黑龙江省黑河市2019-2020学年中考五诊数学试题含解析

黑龙江省黑河市2019-2020学年中考五诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积（ ）
A ．65π
B ．90π
C ．25π
D ．85π
2．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．15°
D ．90°
3．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 内
B ．点P 在⊙O 外
C ．点P 在⊙O 上
D ．无法判断
4．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，ED ∥BC ，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE 的长等于（ ）
A ．4
B ．9
C ．12
D ．16
5．计算3×（﹣5）的结果等于（ ）
A ．﹣15
B ．﹣8
C ．8
D ．15
6．如图,在ABC ∆中，90, 4ACB AC BC ∠=︒== ,将ABC ∆折叠,使点A 落在BC 边上的点D 处, EF 为折痕,若3AE =,则sin CED ∠的值为( )
A ．13
B ．223
C ．24
D ．35
7．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，在四边形ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC ，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是（ ）
A ．∠DAC=∠ABC
B ．A
C 是∠BC
D 的平分线 C ．AC 2=BC•CD D ．AD DC AB AC = 9．边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为（ ）
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．1∶6
D ．1∶6
10．如图，△ABC 中，∠B ＝70°，则∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC ．当点B 的对应点D 恰好落在AC 上时，∠CAE 的度数是（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
11．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）
A ．π或2π
B ．2π或3π
C ．3π或π
D ．4π或3
π 12．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，当13x ≤≤时，函数的最小值为5，则h 的值为( ) A ．－1或5 B ．－1或3 C ．1或5 D ．1或3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则列出的方程组为_____．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为（0，2），（-1，0），将线段AB 沿x 轴的正方向平移，若点B 的对应点的坐标为B'（2，0），则点A 的对应点A'的坐标为___．
15．如图，以AB 为直径的半圆沿弦BC 折叠后，AB 与»BC
相交于点D ．若»»13
CD BD =，则∠B ＝________°．
16．分解因式：a 2b−8ab+16b=_____．
17．若一次函数y=﹣x+b （b 为常数）的图象经过点（1，2），则b 的值为_____．
18．抛物线y ＝x 2﹣4x+
2
m 与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数
是戴红色帽子的人数的3
5
．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？
20．（6分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP 中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．
21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝
5
13
，BD⊥AC，垂足为点D，E
是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．（1）求∠EAD的余切值；
（2）求BF
CF
的值．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD．BE平分∠ABC，点H是BC边的中点.连接DH，交BE于点G.连接CG.
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：
1
CE BF
2
；
（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论.
23．（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3∶2，两队共同施工6天可以完成．
(1)求两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？
24．（10分）已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线2
y x =的“完美三角形”斜边AB 的长；
②抛物线21y x +=与2y x =的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；
（2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；
（3）若抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n 的值．
25．（10分）近日，深圳市人民政府发布了《深圳市可持续发展规划》，提出了要做可持续发展的全球创新城市的目标，某初中学校了解学生的创新意识，组织了全校学生参加创新能力大赛，从中抽取了部分学生成绩，分为5组：A 组50～60；B 组60～70；C 组70～80；D 组80～90；E 组90～100，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．抽取学生的总人数是 人，扇形C 的圆心角是 °；补全频数直方图；该校共有2200名学生，若成绩在70分以下（不含70分）的学生创新意识不强，有待进一步培养，则该校创新意识不强的学生约有多少人？
26．（12分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．
27．（12分）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
根据三视图可判断该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，然后求底面积与侧面积的和即可．
【详解】
由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，
所以圆锥的母线长22
512
+，
所以圆锥的表面积=π×52+1
2
×2π×5×13=90π．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
2．C
【解析】
试题解析：∵sin∠CAB=
322 BC
AC
==
∴∠CAB=45°．
∵B C sin C AB AC '''∠===' ∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°-45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选C ．
考点：解直角三角形的应用．
3．B
【解析】
【分析】
比较OP 与半径的大小即可判断.
