【精品】高中数学学业分层测评20含解析北师大版选修2_1

学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
【解析】 点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．
【答案】 D
2．已知双曲线方程为x 2
－y 2
4
＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有
L ( )
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
【解析】 因为双曲线方程为x 2
－y 2
4＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)
并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．
【答案】 B
3．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p
2，即
x ＝y ＋p 2
，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，
所以y 2－2py －p 2
＝0， 所以
y 1＋y 2
2
＝p ＝2，
所以抛物线的方程为y 2
＝4x ，准线方程为x ＝－1. 【答案】 B
4．过双曲线2x 2
－y 2
＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 由2x 2
－y 2
＝2得x 2
－y 2
2＝1，∴a 2＝1，b 2
＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a
＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b
2
a
＝4，由|AB |＝4
可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．
【答案】 C
5．设双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1只有一个公共点，则双曲线的离
心率为( )
A.54 B ．5 C.52
D ． 5
【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2
＋1相切，联立方
程得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y ＝x 2
＋1，
整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2
－4＝0，解得k ＝±2，即b
a
＝2，故双曲
线的离心率e ＝c
a
＝
a 2＋
b 2
a 2
＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2＝ 5.
【答案】 D 二、填空题
6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2
＝1的交点坐标为________．
【解析】 联立方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋4，
x 2－y 2
＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2
＝1，则x ＝－178
，代入
y ＝x ＋4得y ＝158
.
故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2
＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158.
【答案】 ⎝
⎛⎭
⎪⎫－178，158
7．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2
＋2y 2
＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．
【导学号：32550096】
【解析】 当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2
＋2y 2
＝2有两个公共点，舍去；
当直线l 斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2＋2(kx ＋2)2
＝2，整理得(2k 2
＋1)x 2
＋8kx ＋6＝0，
由Δ＝64k 2
－4×6×(2k 2
＋1)＝0，解得k ＝±6
2
. 【答案】 y ＝
62x ＋2或y ＝－6
2
x ＋2 8．已知抛物线y 2
＝4x ，过点Q (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 2
1＋y 2
2的最小值是________．
【解析】 设直线AB
的方程为ty ＝x －4(t ∈R )，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，
ty ＝x －4，
得x 2－(8＋4t 2
)x
＋16＝0，Δ＝(8＋4t 2)2
－4×16＝64t 2
＋16t 4
≥0，∴x 1＋x 2＝8＋4t 2
≥8，∴y 2
1＋y 2
2＝4(x 1＋
x 2)≥32.
【答案】 32 三、解答题
9．已知双曲线C ：2x 2
－y 2
＝2与直线l 上一点P (1,2)．求直线l 的斜率k 为何值时，l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点？
【解】 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2
)x 2
＋2(k 2
－2k )x －k 2
＋4k －6＝0，
当k ＝±2时，方程组有唯一解． 当k ≠±2时，由Δ＝0，得k ＝3
2
.
所以当k ＝±2或k ＝3
2
或k 不存在时，l 与C 只有一个交点．
如图，当2＜k ＜3
2或k ＜－2或－2＜k ＜2时，l 与C 有两个交点．
当k ＞3
2
时，l 与C 无交点．
10．已知椭圆x 23＋y 2
2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与
椭圆相交于A ，B 两点．
(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．
【解】 (1)由x 23＋y 2
2＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.
∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 23＋y 2
2
＝1，y ＝x ＋1，
消去y 得5x 2
＋6x －3＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 2
2＝
－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25(或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝2
5
)，∴中点坐标为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35，25. (2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12
＝22＝2， |AB |＝1＋k 2
l ·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
835
， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝46
5，
∴△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.
[能力提升]
1．曲线x 2
＋4y 2
＝52与x 2
＋y 2
＝37的交点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
【解析】 将方程x 2
＋4y 2
＝52与x 2
＋y 2
＝37相减可得3y 2
＝15，则y 有两个值，依据任何一个曲线方程可知y 的一个值对应两个x 值，因此，两曲线共有4个交点．
【答案】 A
2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交
C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.334 B ．938
C.6332
D ．94
【解析】 由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan 30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －3
4
.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝33x －34 ①
y 2＝3x ②
将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝21
2，
∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋3
2
＝12.
又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝
3413
＋1＝38
. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝9
4.
【答案】 D
3．已知双曲线x 2
－y 2
3＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB
的中点，则直线AB 的斜率为________．
【解析】 法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由
⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x －＋1，x 2－y 2
3＝1，
得(3－k 2
)x 2
＋(4k 2
－2k )x －4k 2
＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 2
3－k
＝4，∴k ＝6.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，
y 1＋y 2＝2，且x 21
－y 21
3
＝1，x 2
2
－y 22
3
＝1.
两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 1－y 2
y 1＋y 2
3
.
显然x 1－x 2≠0， ∴
y 1－y 2
x 1－x 2＝x 1＋x 2
y 1＋y 2
＝6，即k AB ＝6.
【答案】 6
4．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 2
12
＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋。