江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题

江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集为U 定义集合A 与B 的运算：{*|A B x x A B =∈⋃且}x A B ∉⋂，则(*)*A B A =（）
A ．A
B ．B
C ．U A B
ðD ．U B A
⋂ð
2．已知向量a ，b 满足2a = ，b = ，且()
a b b +⊥r r r ，则a 与b
的夹角为（
）
A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
3．“22log log a b >”是“22a b >”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（
）
A ．36
B ．32
C ．28
D ．24
5．已知,0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且cos tan 1sin αβα=+，则sin(2)αβ+=（
）
A ．1
B C ．
2
D ．1
2
6．已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为()0r r >的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则r 的取值范围是（
）A ．(0,2]
B ．1,22⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C ．10,2⎛⎤ ⎥
⎝⎦
D ．10,4⎛⎤ ⎥
⎝⎦
7．设实数x ，y 满足32
x >，3y >，不等式()()3322
2338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（）
A ．12
B ．24
C ．
D ．
8．已知函数e x y ax =与ln y x x =+的图象有两个交点，则实数a 的取值范围为（）
A ．10,e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．20,e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭C ．1,e ⎛
⎫-∞ ⎪
⎝⎭D ．2,e ⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭二、多选题
9．若m ，n 为正整数且1n m >>，则（）
A ．3
58
8
C C
=B ．3
37
7
A C 4!
=C ．1
1C (1)C m m n n m n --=-D ．11
A A A m m m
n n n m -++=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 的公差为d ，则（
）
A ．137
13S S =B ．527
4S a a =+C ．若{}
n na 为等差数列，则1
d =-D ．若为等差数列，则1
2d a =11．在平面直角坐标系中，将函数()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转(090)αα<︒≤后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.那么（
）
A ．存在90︒旋转函数
B ．80︒旋转函数一定是70︒旋转函数
C ．若1
()g x ax x
=+为45︒旋转函数，则1a =D ．若()e
x bx h x =
为45︒旋转函数，则2
e 0b -≤≤三、填空题
12．()6
22x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中42x y 的系数为
．（用数字作答）
13．已知P 是双曲线22
:(0)84
x y C λλ-=>上任意一点，
若P 到C 的两条渐近线的距离之积为2
3
，则C 上的点到焦点距离的最小值为．
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.F 若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过1O ，2O ，设球1O ，2O 的半径分别为1r ，2r ，则
1
2
=r r .
四、解答题
15．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5BD =，60CBD ∠=︒.
(1)若1
sin 4
BCD ∠=
，求CD 的长；(2)若2AD =，求cos ABD ∠.
16．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，点M 是棱1CC 上一个动点（点M 与1,C C 均不重合）.
(1)当点M 是棱1CC 的中点时，求证：直线AM ⊥平面11B MD ；
(2)当平面1AB M 将正四棱柱1111ABCD A B C D -分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段
MC 的长度.
17．已知过点()1,0的直线与抛物线2:2(0)E y px p =>交于,A B 两点，O 为坐标原点，当直
线AB 垂直于x 轴时，AOB .(1)求抛物线E 的方程；
(2)若O 为ABC 的重心，
直线,AC BC 分别交y 轴于点,M N ，记,MCN AOB 的面积分别为
12,S S ，求
1
2
S S 的取值范围.18．七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型.有数组12,,,i a a a ⋯和数组122,,,i b b b +…，规定(12)j a j i ≤≤+与j b 相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设()P n 为i n =时，对于任意(1)j j n ≤≤都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数.(1)请直接写出(1),(2)P P 的值；(2)已知(1)(2)()(1)P n n P n nP n +=++-.
①对125,,,a a a …和127,,,b b b …进行随机配对，记X 为“正确配对”的个数.请写出X 的分布列并求()E X ；
②试给出(1)(2)()(1)P n n P n nP n +=++-的证明.
19．若一个两位正整数m 的个位数为4，则称m 为“好数”.(1)求证：对任意“好数”2,16m m -一定为20的倍数；
(2)若22m p q =-，且,p q 为正整数，则称数对(),p q 为“友好数对”，规定：()q
H m p
=
，例如222451=-，称数对()5,1为“友好数对”，则()1
245
H =，求小于70的“好数”中，所有“友好
数对”的()H m 的最大值.
