确；对于C ，四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F ，c ab =，所以()()2222222a cca a c -=-，整理得422430c a c a -+=，所以42310e e -+=，解得2352e +=（舍去）或232e =所以12e =，故C 正确；对于D ，当1PF x ⊥轴，21//PO A B 时，则2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22OPb b a kc ac==--，21A B b k a =-，所以21OPA B k k =，所以2b b ac a-=-，整理得b c =，所以a =，所以22e =，与已知不符，故D 错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,3,2a = ，()1,1,0b = ，则a 在b方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】55,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先求解出a 在b 方向上的投影，然后求解出b同方向的单位向量，根据二者的乘积即可求得结果.【详解】a 在b方向上的投影为2a b b ⋅==，因为b == b同方向的单位向量为,,022b b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a 在b方向上的投影向量的坐标为55,,0,,022222⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：55,,022⎛⎫⎪⎝⎭.14.若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点(2,0)P ，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为__________．【答案】2214x y +=或221164y x +=【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论即可求.【详解】当椭圆焦点在x 轴，设椭圆方程为()222210x ya b a b+=>>，因为椭圆过点(2,0)P ，所以2a =，又因为长轴长是短轴长的2倍，所以1b =，所以椭圆方程为2214x y +=；当椭圆焦点在y 轴，设椭圆方程为()222210y xa b a b+=>>，因为椭圆过点(2,0)P ，所以2b =，又因为长轴长是短轴长的2倍，所以4a =，所以椭圆方程为221164y x +=.综上，椭圆的方程为2214x y +=或221164y x +=.故答案为：2214x y +=或221164y x +=15.如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱l ．若二面角l αβ--的平面角为π3，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =______.【答案】【解析】【分析】根据式子CD CA AB BD =++，根据空间向量数量积的运算律即可求出CD 的长.【详解】由条件知0CA AB ⋅= ，0AB BD ⋅= ，CD CA AB BD =++，又二面角l αβ--的平面角为π3，则π,3BD AC = ，所以2222222CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 222π648268cos π683⎛⎫=+++⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以CD =故答案为：16.若关于的方程440kx k +-=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是__________．【答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】转化为半圆()2224(0)x y y -+=≥与直线()44y k x =-+的交点个数问题，利用数形结合法求解.【详解】解：方程440kx k +-=44kx k =-+，令44y y kx k ==-+，即()2224(0)x y y -+=≥表示以()2,0为圆心，以2为半径的半圆，直线()44y k x =-+过定点P ()4,4，圆心到直线的距离等于半径为：2d ==，解得34k =，40140OP k -==-440kx k +-=有且只有两个不同的实数根，即半圆于直线有且只有两个不同的交点，由图象知：则实数k 的取值范围是3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：3,14⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过定点(2,3)A ．（1）若直线l 与直线230x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．【答案】17.210x y --=；18.50x y +-=或320x y -=【解析】【分析】（1）求出直线230x y +-=的斜率可得l 的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解；（2）按直线l 是否过原点分类讨论计算作答.【小问1详解】1323022x y y x +-=⇒=-+，所以直线230x y +-=的斜率为12-，因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以直线l 的斜率为2．