【详解】
r 5Q =，d OP 6==，
d r ∴>，
∴点P 在O e 外，
故选B ．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O e 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<. 4．B
【解析】
【分析】
由于ED ∥BC ，可证得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形所得比例线段，即可求得AE 的长．
【详解】
∵ED ∥BC ，
∴△ABC ∽△ADE ， ∴BA DA
=AC AE ， ∴BA DA =AC AE =86
， 即AE=9；
∴AE=9.
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 5．A
【解析】
【分析】
按照有理数的运算规则计算即可.
【详解】
原式=-3×
5=-15，故选择A. 【点睛】
本题考查了有理数的运算，注意符号不要搞错.
6．B
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知AE=DE=3，然后根据勾股定理求CD 的长，然后利用正弦公式进行计算即可.
【详解】
解：由折叠性质可知：AE=DE=3
∴CE=AC-AE=4-3=1
在Rt △CED 中，=
sin CD CED DE ∠=
= 故选：B
【点睛】 本题考查折叠的性质，勾股定理解直角三角形及正弦的求法，掌握公式正确计算是本题的解题关键. 7．B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.
【详解】
A 、C 是中心对称图形，但不是轴对称图形；
B 是轴对称图形；D 不是对称图形.
故选B.
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的定义.
8．C
结合图形，逐项进行分析即可.
【详解】
在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②AD DC AB AC
=，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的条件，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9．C
【解析】
解：设正三角形的边长为1a，则正六边形的边长为1a．过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°，
A D=AB•cos30°=1a•
3
2
=3a，∴S△ABC=
1
2
BC•AD=
1
2
×1a×3a=3a1．
连接OA、OB，过O作OD⊥AB．
∵∠AOB=360
6
︒
=20°，∴∠AOD=30°，∴OD=OB•cos30°=1a•
3
2
3，
∴S△ABO=1
2
BA•OD=
1
2
×1a×331，∴正六边形的面积为：3a1，∴边长相等的正三角形和正
3a1：31=1：2．故选C．
点睛：本题主要考查了正三角形与正六边形的性质，根据已知利用解直角三角形知识求出正六边形面积是解题的关键．
【分析】
由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．
【详解】
∵∠B＝70°，∠BAC＝30°
∴∠ACB＝80°
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．
∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°
∴∠CAE＝∠AEC＝50°
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
11．A
【解析】
【分析】
根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．
【详解】
当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD，FM，AD，EM，
∵
2
,3
3
CF CM CE EF
AB BC CD CA AB
=====
∴//,//,2
FM BD EM AD EF=
,
FMC BDC CME CDA ∴∠=∠∠=∠
∵AB是直径
90
BDA
∴∠=︒
即90BDC CDA ∠+∠=︒
∴90FMC CME ∠+∠=︒
∴点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，
∵2EF =
∴以EF 为直径的圆的半径为1
∴点M 运动的路径长为
1801=180ππg g 当1'3
CM CD = 时，同理可得点M 运动的路径长为12π 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键． 12．A
【解析】
【分析】
由解析式可知该函数在x=h 时取得最小值1，x>h 时，y 随x 的增大而增大；当x<h 时，y 随x 的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h<1，可得x=1时，y 取得最小值5；②若h>3，可得当x=3时，y 取得最小值5，分别列出关于h 的方程求解即可．
【详解】
解：∵x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小，
∴①若h<1，当13x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，
∴当x=1时，y 取得最小值5，
可得：2(151)-+=h ，
解得：h=−1或h=3（舍），
∴h=−1；
②若h>3，当13x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，
当x=3时，y 取得最小值5，
可得：2(153)-+=h ，
解得：h=5或h=1（舍），
∴h=5，
③若1≤h≤3时，当x=h 时，y 取得最小值为1，不是5，
∴此种情况不符合题意，舍去．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值进行分类讨论是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．
275
3
x y
x y
+=⎧
⎨
=
⎩
【解析】
【分析】
根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
【详解】
根据图示可得
275
3
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
故答案是：
275
3
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．14．（3，2）
【解析】
【分析】
根据平移的性质即可得到结论．
【详解】
∵将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），
∵-1+3=2，
∴0+3=3
∴A′（3，2），
故答案为：（3，2）
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
15．18°
【解析】
【分析】
由»»
1
3
CD BD
=和半圆的弧度为180°可得»AC的度数×5=180°，即可求得»AC的度数为36°，再由同弧所
对的圆周角的度数为其弧度的一半可得∠B=18°. 【详解】
解：由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，
∴»»
=
AC CD，
∵»»
1
3
CD BD
=，
∴»AC的度数+ »CD的度数+ »BD的度数=180°，
即»AC的度数×5=180°，
∴»AC的度数为36°，
∴∠B=18°.