参考答案：
1．B
【解析】根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.【详解】{*|A B x x A B =∈⋃ 且}x A B ∉⋂()()
U U
B A A B =I U I 痧(*)*[(*)][(*)]()()U U
U
A B A A A B A B A A B B A B
∴===I U I
I U I
痧故选：B
【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题.2．D
【分析】利用向量垂直的充要条件、向量的数量积运算以及夹角公式进行计算求解.
【详解】因为()a b b +⊥r r r ，所以()
0a b b +⋅=r r r ，即2
0a b b ⋅+= ，
又2a =
，b =
，所以
2,30a b b a b ⋅+=+=r r r r r
，
解得2
cos ,a b =- ，
又0,πa b ≤≤ ，则a 与b 的夹角为5π
6
.
故选：D.3．A
【分析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【详解】“22a b >”⇔“a b >”，“22log log a b >”⇔“0a b >>”，
“0a b >>”是“a b >”的充分而不必要条件，
故“22log log a b >”是“22a b >”的的充分而不必要条件，故选：A ．4．C
【分析】设每个直三棱柱高为a ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长
为b ，设正四棱台的高为h ，可得出21
32
113
abh b h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求出2a h 的值，即可求得该正四棱台的体积.
【详解】设每个直三棱柱高为a ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b ，
设正四棱台的高为h ，因为每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，
则21
32113
abh b h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得222222336a b h a h b h a h =⋅=⨯=，可得212a h =，所以，该正四棱台的体积为24341121628V a h =+⨯+⨯=+=.故选：C.5．A
【分析】切化弦后交叉相乘，由两角和的余弦公式变形后，结合诱导公式得2αβ+值，从而可得结论．
【详解】由题意cos sin tan 1sin cos αβ
βαβ
=
=+，∴cos cos sin sin sin αββαβ=+，
sin cos cos sin sin cos()βαβαβαβ=-=+，
∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0β>，∴cos()0αβ+>，∴0,2⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
παβ，
∴()2
π
βαβ++=，∴sin(2)1αβ+=．
故选：A ．6．C
【分析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，写出该玻璃球的轴截面的方程和抛物线的方程，两方程联立，只有一个解求解.
【详解】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，
当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为2(x y +()22
)0r r r -=>．
因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为2y x =，
代入圆的方程消元得：22
(12)0x x r ⎡⎤+-=⎣⎦，
所以原题等价于方程22(12)0x x r ⎡⎤+-=⎣⎦在[,]r r -上只有实数解0x =．因为由22(12)0x x r ⎡⎤+-=⎣⎦，得0x =或221x r =-，
所以需210r -≤或221r r ->，即1
2
r ≤或2(1)0r -<．因为0r >，所以1
02
r <≤，故选：C ．7．B
【分析】令23030a x b y =->=->，，不等式变形为
224323x y k y x +≥--，求出22
4323
x y y x +--的最小值，从而得到实数k 的最大值.【详解】3
2
x >
，3y >，变形为23030x y ->->，，令23030a x b y =->=->，，
则()()3322
2338123k x y x y x y --≤+--转化为
()()33228123233x y x y k x y +--≤--，即
224323
x y k y x +≥--，其中()(
)(
(
2
2
22
2
2
334323a b x y y x b a
b
a
+++=+≥+-
-1224
a b b a ⎛⎫
=+≥ ⎪⎝⎭
当且仅当3,
3
a b b a a b
=⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即3,6x y ==时取等号，可知24k ≤.
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．A
【分析】图象有两个交点可转化为()e x g x a =与ln ()1x
h x x
=+的图象有两个交点，作出函数图象并找出临界状态即可.