又因为直线l 过点(2,3)A ，所以直线l 的方程为32(2)y x -=-，即210x y --=．【小问2详解】直线l 过原点时，设直线l 的方程为y kx =，因为直线l 过点(2,3)A ，所以303202l k -==-，所以直线l 的方程为32y x =，即320x y -=；当直线l 不过原点时，因为直线l 在两坐标轴截距相等，所以设直线l 的方程为1x ya a+=，即x y a +=，因为直线l 过点(2,3)A ，所以235a =+=，所以直线l 的方程为50x y +-=．综上，直线l 的方程为50x y +-=或320x y -=．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD AB ⊥，=45ADC ∠︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，3AD =．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．（2）求直线AD 到平面PBC 的距离．【答案】（1）π3（22【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求异面直线所成的角；（2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离即可.【小问1详解】以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD AB ⊥，=45ADC ∠︒，所以()tan 1tan 451AB AD BC ADC =-∠=⨯︒=，则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,3,0)D ，(2,0,2)PB ∴=- ，(2,2,0)CD =-，设异面直线与所成角为θ，则1cos cos ,2PB CD PB CD PB CD θ⋅===⋅，所以异面直线与所成角大小为π3．【小问2详解】//AD BC ，AD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，//AD ∴平面PBC ，∴直线AD 到平面PBC 的距离即为点A 到平面PBC 的距离．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(2,0,2)PB =- ，(0,1,0)BC = ，则2200n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,0,1)n = ．(2,0,0)AB = ，∴点A 到平面PBC的距离n ABd n⋅==．19.已知直线:10l x y -+=和圆22:24110C x y x y +-+-=．（1）若直线l 交圆C 于,A B 两点，求弦AB 的长；（2）求过点(5,1)P -且与圆C 相切的直线方程．【答案】（1）（2）5x =或158670x y +-=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程求得圆心及半径r ，再由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离d，再由弦长公式得AB =（2）分两种情况讨论，过点(5,1)P -的直线斜率存在与不存在两种，求得斜率不存在时直线为5x =；设斜率存在时直线为k ，再由点斜式设直线方程为1(5)y k x +=-，再由点到直线的距离d 等于圆的半径，求得k ，即可求得直线方程.【小问1详解】将圆22:24110C x y x y +-+-=，化成标准方程：22(1)(2)16x y -++=，∴圆C 的圆心(1,2)C -，半径4r =，∴圆C 到直线:10l x y -+=的距离d ==AB ∴==【小问2详解】当直线的斜率不存在时，过点(5,1)P -的直线为5x =，是圆C 的一条切线；当直线的斜率存在时，设圆C 的切线方程为1(5)y k x +=-，即510kx y k ---=，∴圆心(1,2)C -到直线510kx y k ---=的距离4d ==，解得158k =-．∴切线方程为151(5)8y x +=--，即158670x y +-=，综上所述，所求的直线方程为：5x =或158670x y +-=．20.已知定圆22:(1)16C x y ++=，动圆M 过点(1,0)B ，且和圆C 相切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）若直线:l y x m =+与圆心M 的轨迹交于E ，F 两点，20,7A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且||||AE AF =，求m 的值．【答案】（1）22143x y +=（2）2m =-【解析】【分析】（1）由2||r MB =，圆M 内切与圆C ，得到||||42||MB MC CB +=>=，利用椭圆的定义求解；（2）联立22143y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得EF 的中点43,77m m D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据||||AE AF =，由AD EF ⊥求解；【小问1详解】解：(1,0)C - ，半径14r =，设动圆M 的半径为2r ，由题意知2||r MB =，||2CB = ，∴点B 在圆C 内，∴圆M 内切与圆C ．12||MC r r ∴=-，即||||42||MB MC CB +=>=，∴动点M 的轨迹是以B 、C 为焦点，长轴长为4的椭圆，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2a =，1c =，b ∴=∴圆心M 的轨迹方程为22143x y +=．