江苏省南京市秦淮中学2021届高考数学二轮复习热点专练-4 排列组合

南京市秦淮中学高三二轮复习2021年2月27
热点专练4 排列组合
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A ．1360
B ．16
C ．715
D ．115
2．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有
A ．36种
B ．48种
C ．72种
D ．144种
3 在探索系数A ，ω，ϕ，,b 对函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>图象影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，且已知其中有一步是向右平移3
π个单位，则变换的方法共有（ ）
A. 6种
B. 12种
C. 16种
D. 24种
4. 若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
5．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）
A．26 B．24 C．20 D．19
6．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（）
A．
19
219
10
20
2C C
C
B．
19
218
10
20
2C C
C
C．
19
218
10
20
C C
C
D．
19
219
10
20
C C
C
7．学校举行秋季运动会，高一（1）班选出5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学参加，则甲不参加跳绳比赛的概率为（）
A．2
5
B．
12
25
C．
31
60
D．
2
3
8.某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（）
A ．36
B ．48
C ．144
D ．288
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A ．13111213C C C C
B ．3
324A C C ．222413A C C
D ．18
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；
B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A ．若A 、
B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法
C ．若A 在B 左边有60种排法
D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法
12.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )
A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种
B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）
14若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个.
15．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
16.在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种
南京市秦淮中学高三二轮复习2021年2月27
热点专练4 排列组合
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A ．1360
B ．16
C ．715
D ．115
【答案】B
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A ．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A 种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A 种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为53
76A A ．所以所求的概率537681016A A P A ==，故选：B ． 2．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO 或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有
A ．36种
B ．48种
C ．72种
D ．144种
答案：C
解析：21114
32272C C C C =． 3 在探索系数A ，ω，ϕ，,b 对函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>图象影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响
是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数
()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，且已知其中有一步是向右平移3
π个单位，则变换的方法共有（ ）
A. 6种
B. 12种
C. 16种
D. 24种 【答案】B
【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移3
π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前， 所以变换的方法共有4422
12A A =种，故选：B. 4. 若把单词“error "的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
【答案】 C 【解析】将5个字母排成一排，可分三步进行：第一步：排e ,o ，共有2520A =种排法；
第二步：排三个r ，共有3
31C =种排法；∴将5个字母排成一排共有20120⨯=种排法， ∴可能出现的错误写法的种数为20119-=种；故选：C.
5．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B 向结点A 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A ．26
B ．24
C ．20
D ．19
【答案】D
【详解】依题意，首先找出A 到B 的路线，①单位时间内从结点A 经过上面一个中间节点向结点B 传递的最大信息量，从结点A 向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B 最大传递分别是4个和3个，此时信息量为347+=个．
②单位时间内从结点A 经过下面一个中间结点向结点B 传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B 最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B ，所以此时信息量为6612+=个．
③综合以上结果，单位时间内从结点B 向结点A 传递的最大信息量是346619+++=个． 故选：D ．
6．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ）
A ．1921910202C C C
B ．1921810202
C C C C ．192181020C C C
D ．192191020
C C C 【答案】A
【详解】从18护士，2名医生中任取10人有1020C 种，2名医生恰好被分在不同医院有19
2192C C 种，所
以2名医生恰好被分在不同医院的概率为1921910202C C C ，故选：A 7．学校举行秋季运动会，高一（1）班选出5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学参加，则甲不参加跳绳比赛的概率为（ ）
A ．25
B ．1225
C ．3160
D ．23
【答案】D
【详解】依题意5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再
排列，①5人分为：1,1,3，则有3353
60C A =种；②5人分为：1，2,2，则有2235332290C C A A =种，所以一共有6090150+=种分法；
甲同学有2种参赛方法，其余四名同学，若只参加其余两个项目，则将四名同学分为两组，分组方
案有221424227C C C A +=种，再将其分到两个项目中去，分配方法有22714A =种； 若剩下的四名同学参加3个项目，则将其分成3组，再分到3个项目中去有234336C A =种，所以一
共有()21436100⨯+=种，所以概率10021503
P ==故选：D 8.某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（ ） A ．36
B ．48
C ．144
D ．288 【答案】D
【详解】先将语文、数学、英语排在第二节，有336A =种排法，将物理和政治，化学和地理，生物
和历史分别“捆绑”，有222
2228A A A =种排法，将捆绑后的三个元素排在三天，有336A =种排法，则不同的排课方案的种数为686288⨯⨯=种.故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）
A ．13111213C C C C
B ．3
324A C C ．222413A C C
D ．18 【答案】BC
【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，
有2种解法：
（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有3324A C 种；
（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放
入选出的小盒中，有2413C C 种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有2
22413A C C 种；故选：BC ．
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；
B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【答案】ABC
【解析】对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种
方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A 正确； 对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确；
对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有2
2A 种方法.所
以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确； 对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222
C C C C A A ⋅种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有22114642142222
1080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 故选：ABC .
11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A ．若A 、
B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法
C ．若A 在B 左边有60种排法
D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法
【答案】BCD
【解析】对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由
分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；
对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323
472A A =种，
所以B 正确；
对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602
A =种，所以以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最
左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，
最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有41134
33378A A A A +=种，所以D 正确， 故选：BCD
12.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是( )
A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种
B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案
C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案
解析 若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有45种，A 不正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按2∶1∶1∶1分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案
有C 25A 44＝240(种)，B 正确；若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人
安排在礼仪岗位，其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有C 25A 33＝60(种)，C 正确；
若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的
方案有A 22A 23＝12(种)，D 正确.故选BCD.
答案 BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）
【答案】260
【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：()
5411380⨯⨯⨯+=种，当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：()
54312180⨯⨯⨯+=种， 所以不同的种植方案共有80180260+=种，故答案为：260
14若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个. 【答案】20
【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5， 当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有
22
2A
=个；
当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有
2
3
6A
=个；
当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有24
12A
=个；
所以“伞数”共有20个， 故答案为：20
15．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答) 答案 114
解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23
A 22·A 33＝90(种)，A ，
B 住同一房间有
C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，
根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．
16.在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种 【答案】35 60
【详解】由题意，7科中任选3科，即3
7765
35321
C ⨯⨯=
=⨯⨯.
分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有122
2
4212C C C =种； 第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则212
2
4348A C A =种，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的
+=.故答案为：35；60
选法有124860
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列、组合的应用，属于中档题.常见排列数、组合数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.。