【详解】由题意，“函数e x y ax =与ln y x x =+的图象有两个交点”等价于“方程e ln x ax x x
=+有两个实数根”，等价于“方程ln e 1x
x
a x
=
+有两个实数根，即等价于“()e x g x a =与ln ()1x
h x x
=
+的图象有两个交点”，如图所示，
显然0a >，否则0a ≤时，()e x g x a =与ln ()1x
h x x
=+只有一个交点.另一个临界状态为()e x g x a =与ln ()1x
h x x
=
+相切时，不妨设两个曲线切于点()00,P x y ，又()e x g x a '=，21ln ()x h x x -'=，所以000
02
0ln e 11ln e x x x a x x a x ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=
⎪⎩
，可得00200ln 1ln 1x x x x -+=，即()2
0001ln 1x x x +=-，
又00x >，所以00ln 1x x =-，即00ln 10x x -+=，令()ln 1p x x x =-+，则1
()10p x x
'=
+>且(1)0p =，故()p x 在(0,)+∞上单调递增，因此1x =是()p x 唯一的零点，所以01x =，代入0
00ln e 1x x a x =
+，可得1e a =，所以1
0e a <<.则实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.故选：A.9．AD 【分析】
根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.
【详解】对A ：由组合数性质：C C m n m
n n -=可知，A 正确；
对B ：3
377
A C 3!
=，故B 错误；
对C ：C m
n m ()()()()()()1!!!
!!1!!1!!n n n m n m n m m n m m n m -=⨯
==⨯-----，
1
1
(1)C m n n ---()()()()1!11!!
n n m n m -=-⨯--，故1
1C (1)C m m n n m n --≠-，C 错误；
对D ：1A A
m m n n
m -+()()()()()!!!!
1!1!1!1!
n n n n m n m m n m n m n m n m =
+⨯=-+⨯+⨯
--+-+-+()()1!1!
n n m +=
=-+1A m
n +，故D 正确.
故选：AD.10．BD
【分析】A 选项，根据等差数列性质得到13713S a =，A 错误；B 选项，由等差数列性质得到352754S a a a ==+；C 选项，计算出()1112n n n a na nd a ++-=+，要想12nd a +为常数，则0d =，故C 不正确；D 选项，根据等差数列通项公式的函数特征得到102
d
a -=，D 正确.【详解】A 选项，()
1137
137********
2
a a a S a +⨯==
=，而77,S a 不一定相等，A 不正确；B 选项，因为()
1553552
a a S a +=
=，()273334445a a a d a d a +=-++=，所以5274S a a =+，故B 正确；
C 选项，因为()()2
111n na n a n d n d a d n ⎡⎤=+-=+-⎣⎦，
若{}n na 为等差数列，则()()()()()2
2111111n n n a na n d a d n n d a d n
++-=++-+---12nd a =+，
要想12nd a +为常数，则0d =，故C 不正确；D 选项，由题可知()2
1112
2
2n n n d
d d S na n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭，
若=n 的一次函数，所以102
d
a -
=，即12d a =，故D 正确．故选：BD 11．ACD
【分析】对A ，举例说明即可；对B ，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD ，将45︒旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.【详解】对A ，如y x =满足条件，故A 正确；
对B ，如倾斜角为20︒的直线是80︒旋转函数，不是70︒旋转函数，故B 错误；对C ，若1()g x ax x =+
为45︒旋转函数，则根据函数的性质可得，
1
()g x ax x
=+逆时针旋转45︒后，不存在与x 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45︒的直线与1()g x ax x =+
的函数图象有两个交点.即()R y x b b =+∈与1
()g x ax x
=+至多1个交点.联立1y ax x y x b
⎧
=+⎪⎨
⎪=+⎩可得()2
110a x bx --+=.当1a =时，10bx -+=最多1个解，满足题意；
当1a ≠时，()2110a x bx --+=的判别式()2
Δ41b a =--，对任意的a ，都存在b 使得判别
式大于0，不满足题意，故1a =.故C 正确；对D ，同C ，()e x bx
h x =
与()R y x a a =+∈的交点个数小于等于1，即对任意的a ，e
x bx a x =-至多1个解，故()e x bx
g x x =
-为单调函数，即()()11e x
b x g x -'=-为非正或非负函数.又()11g '=-，故()110e
x
b x --≤，即()e 1x
b x ≥--恒成立.即e x y =图象在()1y b x =--上方，故0b -≥，即0b ≤.
当e x
y =与()1y b x =--相切时，可设切点()0
0,e x x ，对e x y =求导有e x
y '=，故
00e e 1
x x x =-，解得02x =，此时02e e x b =-=-，故2e 0b -≤≤.故D 正确
.