【小问2详解】设()11,E x y ，()22,F x y ，联立22143y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22784120x mx m ++-=，1287m x x ∴+=-，2124127m x x -=．EF ∴的中点43,77m m D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由0∆>得，m <<||||AE AF = ，AD EF ∴⊥，2377147m m-∴=-．解得2m =-，符合0∆>，2m ∴=-．21.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2，点D 在棱1BB 上运动（不包括端点）．（1）若D 为1BB 的中点，证明：11A D AC ⊥．（2）设平面1A DC 与平面ABC 的夹角为θ，求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）,72⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）分别取AB ，11A B 的中点O ，E ，连接,OC OE ，则可建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出11,A D AC 的坐标，计算其数量积，即可证明结论；（2）求出平面1A DC 的法向量，确定平面ABC 的法向量，根据空间角的向量求法，可求得cos θ的值，结合二次函数性质，即可确定cos θ的取值范围.【小问1详解】证明：分别取AB ，11A B 的中点O ，E ，连接,OC OE由直三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长都为2，可知,OC AB OE AB ⊥⊥，且OE ⊥平面,ABC OC ⊂平面ABC ，故OE OC ⊥;以O 为坐标原点，以,,OB OC OE 所在直线为,,x y z周，建立空间直角坐标系如图所示，因为直三棱柱111ABC A B C -的底边长和侧棱长都为2，D 为1BB 的中点，所以1(1,0,2)A -，(1,0,0)A -，(1,0,1)D，()12C，C ，故1(2,0,1)A D =-，()12AC =u u u u r ，则11022A D AC =-⋅= ，所以11A D AC ⊥ ，即11A D AC ⊥．【小问2详解】设(02)BD t t =<<，则点(1,0,)D t ，所以1(2,0,2)A D t =-，()12A C =- ，设平面1A DC 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()20220x z x t z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令2z =，则2x t =-，y =故22n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m = ，所以cos cos ,n m n m n m θ⋅==== ，因为02t <<，则≤<21272⎛ ⎝⎦，故cos θ的取值范围为72⎛ ⎝⎦．22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，上下顶点分别为A ，B ，||4AB =．过点()0,1E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于CD 两点．（1）求椭圆的方程．（2）若FC DE =，求k 的值．（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论．【答案】（1）22184x y +=（2）2k =±（3）不存在，证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和短轴长度得到,,a b c 满足的关系式，求解出,a b 的值即可求得椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程得到对应韦达定理形式，将向量共线表示为坐标关系，结合韦达定理求解出k 的值；（3）先表示出,AC BD 的斜率12,k k ，然后利用坐标结合韦达定理分析2212k k -与0的关系，由此作出判断.【小问1详解】由已知得2c e a a ===，24b =，所以a =2b =，所以椭圆的方程为22184x y +=.【小问2详解】设直线():10l y kx k =+≠，()11,C x y ，()22,D x y ，221841x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2212460k x kx ++-=，所以122412k x x k +=-+，122612x x k=-+，因为()0,1E ，1,0F k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，FC DE = ，所以()11221,,1x y x y k ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，所以121x x k +=-，即24112k k k -=-+，解得2k =±，符合0∆>，所以2k =±.【小问3详解】由已知得()0,2A ，()0,2B -，设直线AC ，BD 的斜率分别为1k 和2k ，所以1112y k x -=，2222y k x +=，所以()()()()2222121222122222121222228282y y y y k k x x y y -+-+-=-=---()()()12121212222122222y y y y y y y y +⎛⎫-+=-=- ⎪+-+-⎝⎭，因为()212122242220()1212R k y y k x x k k k+=++=-+=≠∈++，所以2212k k ≠，所以12k k ≠，所以使直线AC 平行于直线BD 的实数k 不存在．.【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的综合运用，联立思想是解答本题第二、第三问的基础，通过韦达定理将问题转化为坐标运算进行求解，难度较大.其中解答第三问的关键在于通过构造斜率平方差的形式结合坐标运算说明12,k k 的不等关系.。
