[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第6章 不等式、推理与证明

重点强化课(三) 不等式及其应用
(对应学生用书第86页)
[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．
重点1 一元二次不等式的综合应用
(1)(2018·烟台模拟)函数y ＝1－x
2
2x 2－3x －2的定义域为( )
A ．(－∞，1]
B ．[－1,1]
C ．[1,2)∪(2，＋∞)
D ．⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋1，x ≥0，1，x <0，
则满足不等式f (1－x 2
)>f (2x )的x 的取值范围是
__________．
(1)D (2)(－1，2－1) [(1)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
≥0，
2x 2
－3x －2≠0，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－1
2，即－1≤x ≤1且x ≠－1
2
，所以函数的定义域为
－1，－12∪－1
2
，1
，故选D ．
(2)由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
>0，
2x <0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
>2x ，
2x ≥0，
解得－1<x <0或0≤x <2－1. 所以x 的取值范围为(－1，2－1)．]
[规律方法]
一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法
(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集． (2)与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．
(3)与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．
[对点训练1] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2
－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为__________. 【导学号：00090202】 (－5,0)∪(5，＋∞) [由于f (x )为R 上的奇函数， 所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0， 所以f (－x )＝x 2
＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2
－4x ，
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－4x ，x >0，0，x ＝0，
－x 2－4x ，x <0.
由f (x )>x ，可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－4x >x ，x >0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
－4x >x ，x <0，
解得x >5或－5<x <0，
所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．] 重点2 线性规划问题
(1)(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋2y －6≤0，x ≥0，
y ≥0，则z ＝x －y 的取
值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2]
D ．[0,3]
(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，
x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范
围是__________．
(1)B (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32 [(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.
所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B ．]
(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，
令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，
最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
1≤a ≤4，
1≤2a ＋1≤4，
1≤a ＋3
2
≤4，
解得1≤a ≤3
2
.]
[规律方法] 本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．
[对点训练2] 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a x －
若z ＝2x ＋y 的最小值为
1，则a ＝( ) A ．1
4
B ．12
C ．1
D ．2
B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝a x －
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝－2a ，
∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝1
2
.]
重点3 基本不等式的综合应用
(2016·江苏高考节选)已知函数f (x )＝a x ＋b x
(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．设a ＝2，b ＝12
. (1)求方程f (x )＝2的根；
(2)若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值.
【导学号：00090203】
[解] 因为a ＝2，b ＝12
，所以f (x )＝2x ＋2－x
.
2分
(1)方程f (x )＝2，即2x
＋2－x
＝2，亦即(2x )2－2×2x
＋1＝0，所以(2x
－1)2
＝0，即2x
＝1，解得x ＝0.
5分
(2)由条件知f (2x )＝22x
＋2
－2x
＝(2x
＋2－x )2
－2＝(f (x ))2
－2.
因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，
所以m ≤
f x
2
＋4
f x 对于x ∈R 恒成立.
8分
而
f x 2
＋4
f x
＝f (x )＋
4
f x
≥2
f x ·4
f x ＝4，且
f 0
2
＋4
f
＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.
12分
[规律方法] 基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法：
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
[对点训练3] (1)(2018·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．
(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y
xy
的最小值为__________． (1)6 (2)9 [(1)法一：(消元法) 因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，
所以x ＋3y ＝9－3y
1＋y ＋3y
＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2
12
1＋y
y ＋－6＝6，
当且仅当12
1＋y ＝3(y ＋1)，
即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二：(不等式法) ∵x ＞0，y ＞0，
9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22
，
当且仅当x ＝3y 时等号成立．
设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2
＋12t －108≥0， 解得t ≥6或t ≤－18(舍去)
故当x ＝3，y ＝1时，x ＋3y 的最小值为6. (2)由已知得x ＋2y
2
＝1.
则
x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋2y 2 ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋2 16)＝9，
当且仅当x ＝43，y ＝1
3
时取等号．]。