故选：ACD 12．40
-
【分析】
由二项式定理得到()6
2x y -的通项公式，结合2x
y
+
，得到34,T T ，得到42x y 的系数.【详解】()6
2x y -的通项公式为()()66166C 2C 2r
r
r r r r r r T x y x y --+=-=-，
令2r =得，()2
2
424236C 260T x y x y =-=，此时4242602120x y x y ⋅=，令3r =得，()333333
46
C 2160T x y x y =-=-，此时3342160160x
x y x y y
-⋅=-，故42x y 的系数为12016040-=-故答案为：40-13
【分析】
根据点到直线的距离公式，即可求解.【详解】
所求的双曲线方程为22
(0)84x y λλ-=>
，则渐近线方程为0x =，
设点()00,P x y ，则2222
00002884
x y x y λλ-=⇒-=，
点P 到C
2200
282
3
33
x y λ-=
=
=，解得：14λ=，故双曲线C 方程为：2
212
x y -=，
故a c =C
上的点到焦点距离的最小值为c a -=
．14
．2
/2
【分析】首先根据抛物线的定义结合已知条件得到球2O 内切于正方体，设21r =
，得到
12r =.
【详解】如图所示：
根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体.
不妨设21r =，两个球心1O ，2O 和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，
则221O F r ==，1
222
AC AO ==
=22 1.
=-=AF AO O F
因为
1
1r AO =1AO =，所以111AF AO O F r =+=+，
因此11)1r +=-，得12r =-1
2
2r r =
故答案为：215．(1)
【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）在BCD △中，由正弦定理得
sin sin BD CD
BCD CBD
=∠∠，
则
sin 5sin 60201sin 4
BD CBD CD BCD ∠︒=
===∠（2）因为//AD BC ，所以60ADB CBD ∠=∠=°.
由余弦定理得2222cos 19AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠=，
则AB ==，
所以222cos 219AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅.
16．(1)证明见解析
(2)1-+【分析】（1）由线面垂直的判定定理，通过勾股定理证1AM B M ⊥，1AM D M ⊥，即可证得直线AM ⊥平面11B MD ；
（2）连接1C D ，作MN 平行于1C D ，交CD 于点N ，连接,AN BM ，说明截面为平面1B ANM ，由1CNM BAB V -=M ABCN V -+1M ABB V -，列方程求解可得MC 的长度.【详解】（1）因为M 是棱1CC 的中点，
所以AM =
1B M =
1B A =由勾股定理222
11B A B M AM =+，得1AM B M ⊥，同理可得，1AM D M ⊥，
又11B M D M M ⋂=，1B M 、1D M ⊂平面11B MD ，所以直线AM ⊥平面11B MD ；
（2）连接1C D ，作MN 平行于1C D ，交CD 于点N ，连接,AN BM ，因为1111//,AD B C AD B C =，
所以四边形11AB C D 是平行四边形，所以11//AB C D ，所以1//AB MN ，则截面为平面1B ANM ，
设线段CM 的长为()02h h <<，因为1//MN C D ，所以
1
2
CN h =，得2h CN =，
故11112224ABCN h h
S ⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭梯形，
可得2
11324612
M ABCN h h h V h -⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭，
又由1
111211323M ABB V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，可得1
211263
CNM BAB h h V -=++，
由题意()211
11212633
h h ++=⨯⨯⨯，整理的2240h h +-=
，解得1h =-+所以线段MC
的长度为1-+
.
17．(1)E 的方程为22y x =(2)43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）根据三角形面积求出p ，得出抛物线方程；（2）利用重心的性质可得
1
2
S S ，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系化简，由均值不等式及不等式的性质求值域即可.
