7判别式法求函数值域的错误剖析

判别式法求函数值域的错误剖析
山东 孙道斌
关于函数值域问题，解法较多，主要有：①配方法、②判别法、③不等式法、④换元法、⑤单调性法、⑥数形结合法、⑦导数法，其中判别式法是最常用的方法之一。

然而，由于解题过程中的非等价变换，往往会出现错误，从而对这种方法产生一种畏惧心理，本文就用判别式法求函数值域时常见错误进行剖析。

1、用判别式法求分式函数值域时，要注意变形时的等价性问题。

例 1 求函数1
2
2
+--=
x x x x y 的值域
错解：由1
2
2
+--=
x x x x y 得 0
)1()1(2
=+-+-y x y y （*）
方程（*）有实根，则
)1(4)1(2
≥---=∆y y y
∴13
1≤≤-
y ，故值域为[3
1-，1]
错因分析：由于方程（*）中x 2系数是变量，因此要进行讨论，即（1）当y-1≠0即y ≠1时，.13
10≤≤⇒
≥∆y
， ∴ 13
1<≤-y ;
（2）当y=1时，则1=0显然不成立。

故函数值域应为[3
1-
，1）。

2、用判别式法求无理函数值域时，要注意增解问题 例 2 求函数1-+=x x y 的值域
错解：由1-+
=x x y 得
1)
(12
-=-⇒-=
-x x y x x y
即01)12(22=+++-y x y x
因为有实根，则0)1(4)]12([22≥+-+-=∆y y 解得4
3≥
y 故函数值域为[4
3
，+∞）
错因分析：由1-=-x x y 平方得01)12(2
2
=+++-y
x y x 的过程中，扩大
了y 的范围。

若从原函数的定义域1≥x 考虑，那么01≥-x ，则11≥-+=x x y 。

故函数值应为[1,，+∞）。

3、用判别式法求分式三角函数的值域，要注意参数的范围问题。

例 3 求函数x x x y sin 23sin 3sin
2
-+-=
的值域
错解：令x t sin =则023)3()(2332
2
=-+-+=⇒-+-=y t y t t f t
t t y （*）
，方程（*）有实根，则130)23(4)3(2≥-≤⇒≥---=∆y y y y 或，
∴值域为),1[]3,(+∞⋃--∞
错因分析：没有注意t 的范围而出错。

∵t=sinx ∈[-1，1] ，故方程（*）在[-1，1]上至少有一实根，则①两根均在[-1，1]内，②两根有一根在[-1，1]内，另一根在[-1，1]外。

由①得： ⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥-≤--≤-≥---=∆0
)1(0)1(12
3
10)23(4)3(2f f y y y 解得：y=1 由②得3
710)1()1(≤
≤⇒≤⋅y f f ，即3
71≤
≤y ，故函数值域应为[1，
3
7]。