浙江省宁波市第十五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
浙江省宁波市第十五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．已知⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，则OP 的长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．把二次函数245y x x =-+化为()2y a x m k =-+的形式，则下列结论正确的是（）A ．()221y x =++B ．()221y x =-+C ．()221y x =+-D ．()221y x =--3．有6张扑克牌面数字分别是3，4，5，7，8，10从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（）A ．16B ．14C ．13D ．124．O 的半径为10cm ，弦//CD AB ，且12cm AB =，16CD cm =，则AB 和CD 的距离为（）A ．2cm B ．14cm C ．2cm 或14cm D ．10cm 或20cm5．下列各点中，不可能在抛物线24(0)y x x c c =-++<上的是（）A ．(2,3)B ．(4,3)-C ．(0,3)-D ．(2,3)-6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 AB 上一点，AD ∥OC ，AD 交⊙O 于点D ，连接AC ，CD ，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（）A ．x+y=90B ．2x+y=90C ．2x+y=180D ．x=y7．如图，在平面直角坐标系中，平行于x 轴的直线2y =，与二次函数2y x =，20.5y x =分别交于A 、B 和C 、D ，若CD aAB =，则a 为（）A ．4B ．2CD 8．直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为A ．253B ．203C ．254D ．9．如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，将ABCD 绕点B 顺时针旋转90︒到GBEF 位置，H 是EG 的中点，若6AB =，8BC =，则线段CH 的长为（）A ．B C ．D 10．二次函数22y x x c =++的图象与x 轴的两个交点为()1,0A x ，()2,0B x ，且12x x <，点(),P m n 是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A ．当0n >时，1m x <B ．当0n >时，2m x >C ．当0n <时，0m <D ．当0n <时，12x m x <<二、填空题11．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中2a =，3b =，6c =，则d 的值是．12．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是.13．设点P 是线段AB 的黄金分割点2AP BP BP <=（），厘米，那么线段AP 的长是厘米．14．如图，用一个半径为3cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了100︒，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm ．15．如图，在三角形纸片中，80A ∠=︒，6AB =，8AC =．将ABC V 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有．（请在横线上填上符合条件的序号）16．如图，正六边形ABCDEF 的边长是3，点M 、N 是正六边形ABCDEF 边BC 和边CD 上的动点，且满足BM CN =．点P 是BC 的中点．（1）AQB ∠=．（2）线段PQ 的最小值是．三、解答题17．已知线段a 、b 、c 满足::3:2:4a b c =，且211++=a b c ．(1)求a 、b 、c 的值；(2)若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．18．如图，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C 都可使小灯泡发光．(1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．(2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．19．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，DE AB ⊥于点E ．(1)求证：ADE ABC △△∽；(2)4AC =，5AB =且3AD =，求AE 的长．20．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为()21y ax a x b =+++，其中4a b -=．