【详解】（1）当1x =时，22y p =
，y =
所以AB =
由题意可知，1
12
AOB S =⨯⨯= 所以1p =，
所以抛物线E 的方程为22y x =（2
）如图，
设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，因为O 为ABC 的重心，
所以1230,AOB AOC BOC x x x S S S ++=== ；
因为
331323
,MOC NOC AOC BOC MC NC S x S x S AC x x S BC x x --====-- ，且12,MOC NOC AOC BOC S S S S S S +=== ；
所以()()(
)()()22
121233112122213231212121212123322222x x x x x x S x x x x
S x x x x x x x x x x x x x x x x ++--++=+=+==--++++++；
设:1AB x ty =+，与22y x =联立得：2220y ty --=，所以122y y =-，所以()2
12
12
14y y x x ==
，则122x x +≥=；
所以()
1
22
123
43,1
322S S x x ⎡⎫
=
∈⎪⎢⎣⎭+
+；
所以12S S 的取值范围为43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
18．(1)(1)2,(2)7
P P ==(2)①分布列见解析，5
()7
E X =；②证明见解析
【分析】（1）由()P n 为i n =时，对于任意(1)j j n ≤≤都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数求解；
（2）(i)由()()()()0
15
5
557
7
5C 4C 0,1A A P P P X P X ==
==
()()()()2
15
5
557
7
3C 2C 2,3A
A P P P X P X ==
==
()()()4
5
5
5557
7
1C C 4,5A A P P X P X ==
==，列出分布列，再求期望；(ii)分三类情况，1n a +和
{}(2,3)i b i n n ∈++配对证明.
【详解】（1）(1)2,(2)7P P ==；（2）(i)()()()()0
15
5
55
7
75C 4C 12149050,1A 2520A 2520
P P P X P X ==
====，()()()()2
15
5
557
73C 2C 320702,3A 2520A 2520P P P X P X ==
====，()()()4
55
555
7
71C C 1014,5A 2520A 2520
P P X P X ==
====，X
1
2
3
4
5
P
1214
25209052520
3202520
702520
102520
12520
5()7
E X =
，(ii)分三类情况，121,,,n a a a +…和123,,,n b b b +…全错配,
1.1n a +和{}(2,3)i b i n n ∈++配对，余下12,,,n a a a …和1212,,,,n n b b b b ++…（或3n b +）.余下部分属于n 个时的错配，故总共2()P n ，
2.1n a +和{}(1,2,,)i b i n ∈…配对，且1n b +与i a 配对.此时余下部分属于n -1个时的错配，故总共
(1)nP n -，
3.1n a +和{}(1,2,,)i b i n ∈…配对，且1n b +与i a 不配对.此时可将1n b +等效为i b ，则余下部分属于n 个时的错配，故总共()nP n ，综上：(1)(2)()(1)P n n P n nP n +=++-.19．(1)证明见解析(2)1517
【分析】（1）设104m t =+,从而有()()2
222
16104161008016162054m t t t t t
-=+-=++-=+即
可证明；
（2）根据题意可得()()104t p q p q +=+-，进而分类讨论即可求解.【详解】（1）证明：设104m t =+，19t ≤≤且t 为整数，
∴()()
2
222
16104161008016162054m t t t t t
-=+-=++-=+∵19t ≤≤，且t 为整数，∴254t t +是正整数，∴216m -一定是20的倍数；
（2）∵22m p q =-，且,p q 为正整数，∴()()104t p q p q +=+-，当1t =时，1041411427t +==⨯=⨯，没有满足条件的,p q ，当2t =时，104241242123846t +==⨯=⨯=⨯=⨯，
∴满足条件的有122p q p q +=⎧⎨-=⎩或6
4p q p q +=⎧⎨-=⎩，
解得75p q =⎧⎨=⎩或51
p q =⎧⎨=⎩，∴()57H m =或1
5，
当3t =时，10434134217t +==⨯=⨯，没有满足条件的,p q ，当4t =时，10444144222411t +==⨯=⨯=⨯，
∴满足条件的有222p q p q +=⎧⎨-=⎩，解得1210
p q =⎧⎨=⎩，∴()105
126H m =
=，当5t =时，1045415422731869t +==⨯=⨯=⨯=⨯，没有满足条件的,p q ，当6t =时，1046416423241688t +==⨯=⨯=⨯=⨯，∴满足条件的有322p q p q +=⎧⎨-=⎩或16
4p q p q +=⎧⎨-=⎩，
解得1715p q =⎧⎨=⎩或106p q =⎧⎨=⎩
，∴()1517H m =或3
5，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的()H m 的最大值为
15
17
.。