湖南省长沙市重点中学2014届高三第七次月考数学理试卷Word版含答案

湖南省长沙市重点中学2014届高三第七次月考
数学理试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、若集合{1234}A =，，，，{2478}{1,3,4,5,9}B C ==，，，，，则集合()A B C 等于（ D ）
A. {2,4}
B. {1,2,3,4}
C. {2,4,7,8}
D. {1,3,4}
2、复数i z +=31，i z -=12，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点位于（ A ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于（ B ） A.20 B.(10,30)- C.54
D.(8,24)-
4、若3
tan 4α=，且sin cot 0αα⋅<，则sin α等于（A ） A. 35- B. 3
5
C. 45-
D. 45
5、已知命题1,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使
R ，.01:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使0
1:5sin ,:2>++∀=∈∃x x q x R x p 都有命题使，.0,:;25sin ,:2
+∀=∈∃x x x q x R x p 都有命题使给出下列结论：
①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题
③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ B ）
A ．②④
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（C ）
A. 34A 种
B. 31
33A A 种 C. 2343C A 种
D. 113
433C C A 种
7、设F 1，F 2是椭圆16
4942
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，
则21F PF ∆的面积为 （ D ）
A ．4
B ．24
C ．22
D ． 6 8、若n
x
x )1(+
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A ．10 B ．20
C ．30
D ．120
9、数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++=
=-+∈，则12
2014
111m a a a =+++
的整数部
分是（ ）B
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10、在平面直角坐标系中，(){}
(){}2
2,1,,4,0,340A x y x
y B x y x y x y =+≤=≤≥-≥
则()()(){}1
2
1
2
1
1
2
2
,,,,,,P x y x x x y y y x y A x y B =
=+=+∈∈所表示的区域的面积为
（ ）D A ．6 B ．6π+ C ．12π+ D ．18π+
二．填空题：共25分。

把答案填在答题卡．．．
中对应题号后的横线上。

11、 如图，
O 的两条弦AB ，CD 相交于圆内一点P ，若PA PB =，
2,8,4PC PD OP ===，则该圆的半径长为 ．
答案：24
12、曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧
⎨=⎩（θ为参数）上的点到曲线2C ：12112
x t y t
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪
⎩（t 为参数）上的点的最短离为 ．
答案：1
13、设,R x y ∈，且0xy ≠，则(
)22
2219x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
的最小值为 答案：16 14、计算
dx x 2
40
2-⎰的结果是 答案：π
15、已知()2,3P -是函数k
y x
=图像上的点，Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q 作直线，使其与双曲线k
y x
=只有一个公共点，且与x 轴、y 轴分别交于点C D 、，
另一条直线3
62
y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A B 、。

则（1）O 为坐标原点，三角形OCD 的面积为 （2）四边形ABCD 面积的最小值为
答案：（1）12 （2）48
16、已知数列{}n a 共有9项，其中，191a a ==，且对每个{}1,2,...,8i ∈，均有
112,1,2i i a a +⎧⎫
∈-⎨⎬⎩⎭。

（1）记3
92128
...a a a S a a a =
+++，则S 的最小值为 （2）数列{}n a 的个数为 答案：（1）6；（2）491 解析：令()1
18i i i
a b i a +=
≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a ，满足条件： 88
191
1
11i i i i i a a b a a +=====∏∏
，且()12,1,182i b i ⎧
⎫∈-≤≤⎨⎬⎩
⎭ 反之，由符合上述条件的八项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{}n a 。

记符合条件的数列{}n b 的个数为N ，显然，()18i b i ≤≤中有2k 个1
2
-
，2k 个2，84k -个1，且k 的所有可能取值为0,1,2。

（1）对于三种情况，易知当2k =时，S 取到最小值6；
（2）2244
86841491N C C C C =++=
0.01频率
组距
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本题满分12分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ) 求第四小组的频率；
(Ⅱ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求这两人的成绩在[80,90)内的人数的分布列及期望.
【解】（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率： 41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=
．…………………………….4分 (Ⅱ)设人数为x ， Ex=6
622130=⨯+⨯+⨯． ……………………………12分
18. (本小题满分12分) 已知函数)0(2
sin 2)sin(3)(2
>+-=
ωωωm x
x x f 的最小正周期为π3,当],0[π∈x
时，函数)(x f 的最小值为0. (Ⅰ)求函数)(x f 的表达式；
(Ⅱ)在ABC 中，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2
求且-+==的值.
【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅
-=
π
ωωω……2分
依题意函数.3
2
,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f
所以.1)6
32sin(2)(m x x f +-+=π
…………4分
分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(
2)(.0,.)(,1)6
32sin(21,656326,
],0[ -π
+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x
（Ⅱ）.1)6
32sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=π
πC C C f
22252,..863663622,,2sin cos cos(),
2
2cos sin sin 0,sin 1051
0sin 1,sin .12Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A ππππππ
π<+<+==∆+=
=+-∴--==-<<∴=而所以解得分
在中解得分
分
19、（本题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CD PD BC PB ⊥⊥,，且2=PA 。

（Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD ；
（Ⅱ）若F 为线段BC 的中点，E 为PD 中点.求点D 到平面EAF 的距离.
19．（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形， ∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥， ∴⊥BC 平面PAB ，
∴PA BC ⊥. ………………3分 同理PA CD ⊥， ………………5分
F
E D
C
A
B P
∴⊥PA 平面ABCD ． ………………6分 （Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系xyz A -， 则，，，)000(A ，，，)022(C (002)P ，，.
∵F 为BC 中点， ∴).012(，，F 同理，(011).E ，，
设n ),,(c b a =为平面EAF 的一个法向量， 则n AE ⊥，n AF ⊥．
又(0,1,1)AP =，),0,1,2(=AF
0,
20.
b c a b +=⎧∴⎨
+=⎩ 令,1=a 则2,2b c =-=.
得n (1,2,2)=-． …………10分 又),0,2,0(=AD
∴点D 到平面EAF 的距离4
3
AD ⋅=
=
n n
. …………12分 20、（本题满分13分）
容器A 内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B 内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A 内的盐水倒1升进入B 内，再将B 内的盐水倒1升进入A 内，称为一次操作；这样反复操作n 次，,A B 容器内的盐水的质量分数分别为,n n a b ，
（I ）问至少操作多少次，,A B 两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求n n a b 、的表达式。

解：（1）50
9
)515252(61,252)201451(5111=
⨯+==⨯+=a b ；……… 2分
30
426)5(61
,54111n n n n n n n n b a b a a b a b +=+=+=
+++；………………… 4分 32
}{),(3211=-∴-=
-∴++q b a b a b a n n n n n n 是的等比数列， 7.52lg 3lg 1
101log 1,1001)32(101321≈-=>-∴<⨯=-∴-n b a n n n ，
7≥∴n ，故至少操作7次； ………………… 7分
（2）n n n n n n n b b b b b )3
2(1003],4)32(101[51111⨯=-∴+⨯+=+-+ …… 9分
)()()(123121--++-+-+=∴n n n b b b b b b b b
2123222927[()()](),25100333100350
n n -=+⨯+++=-⨯+………… 11分
而1112127
()().10325350
n n n n a b --=+
⨯=⨯+ ………………… 13分
21、（本题满分13分）
设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与椭圆2
2
2
3(0)x y a a +=>相交于,A B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.
（I ）证明：22
2
3.3k a k
>+； （Ⅱ）若OAB CB AC ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程． 【解】（1）证明：由 (1)y k x =+得1
1.x y k
=
- 将1
1x y k =
-代入2223x y a +=消去x 得 22236
(1)30.y y a k k
+-+-= ① ………………………… 3分
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点得
222363
4(1)(3)0,
a k k
∆=-+->整理得2
23(1)3a k
+>，即2223.3k a k >+ ………5分
（2）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得122
63k
y y k +=
+ ∵2,AC CB =而点(1,0)C -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+ 得122y y =-代入上式，得22
6.3k
y k
-=+ ……………8分 于是，△OAB 的面积
||
23
||||21221y y y OC S =-⋅=
29||3k k =≤=+--------10分
其中，上式取等号的条件是2
3,k =即k = ……………………11分
由22
6.3k
y k -=
+
可得2y =
将2k y ==
2k y ==215.a =
∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y +=--------------13分
22、（本题满分13分） 已知函数()()()2
1ln ,02
f x x
g x ax bx a ==
+≠ （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2x
x x e
be x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；
（III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点,P Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12,C C 于点,M N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：（I ）依题意：.ln )(2
bx x x x h -+=
()h x 在（0,+∞）上是增函数， 1
()20h x x b x
'∴=
+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，
…………2分
1
2.1
0,则
2b x x
x x x
∴≤
+>+≥
(]
.22,∞-∴的取值范围为b
…………4分
（II ）设].2,1[,,2
∈+==t bt t y e t x
则函数化为
,
]2,1[222,12
.
4)2(2
2上为增函数在函数时即当y ，b b
b b t y ≤≤-≤-∴-+= 当t=1时，y m I n =b+1；
…………6分
,
]2,1[4,22
;
42,24,2212
min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b
b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-<
当t=2时，y m I n =4+2b …………8分
.
4
)(,24.1)(,222,2
b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ
当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +
…………8分
（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且
则点M 、N 的横坐标为.2
2
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为.2|12
12
121x x x k x x x +==
+= C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
…………9分
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =
,ln
ln ln )2()2()
(2
)()(2.
2
)(2
1
2
121212122212212221122121x x x x y y bx x a
bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即
……………10分
.1)
1(
2)(2ln 1
2
1
2
2
11212x x x x x x x x x x +-=+-=∴
设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=
u u
u u x x u 则 ……………… ① …………11分
[).
1
)
1(2ln ,
0)1()(,,1)(.0)(,1.)
1()1()1(41)(.1,1)
1(2ln )(2
2
2+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--
=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 这与①矛盾，假设不成立.
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. …………13分。