吉林实验中学2018年届高三上学期第二次月考数学(理)试题含解析

高三年级第二次月考数学(理科)试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：因为，，所以，.选.
考点：集合的运算
2. 已若＋3－2i＝4＋i，则等于( )
A. 1＋i
B. 1＋3i
C. －1－i
D. －1－3i
【答案】B
【解析】∵＋3－2i＝4＋i，
∴。

选B。

3. 下列说法不正确
．．．的是( )
A. 命题“对,都有”的否定为“,使得”
B. “”是“”的必要不充分条件；
C. “若，则” 是真命题
D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题是“甲考试及格”,是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为
【答案】D
【解析】试题分析：由全称命题的否定可知，命题“对,都有”的否定为
“,使得”，A选项说法正确；当时，，则，若，则，则，由不等式的性质可知，因此“”是
“”的必要不充分条件，B选项说法正确；考查命题“若，则”的逆否命题“若，则”的真假性，显然，命题“若，则”为真命题，因此，命题“若，则”为真命题，故C选项说法也正确；命题“至少有一位学生不及格”的否定是“两位学生都及格”，其否定的表示为“”，因此命题“至少有一位学生不及格”的表示为，故D选项说法错误，故选D. 考点：1.全称命题的否定；2.充分必要条件；3.四种命题；4.复合命题
4. 函数的零点所在的一个区间是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：，根据零点存在定理，可知．在区间（0,1）内存在零点，故选C．
考点：零点存在定理．
5. 设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
考点：1．对数；2．大小比较．
6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中不正确
．．．的是（）
A. 若,,,则
B. 若,,,则
C. 若, ,则
D. 若, , ,则
【答案】D
【解析】选项A中，由于，故，又，故，A正确；
选项B中，由得或，又，故只有，故B正确。

选项C中，由面面垂直的判定定理可得C正确。

选项D中，由题意得的关系可能平行、相交、垂直。

故D不正确。

综上可知选项D不正确。

选D。

7. 已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的
体积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成.
8. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由程序框图知，程序输入的函数是有零点的奇函数，在四个选择支中只有B、D是奇函数，只有D有零点．故选D．
考点：程序框图．
9. 设，满足约束条件，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出可行域，令画出直线，平移直线，由于，直线的截距最小时最小，得出最优解为，，选A.
10. 已知函数，且，，则函数图象的一条对称轴的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
...........................
，因此
，因此函数的对称轴为直线，取，则直线是
函数
的一条对称轴，故选A.
考点：三角函数图象的对称性
11. 已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设P，则，，
所以，，，
则，
因为，所以，所以，
所以，所以，所求范围为。

选B．
点睛：椭圆的另一定义为：平面内到定点的距离与到定直线的距离比等于小于1的正常数的点的轨迹为椭圆，其中定点为椭圆的焦点，定直线为相应的准线。

解题的关键是设出点P的坐标，利用椭圆的定义将有关线段的长度用点P的横坐标来表示，将问题转化为函数的问题解决。

12. 已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当
时，，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是（）
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】∵当时，，
∴，
又是定义在上的偶函数，
∴。

∵，
∴，
∴函数是周期为4的函数。

由，得，
∴函数的图象关于点(1,0)对称。

画出函数在上的图象如图所示。

由图象可得，若在上有5个根，则必有或。

①当时，可得；
②当时，根据二次函数图象的对称性可得4个根的和为0+8=8。

综上可得5个根的和为10。

选C。

点睛：本题若直接求解则会无从下手，结合条件，可将问题结合函数的图象进行求解。

解题的关键有两个：一是准确画出函数的图象，从函数的奇偶性、对称性、周期性出发，规范地画出图象；二是结合图象，将方程有5个根的问题转化成函数值的大小的问题，同时利用函数图象的对称性将问题解决。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。

【答案】
【解析】∵，∴。

∴。

设曲线在点处的切线倾斜角为，则，
又，∴。

答案：
14. 已知函数则=___________．
【答案】
【解析】由积分的运算法则可得。

答案：。

点睛：求定积分时要根据被积函数的特点选择相应的方法，一般有以下两种策略：
（1）运用微积分基本定理求解，即利用，求解的关键是找到函数，且；
（2）运用定积分的几何意义求解，一般是对于被积函数为形式的定积分长转化成圆的面积求解。

15. 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(-)·(+-2)=0，则
ABC的形状一定为___________.
【答案】等腰三角形
【解析】∵,
,
又,
∴,
∴，故。

∴ABC一定为等腰三角形。

答案：等腰三角形
16. 对于任意实数，定义.定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是为_________ .
【答案】
【解析】由题意可得，又，故函数是周期为4的函数。

