二次函数经典例题及答案

（ ）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为 D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的 垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（ ， ），△PBE的面积为 ，求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围.
，﹣3）或（1﹣
，﹣3）． 试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C 点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标． （2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐 标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式． （3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的 长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后 将=﹣x+3经过B、C
度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度， 从而得到点Q3的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-）， ∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2∵抛物线过点B（1，0），∴a（1+4）2-=0，解得a=
， 所以，抛物线解析式为y=
（x+4）2-， 即y=
x2+4x-
AD=
×5=
， 所以，OE3=9-
=
， ∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA， ∴△AQ3E3∽△ACO， ∴
， 即
， 解得Q3E3=
， 所以，点Q3的坐标为（-
，-
）， 综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2 -9，），Q3（-
，-
），使得△ADQ为等腰三角形．
2. 如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣
； （2）存在点Q1（-1，-4），Q2（2 -9，-
），Q3（-
，-
）． 理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-）， ∴点D的坐标为（-4，0）， 令x=0，则y=-
， 令y=0，则
x2+4x-
=0， 整理得，x2+8x-9=0， 解得x1=1，x2=-9， ∴点A（-9，0），C（0，-
）， ∴OA=9，OC=
x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求B、C两点坐标； （2）求此抛物线的函数解析式； （3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点坐 标，若不存在，请说明理由．
1）B（3，0）C（0，3）（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3） 存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+
处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由． （3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E， 使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐 标；若不存在，请说明理由
（1）y= x2﹣ x﹣4．C（0，﹣4）； （2）四边形APDQ为菱形； （3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（7，0）． 解析试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y= x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标． （2）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由 A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．
二次函数经典例题及答案
1. 已知抛物线的顶点为P（－4，－），与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C，其中B点坐标为（1，0）。 （1）求这条抛物线的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点 Q，使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．
（1） ，D（1，4）；（2） （ ）．
解析试题分析：（1）本题需先根据抛物线
经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入 抛物线
即可求出它的解析式． （2）本题首先设出BD解析式 ，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据 面积公式即可求出最大值． 试题解析：（1）∵抛物线
=8， 所以，OE1=OA-AE1=9-8=1， 所以，点Q1的坐标为（-1，-4）； ②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2， Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×
=
， AE2=AQ2•cos∠OAC=5×
=2 ， 所以，OE2=OA-AE2=9-2 ， 所以，点Q2的坐标为（2 -9，）； ③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3， 则AE3=
y=x2+4x - ；存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．析 试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式 y=a（x+4）2-，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解； （2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C 的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长 度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分 ①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质 求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出 AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作 Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦 求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过 Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长
， 解得：
， ∴所求抛物线的函数表达式是y=
x2﹣x+2． （2）①∵当x=0时，y=2， ∴点C的坐标为（0，2）． 设直线BC的函数表达式是y=kx+b． 则有
， 解得：
． ∴直线BC的函数表达式是y=﹣
x+2． ∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同， ∴PQ=yQ﹣yP=（﹣
x+2）﹣（
x2﹣x+2） =﹣
=
，即AE=
，∵EO平分∠AED，∴∠AEO=∠DEO，∵AO∥ED，∴∠DEO=∠AOE， ∴∠AEO=∠AOE，∴AO=AE，即
，解得m=
． 6. 如图，二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（–1，0），与y轴交于点C．若 点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运 动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）当P，Q运动t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点
×4×|y|=
×4×3 ∴y=3或y=﹣3 ①当y=3时，3=﹣x2+2x+3 ∴x1=0，x2=2 P（0，3）或（2，3） ②当y=﹣3时，﹣3=﹣x2+2x+3 ∴x1=1+
，x2=1﹣
∴P（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）． 因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）．
3．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6， 0），与y轴的交点是C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交 直线BC于点Q． ①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？ ②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由．
（ ）经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点∴把（﹣1，0）B（3，0）代 入抛物线得： ， ，∴抛物线解析式为：
，∵
=
，∴顶点D的坐标为（1，4）； （2）设直线BD解析式为： （ ），把B、D两点坐标代入，得：
，解得 5. 如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，点P（ ， ）（a是任意实数）在抛物线上，直线 经过A，B两点． （1）求直线AB的解析式； （2）平行于y轴的直线 交直线AB于点D，交抛物线于点E． ①直线 （0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG∶DE＝3∶4， 求t的值； ②将抛物线向上平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．
（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分 线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得 E坐标． 试题解析：（1）∵二次函数y=
，即DQ2=OD•DA． ∴（﹣
x+2）2=x（3﹣x）， 10x2﹣39x+36=0， ∴x1=
，x2=
， ∴y1=
×（
）2﹣
+2=
； y2=
×（
）2﹣
+2=
； ∴P（ ， ）或P（ ， ）． ∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（ ， ）或P（ ， ）．
4. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
（1） 所求抛物线的函数表达式是y=
x2﹣x+2．（2）当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大 值是1．（3）P（3，0）或P（
，
）或P（
，
）． 析试题分析：（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解 析式． （2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在 （1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求 出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数 就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值 以及相对应的x的取值． （3）分三种情况进行讨论： 当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立； 当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标； 当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出 DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次 函数式中即可得出P的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0）， ∴
=
﹣
，当
时，即 ，解得 ， ，当x=0时，y=2．∴A（0，2），B（4，0），C（ ，0），将点A、B的坐标代入 ，得：∴ ，解得：
，故直线AB的解析式为 ； （2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（ ， ），F（ ， ），∴DE=4，FG=
=
，∵FG：DE=3：4，∴
，解得
，
． ②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H， ∴
x2+
x =﹣
（x﹣3）2+1 ∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1． ②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合， ∴P（3，0） 当∠QOA=90°时，点P与点C重合， ∴x=0（不合题意） 当∠OQA=90°时， 设PQ与x轴交于点D． ∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°， ∴∠OQD=∠QAD． 又∵∠ODQ=∠QDA=90°， ∴△ODQ∽△QDA． ∴
1)
；（2）①1或3；②
． 解析试题分析：（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然 后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式； （2）①根据点E（2，5），D（2，1），G（ ，
），F（ ，
），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值； ②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，在 Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性 质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值． 试题解析：（1）∵P（ ， ）（a是实数）在抛物线上， ∴抛物线的解析式为
∴当x=0时y=3 当y=0时x=3 ∴B（3，0）C（0，3） （2）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C ∴
． ∴b=2，c=3． ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （3）当y=0时，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3． ∴A（﹣1，0） 设P（x，y） ∵S△PAB=S△CAB ∴
，AD=-4-（-9）=-4+9=5， 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=
∴sin∠OAC=
cos∠OAC=
， ①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，
根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×
， Q1E1=AQ1•sin∠OAC= ×
=4， AE1=AQ1•cos∠OAC= ×