故答案为:18.
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.
16．b（a﹣4）1
【解析】
【分析】
先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
解：a1b-8ab+16b=b（a1-8a+16）=b（a-4）1．
【点睛】
本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练运用公式法分解因式是本题的关键．
17．3
【解析】
【分析】
把点（1，2）代入解析式解答即可．
【详解】
解：把点（1，2）代入解析式y=-x+b，可得：2=-1+b，
解得：b=3，
故答案为3
本题考查的是一次函数的图象点的关系，关键是把点（1，2）代入解析式解答．
18．（3，0）
【解析】
【分析】
把交点坐标代入抛物线解析式求m 的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．
【详解】
把点（1，0）代入抛物线y=x 2-4x+
2m 中，得m=6， 所以，原方程为y=x 2-4x+3，
令y=0，解方程x 2-4x+3=0，得x 1=1，x 2=3
∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）.
【点睛】
本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x 轴交点坐标的求法．本题也可以用根与系数关系直接求解．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．男生有12人，女生有21人.
【解析】
【分析】
设该兴趣小组男生有x 人，女生有y 人，然后再根据：
(男生的人数-1)×2-1=女生的人数，(女生的人数-1) ×35
=男生的人数 ，列出方程组，再进行求解即可.
【详解】
设该兴趣小组男生有x 人，女生有y 人， 依题意得：2(1)13(1)5y x x y =--⎧⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：1221x y =⎧⎨=⎩
． 答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题中各个量之间的关系，并找出等量关系列出方程组.
20． (1)见解析;(2)①120°；②45°
【分析】
（1）由AAS 证明△CPM ≌△AOM ，得出PC=OA ，得出PC=OB ，即可得出结论；
（2）①证出OA=OP=PA ，得出△AOP 是等边三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可； ②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可．
【详解】
（1）∵PC ∥AB ，
∴∠PCM ＝∠OAM ，∠CPM ＝∠AOM ．
∵点M 是OP 的中点，
∴OM ＝PM ，在△CPM 和△AOM 中，
PCM OAM CPM AOM PM OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CPM ≌△AOM （AAS ），
∴PC ＝OA ．
∵AB 是半圆O 的直径，
∴OA ＝OB ，
∴PC ＝OB ．
又PC ∥AB ，
∴四边形OBCP 是平行四边形．
（2）①∵四边形AOCP 是菱形，
∴OA ＝PA ，
∵OA ＝OP ，
∴OA ＝OP ＝PA ，
∴△AOP 是等边三角形，
∴∠A ＝∠AOP ＝60°，
∴∠BOP ＝120°；
故答案为120°；
②∵PC 是⊙O 的切线，
∴OP ⊥PC ，∠OPC ＝90°，
∵PC ∥AB ，
∴∠BOP ＝90°，
∵OP ＝OB ，
故答案为45°．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
21．（1）∠EAD的余切值为5
6
；（2）
BF
CF
=
5
8
.
【解析】【分析】
（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC=
5
13
，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而可
求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED，可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值.
【详解】
（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°，
Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=
5 13
，
∴AD=5，由勾股定理得：BD=12，∵E是BD的中点，
∴ED=6，
∴∠EAD的余切==5
6
；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，∵AC=8，AD=5，∴CD=3，
∵DG∥AF，
∴=3
5
，
设CD=3x，AD=5x，∵EF∥DG，BE=ED，∴BF=FG=5x，
∴==5 8 .
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；
（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；
（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状.