画出函数的图象如图所示。

令，则方程恰有两个根等价于函数和函数的图象恰有两个公共点。

①当直线经过原点和点A,A1时，图象有两个公共点，满足条件，此时
或。

此时的取值为。

②当直线在y轴右侧与的图象相切时，可得，又当直线经过点B时，，两图象有3个公共点，不和题意，此时的取值范围为。

根据为偶函数得，当直线在y轴左侧与的图象有2个公共点时，的取值范围为。

综上，实数的取值范围为。

答案：。

点睛：利用函数图象解题仍是解决本题的关键，由题意可得函数f（x）是周期函数，从而作出函数f（x）与y=mx的图象，再结合图象求出临界点所形成的直线的斜率，从而得到答案，解题中还要注意导数几何意义的应用．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知向量，，设函数
．
（1）求函数的单调增区间；（2）已知的三个内角分别为若，
，边，求边．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，把看做一个整体，代入正弦函数的增区间求得x的范围即为所求；（2）根据求得，故
，利用正弦定理可求得的值。

试题解析：
．
∵R，由
得……… 6分
∴函数的单调增区间为．
（2）∵，即，
∵角为锐角，得，
又，
∴，
∴
∵，
由正弦定理得
18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n(n∈N*)，数列{a n}满足a n＝4log2b n＋3(n∈N*).
(1)求a n，b n； (2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.
【答案】(1) b n＝2n－1，n∈N*.(2) T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
【解析】试题分析：第一问利用数列的项与和的关系，，先求出当
时的关系式，再去验证时是否成立，从而确定出最后的结果，将代入题中所给的式子，化简求得，所以数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求得其和．
试题解析：（1）由S n=2n2+n，可得
当时，
当时，符合上式，所以
由a n=4log2b n＋3可得=4log2b n＋3，解得．
（2）
∴①
②
①-②可得
∴．
考点：求数列的通项公式，错位相减法求和．
【思路点睛】该题考查的是数列的综合问题，在求数列的通项公式时，需要应用数列的
项与和的关系，在求解的过程中，需要对时对的式子是否成立，求数列的通项公式时需要对指对式的互化要熟练掌握，第二问，在对数列进行求和时，应用错位相减法求和，而应用错位相减法对数列求和的步骤是比较关键的，需要加强．
19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，且，
，，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）。

【解析】试题分析：（1）根据条件可得，两两垂直，因此可建立空间直角坐标系，然后将平面的问题转化成用向量证明，的问题；（2）求出平面，平面的法向量，利用两向量的夹角求出二面角的平面角。

试题解析：
（Ⅰ）证明：因为侧面底面，且，，
所以，，，
如图，以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，是的中点，则有，，，
，，
于是，，，
因为，，
所以，，且，
因此平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则所以
不妨设，则，
，
由图形知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为。

点睛：（1）向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．
（2）用向量法解题的主要步骤为：建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
（3）求平面间的夹角的方法就是分别求出两个平面的法向量，通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为[0,π]，所以在求得两向量的夹角后还要根据图形判断二面角的大小.
20. 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值.
【答案】（I）;（II）所以的最大值为6.
【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，设椭圆E的标准方程
，由已知，，由此能求出椭圆E的标准方程；第二问，由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，=4，设直线AB的方程为，且，由，得，由此利用弦长公式能求出的最大值．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
由已知得，
又点在椭圆上，
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可知，四边形为平行四边形=4设直线的方程为，且
由得
=+==
==
令，则==，
又在上单调递增
的最大值为
所以的最大值为6．
考点：椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．
21. 已知函数.
（I）当时，求在处的切线方程；
（II）设函数，
（ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围。

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）;（ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）对函数求导，求出，即可求出切线方程；
（2）（ⅰ）分离参数得，由函数的单调性可知，
，可求得;（ⅱ）研究函数的单调性，求出函数在区间上的最大值即可.
试题解析：（1）当时，定义域，
，又
在处的切线方程4分
（2）（ⅰ）令
则
即
令，
则
令
，
，在上是减函数
又
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当函数有且今有一个零点时，9分
（ⅱ）当，，若只需证明
令得或
又，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又，
即
13分
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值、最值、函数零点.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22. 已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点。

（I）写出圆的直角坐标方程；
（II）求的值.
【答案】（I）圆的直角坐标方程为;（II）=. 【解析】试题分析：（1）根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）由题意可得点A在直线（t为参数）上，把直线的参数方程代入曲线C的方程可得．由韦达定理可得，根
据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=的值
试题解析：（1）由，得
，，
即，
即圆的直角坐标方程为；
（2）由点的极坐标得点直角坐标为，
将代入消去、，整理得，
设、为方程的两个根，则，
所以.
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程
23. 已知函数
（I）当时，解不等式.
（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；（2）根据绝对值不等式的性质得，因此将问题转化为恒成立，借此不等式即可。

试题解析：
（Ⅰ）由得，，或，或
解得：
所以原不等式的解集为 .
（Ⅱ）由不等式的性质得：，
要使不等式恒成立，则
当时，不等式恒成立；
当时，解不等式得。

综上。

所以实数的取值范围为.。