(1)若此函数图象过点()1, 3，求这个二次函数的表达式．(2)若()11,x y 、()22,x y 为此二次函数图象上两个不同点，当122x x +=时，12y y =，求a 的值．(3)若点()1,t -在此二次函数图象上，且当1x ≥-时y 随x 的增大而增大，求t 的范围．21．如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC V 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．(1)画出ABC V 绕点O 顺时针旋转90°后的111A B C △(2)求点A 旋转到点1A 所经过的路线长．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，连接DE ，点F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠，求证：ADF DEC ∽△△．23．综合与实践【问题提出】勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P 将线段AB 分成两部分（AP BP >），若BP AP AP AB=，则称点P 为线段AB 的黄金分割点，这个比值称为黄金比．【初步感知】（1）如图1，若1AB =，求黄金比AP AB的值．【类比探究】（2）如图2，在ABC V 中，D 是BC 边上一点，AD 将ABC V 分割成两个三角形（ABD ACD S S >），若ACD ABD ABD ABCS S S S =△△△△，则称AD 为ABC V 的黄金分割线．①求证：点D 是线段BC 的黄金分割点；②若ABC V 的面积为4，求ACD 的面积．【拓展应用】（3）如图3，在ABC V 中，D 为AB 上的一点（不与A ，B 重合），过D 作DE BC ∥，交AC 于E ，BE ，CD 相交于F ，连接AF 并延长，与DE ，BC 分别交于M ，N ．请问直线AN 是ABC V 的黄金分割线吗？并说明理由．24．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BD DE的值；(3)在（2）的条件下，作EQ BD ⊥交BD 于Q ，若BC BD =，求出QD ED的值．。
湖南省郴州市2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题
湖南省郴州市2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列各数中，最大的数是（）A ．2-B ．1-C ．πD ．42．2024年2月26日，中国航天科技集团发布《中国航天科技活动蓝皮书》．根据计划，明确了总体目标为2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．已知，地球和月球的距离大约为384400公里，数据384400用科学记数法表示为（）A ．60.384410⨯B ．438.4410⨯C ．53.84410⨯D ．63.84410⨯3．下列运算正确的是（）A ．325-+=-B ．3(3)6⨯-=C ．239-=D ．112--=-4．13--等于（）A ．13B ．13-C ．3D ．-35．小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数共有（）个A ．11B ．9C ．10D ．86．下列各式中符合代数式书写要求的有（）①2617x y ；②4m n ⨯；③m n ；④225a b -；⑤()2a b ⨯+；⑥2ah ⋅．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列各式中，与3ab c -是同类项的是（）A ．4acbB ．313acbC ．2323a b c-D ．22a b c8．下列说法中，正确的是（）A ．3x y-+是单项式B ．41x -是四次二项式C ．2πx -的系数为1-D ．233πx y 的次数是69．定义一种新运算：2a b b ab =-※，如：2233233=-⨯=※，则计算12-※的结果为（）A ．6B ．3C ．2D ．－110．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．如果12a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++ 的值是（）A ．152-B ．152C ．112-D ．112二、填空题11．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》中规定七年级男生引体向上做4个才算及格．如果把做了6个引体向上记为2+个，那么做了3个引体向上记为．12．若1x +与5互为相反数，则x =．13．计算：()()2024202511-+-=．14．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x 元购进一批肉粽，按进价增加20%作为售价，则肉粽的售价为元．（用含x 的代数式表示）15．当2x =-时，代数式2x x +的值是．16．多项式223x xy xy ++的次数为．17．如图所示是计算机的一个运算程序，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是．18．在一条可以折叠的数轴上，点A B ，表示的数分别是18-，7，如图，以点C 为折点，将此数轴向右对折，若点A 在点B 的右边，且3AB =，则C 点表示的数是．三、解答题19．计算题：(1)()()1153--+-．(2)()4202312243-⨯--÷+-．20．当4a =，32b =-时，求下列代数式的值．(1)4ab (2)22a b ab +-21．