【详解】
解：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC
∴BE⊥AC
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠ABE（同角的余角相等）
又∵CD=BD
∴△ADC≌△FDB
（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC
∴AE=CE
则CE=1
2
AC
由（1）知：△ADC≌△FDB ∴AC=BF
∴CE=1
2
BF
（3）△ECG为等腰直角三角形，理由如下：
又∵BE⊥AC，
故△ECG为等腰直角三角形.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，此题难度不是很大．
23．（1）甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要1天；（2）甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．
【解析】
【分析】
（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据两队共同施工6天可以完成该工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）根据甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比可得出两队每日完成的工作量之比，再结合总报酬为4000元即可求出结论．
【详解】
（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，
根据题意得：66
1, 32
x x
+=
解得：x=5，
经检验，x=5是所列分式方程的解且符合题意．
∴3x=15，2x=1．
答：甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要1天．（2）∵甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，
∴甲、乙两队每日完成的工作量之比是2：3，
∴甲队应得的报酬为
2
40001600
23
⨯=
+
（元），
乙队应得的报酬为4000﹣1600=2400（元）．
答：甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（1）AB=2；相等；（2）a=±1
2
；（3）
3
4
m=-，
8
3
n=．
【解析】
【分析】
（1）①过点B作BN⊥x轴于N，由题意可知△AMB为等腰直角三角形，设出点B的坐标为（n，－n），
与y=x 2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点B 的坐标，得出a 的值；根据最大值得出mn －4m －1=0，根据抛物线的完美三角形的斜边长为n 得出点B 的坐标，然后代入抛物线求出m 和n 的值.
（3）根据225y mx x+n =+-的最大值为-1，得到()454
14m n m --=-化简得mn-4m-1=0，抛物线
225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，所以抛物线2y mx =2的“完美三角形”斜边长为n ，得出B 点坐标，代入可得mn 关系式，即可求出m 、n 的值.
【详解】
（1）①过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴，
易证MN=BN ，设B 点坐标为（n ，-n ），代入抛物线2
y x =，得2n n =，
∴1n =，0n =（舍去），∴抛物线2y x =的“完美三角形”的斜边2AB = ②相等；
（2）∵抛物线2y ax =与抛物线2
4y ax =+的形状相同， ∴抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的“完美三角形”全等，
∵抛物线24y ax +=的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线2y ax =的“完美三角形”斜边的长为4， ∴B 点坐标为（2，2）或（2，-2），∴12
a=±． （3）∵ 225y mx x+n =+-的最大值为-1，
∴ ()454
14m n m --=-，
∴410mn m --= ，
∴抛物线2y mx =的“完美三角形”斜边长为n ，
∴B 点坐标为,22n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴代入抛物线2y mx =，得222n n m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭
， ∴ mn 2=-（不合题意舍去），
∴34
m =-， ∴83
n = 25．（1）300、144；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）该校创新意识不强的学生约有528人．
【解析】
【分析】
（1）由D 组频数及其所占比例可得总人数，用360°乘以C 组人数所占比例可得；
（2）用总人数分别乘以A 、B 组的百分比求得其人数，再用总人数减去A 、B 、C 、D 的人数求得E 组的人数可得；
（3）用总人数乘以样本中A 、B 组的百分比之和可得．
【详解】
解：（1）抽取学生的总人数为78÷
26%=300人，扇形C 的圆心角是360°×120300
=144°， 故答案为300、144；
（2）A 组人数为300×
7%=21人，B 组人数为300×17%=51人， 则E 组人数为300﹣（21+51+120+78）=30人，
补全频数分布直方图如下：
（3）该校创新意识不强的学生约有2200×（7%+17%）=528人．
【点睛】
考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计
26．（1）答案见解析；（2）45°．【解析】
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，大于1
2
AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【详解】
（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC
1
2
∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．27．（1）甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（1）至少销售甲种商品1万件．
【解析】
【分析】
（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①1件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比1件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；（1）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有：
23321500x y x y =⎧⎨-=⎩，解得900600
x y =⎧⎨=⎩：． 答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；
（1）设销售甲种商品a 万件，依题意有：
900a+600（8﹣a ）≥5400，解得：a≥1．
答：至少销售甲种商品1万件．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．。