在下面的数轴上表示下列各数：2+，112-，()3.5--， 2.5--并用“<”把这些数连接起来．22．阅读下面解题过程：计算：()125115533⎛⎫-÷-⨯÷⎝⎭解：原式()51533⎛⎫=-÷-⨯ ⎪⎝⎭①()()155=-÷-②3=-．③(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错因是______，第二处是第______步，错因是______．(2)请你写出这道题正确的解答过程．23．如图，在一长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆的花坛，若圆形的半径为r 米，广场长为a 米，宽为b 米．(1)请列式表示广场空地的面积；(2)若休闲广场的长为200米，宽为100米，圆形花坛的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留π）．24．刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从M 地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：6+，3-，5+，4-，7+，5-，2-，8+，2+，8-，6-，5+，3-．(1)测试结束时，该车在M 地的哪个方向？求此电车与M 地的距离；(2)若电车每千米耗电0.03度，求该车在测试过程中共耗电多少度．25．如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有2132+=个黑白小正方形，图（3）中共有21353++=个黑白小正方形，图（4）中共有213574+++=个黑白小正方形，回答下列问题：(1)根据前四个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：______；(2)根据规律，第50个图比第49个图多______个小正方形；(3)根据上述得出的方法和规律，计算：135197199+++⋅⋅⋅++的值．26．李华是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如555÷÷，()()()()2222-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方．李华把555÷÷记作()3,5f ，()()()()2222-÷-÷-÷-记作()4,2f -．(1)直接写出计算结果，13,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______，()4,3f =______；(2)李华深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式(),f n a （n 为正整数，0a ≠，2n ≥），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含,a n 的式子表示）(3)请利用第（2）小问中得出的推导公式计算：()()115,4,35,26,32f f f f ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
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名次 升降 班级 姓名 总分 103 1 1 贝太伟 302.6 104 -7 4 吴衍国 283.6 105 -7 3 胡家伟 280.4 106 -12 1 程惠玲 280 107 -11 3 杜 建 277.6 108 -16 2 杨新新 276 109 10 2 王新媛 272.8 110 20 1 刘立虎 270 111 1 4 张林松 266.4 112 -17 2 高天然 261.8 113 27 2 王成旭 260.8 114 -4 1 朱晓博 259.2 115 2 1 王亚男 257.6 116 -16 3 周艳艳 254.4 117 -3 3 孙作健 253.4 118 4 3 曹荣玉 247.6 119 -28 3 王 杰 245.4 120 19 2 娄兹龙 243.8 121 16 2 李 健 242.6 122 -2 1 娄 鹏 240.6 123 -14 4 杨 倩 237.8 124 -37 4 杨 娜 237.2 125 -4 2 陈玉强 236.2 126 20 3 侯庆朋 233.8 127 -12 1 朱传勇 233.2 128 67 3 王 琦 233.2 129 3 1 李公龙 232.8 130 -12 1 张 杰 231.2 131 0 3 冯玖华 229.8 132 -3 2 孙春花 225.6 133 -17 4 娄玉庆 225.2 134 0 3 户道广 218.4 135 -11 2 张德强 217.8 136 -13 4 杨文文 215.4 137 7 2 刘帅 210.2 138 -39 3 贝冯冯 209.2 139 -4 2 张 国 209.2 140 10 4 刘加栋 200 141 -3 4 王国胜 198 142 -17 3 程振齐 196.6 143 -1 2 王瑾玉 177 144 11 4 张 伟 151.6 145 31 1 刘 霞 148.4 146 8 3 张庆国 147.4 147 13 3 赵延飞 133 148 -3 1 赵奉功 119.6 149 13 2 司延辉 90.8 150 -1 4 刘莹莹 0 151 0 1 程梦娇 0 152 -9 4 娄西胜 0 153 0
名次升降 班级 姓名 总分 52 6 3 朱 彤 404.2 53 7 2 朱露露 403 54 -18 4 杨汝霞 401.2 55 -7 4 张 义 400.2 56 7 2张 睿 397 57 10 4 刘 燕 394.6 58 3 4 周中刚 393.6 59 -17 3 王传林 393.6 60 2 4 王璐璐 392.6 61 -11 4 李兴浩 387 62 9 1 王建荣 385.2 63 -6 4 赵君岩 384.2 64 4 2 杨 磊 384.2 65 -10 4 赵盼盼 383.2 66 -10 3 侯可新 381.4 67 -14 3高 贺 380 68 10 1 郑慧凤 379.2 69 -10 1 娄玉星 377.4 70 10 1 杨培争 372.6 71 6 2 刘菲菲 372.4 72 17 2 魏婷婷 370.8 73 8 2 邱化贞 370 74 5 1 赵修振 369.4 75 15 3 马聪聪 369 76 -12 2 曹金芳 366.2 77 5 4 赵晓洋 359 78 5 4 程艳平 356.4 79 -3 3 贾迎新 356.2 80 4 1 张 伟 355.2 81 -11 4 张立广 350.6 82 -16 4 张莹雪 349.2 83 24 3 刘吉祥 346.8 84 -12 4 朱春晓 346.4 85 43 4 邓冬梅 345.2 86 41 4 娄志杰 344 87 -13 1 娄天鑫 343.6 88 17 4 王栋栋 339.6 89 -4 2 司延胜 338.4 9326.2 92 21 4 李衍治 324.8 93 13 2 蒋绪福 321 94 7 4 杜春秋 320 95 41 2 程志鑫 317.8 96 7 1 郑艳艳 317.2 97 29 3 娄方俊 317 98 13 1 李慧雯 316.6 99 -11 2杨 俊 313 100 -27 1 侯金焕 311.4 101 7 3 司新丽 305.6 102 -9 3 赵立岩 304.8
名次升降 154 -21 155 6 156 46 157 -16 158 16 159 -11 160 6 161 23 162 -3 163 31 164 17 165 2 166 9 167 -11 168 -11 169 -6 170 -12 171 -3 172 15 173 5 174 -10 175 -28 176 14 177 12 178 -1 179 0 180 -7 181 2 182 11 183 -14 184 -14 185 0 186 -14 187 -35 188 -8 189 -24 190 -19 191 -9 192 -6 193 -1 194 -3 195 6 196 1 197 1 198 -2 199 0 200 0 201 -99 202 -14 203 0
班级 姓名 总分 名次升降 班级姓名 总分 4司 戈 632.6 1 4 3 贾晓倩 500.8 4 孙明明 630.8 2 -1 4 程美苓 500.4 2 娄文华 619.2 3 3 2 秦业思 498.6 3娄 伟 616 4 18 1 秦晓艳 496.4 3 胡新宇 614 5 2 2 孙灵芝 491.4 4 朱浩然 613.2 6 -4 1 刘道杰 484.2 4 娄文芝 609.2 7 14 2周 栗 484 2赵 飞 604.2 8 7 1 陈瑞栋 482.4 1 周兰慧 601.8 9 17 4 周泽政 478.6 4 杨明雁 597.2 10 -6 2 陈胜男 476.6 1 曹宇文 597 11 3 1 胡胜楠 476.2 3邱 洁 595.8 12 8 3 王志强 476 2邱 行 594.8 13 -1 1 王 欣 475.8 1 娄新华 593.4 14 -11 4 娄志勇 475.4 1孙 娜 592 15 -6 3 索华鑫 475.2 3 朱传杰 591.6 16 0 3 刘艳茹 474.6 1 师兰馨 590.4 17 -4 3 周广雨 471.4 3 娄子山 589.4 18 6 2 胡元亮 470.8 3 陈婷婷 585.6 19 -11 1 韩 松 470.2 1高 洁 585.4 20 3 3 周新新 469.8 3 娄思佳 582.8 21 -10 1 王智敏 469 4 孙会胜 582.4 22 13 3 赵雪梅 467.8 3李 珂 576.2 23 -5 2 司晓旭 463 4王 真 575.4 24 5 2 杨玲玲 458 1 杨立凯 575 25 9 4 娄君霞 457.2 2 冯冰芝 571 26 -16 3 冯广福 455.4 3 冯广议 563.2 27 18 1陈 恒 455 1 刘洪欢 559.4 28 15 1 王文娟 454.4 2 朱丽潇 557 29 8 2 秦晓蒙 451.4 1 刘庆喜 553 30 -11 3 郑玉欣 448.6 2 陈新新 552.8 31 -14 3 郑 伟 442.6 2 张林超 551.6 32 -7 2 潘从晖 441.8 4 周如霞 548.2 33 -1 4 娄晓红 437 4 朱秋梅 546.8 34 13 4 赵新梅 436.8 4梁 博 542.6 35 11 1 刘 静 435.8 4 杨洪志 542.2 36 5 1 赵英杰 435.4 4 左吉伟 533.6 37 -10 1 娄玉强 431 4王 霞 532.8 38 -8 1 高晓燕 428.8 1 冯桂茹 532 39 -1 2 娄吉强 426.8 3李 杰 531 40 9 2 杨 明 426.6 1 赵震霄 529 41 -13 4 赵奉丹 423.2 2 贾路平 526.2 42 2 2 杨明珠 422.6 3 李风雪 524.8 43 -12 3 娄丙政 417.8 2 蒋玉晓 523.8 44 -11 3 张 琳 414.6 1 高存志 520.2 45 -6 2 柴善鑫 412.8 1 赵赛楠 518.6 46 19 1 孙会明 411.8 3 王晓慧 511.8 47 4 1 程芳圆 410.4 3 秦蓉蓉 507.6 48 6 3 张言明 409 2娄 帅 502.4 49 20 2 任传水 408.4 3王 钰 501.6 50 2 2 朱厚增 408.2 3 娄冬立 500.8 51 -11 1 赵建鹏 406.8