人教备战中考数学专题复习二次函数的综合题含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P
为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）2
23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213
(03)22
13(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2
23
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2
{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为
223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵
PQ=2，∴QF=1．
①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜
3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=
12
PM×QF=21(3)2t t -+=213
22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t
＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=
12PM×QF=12
（23t t -）=213
22t t -．
综上所述，S=2213
(03)22
{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
2．如图，抛物线212
222
y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.
（Ⅰ）求A B ，两点坐标.
（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条
件的,m n 的值.
【答案】（Ⅰ）(A B ；（Ⅱ）2S t t =-+<<,
当t =
时，S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：3
24
m n =-
=，或
1524m n =
=-，或1
24
m n =-= 【解析】 【分析】
（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；
（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；
（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】
解：（Ⅰ）抛物线2122y x x =-++，
令0y =，则212022
x x -
++=，
解得：x =x =
∴((,A B
（Ⅱ）由抛物线2122y x x =-
++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ， ∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ，
∴
212,,22
p t PQ p BQ t OQ t =-++===，
∴()()
111
222222
AOC
PQB
OCPQ S S
S S
p t t p =++=⨯⨯++⨯+⨯⨯梯形 11
22
t pt pt t =+
+-=++
2122t t ⎫=-++⎪⎪⎭
2
2
t t =-+<<，
∴当
t =时，S =最大
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，
∴)
2,2P
，
∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为2
2
x =
， ∴设2122,2,2G m m H n ⎛⎫⎫-
++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()
2,0A ， ①当AP 和HG 为对角线时，
∴()21
121112
22,2022
222222m m m n ⎛⎫⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴23
24
m n =-
=， ②当AG 和PH 是对角线时，
∴(()2112112122,2022222222
m m m n ⎫⎛⎫=-+++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭， ∴215
,24
m n =
=-， ③AH 和PG 为对角线时，
∴(()2121112122,2202222222m m m n ⎛⎫⎛⎫-=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴321
24
m n =-
=， 即：满足条件的点m n 、的值为：
234m n ==，或5215
4
m n ==-，或3214m n == 【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
3．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣
10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大
∴当x＝46时，w最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ，y ＝﹣x +2；（2）详见解析；（3）E （
55
24
,）；（4）符合条件的点F 的坐标（17171，71，27 【解析】 【分析】
（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；
（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；
（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；
（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD 2122m +=②当DF ＝BD 24522m m -+=，③当BF ＝DF 22145m m m +-+m ＝1，然后代入即可． 【详解】
（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1， 将B （2，0）代入， 0＝a （2﹣1）2﹣1， ∴a ＝1，
抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ， 将B （2，0）代入y ＝kx +2， 0＝2k +2， k ＝﹣1，
∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2； （2）联立2
2
2y x y x x =-+⎧⎨
=-⎩
， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，22
2
0x y =⎧⎨=⎩，
∴C （﹣1，3），
∵A （1，﹣1），B （2，0）， ∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20， BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18， ∴AB 2+BC 2＝AC 2， ∴△ABC 是直角三角形；
（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．
∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°， ∴点A 与A '关于直线BC 对称， AB ＝A 'B ，
可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ）， ∵A （1，﹣1），B （2，0） ∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1， ∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3， ∴A '（3，1）， ∵C （﹣1，3）， ∴直线A 'C ：1522
y x =-
+， 联立：215222y x y x x ⎧
=-+⎪
⎨⎪=-⎩，
解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴E （
52，5
4
）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1， ∴设F （1，m ），
直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2； ∴D （0，2） ∵B （2，0），
∴BD ＝
1
2
x x 222(21)(0
)1BF m m =-+-=+，
222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+，
①当BF ＝BD 时，2122m +=， m ＝±7，
∴F 坐标（1，7）或（1，﹣7） ②当DF ＝BD 时，24522m m -+=， m ＝2±7，
∴F 坐标（1，2+7）或（1，2﹣7） ③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+， m ＝1，
F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．
综上，符合条件的点F 的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．
【点睛】
考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．如图，已知直线y ＝﹣2x +4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ．抛物线过A 、B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）如图1，设抛物线顶点为M ，且M 的坐标是（12，9
2
），对称轴交AB 于点N ． ①求抛物线的解析式；
②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D ，使得四边形BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①y ＝﹣2x 2+2x +4；；②不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形；；（2）存
在，点D的坐标是（1，4）．
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝
a
2
19
22
x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
，把点B的坐标代入求得a的值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝3
2
，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐
标，然后推知PN＝MN是否成立即可；
（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数
S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M的坐标是
19
,
22
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴设抛物线解析式为y＝
2
19
22
a x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
（a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴
2
19
22
a
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线的解析式为：y＝
2
19
2
22
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝
2
19
2
22
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
的对称轴是直线x＝
1
2
，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N的坐标是
1
,3
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
∴93
3
22
MN=-=．
设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
∵PD∥MN．
当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝3
2
．
解得 m1＝1
2
（舍去），m2＝
3
2
．
此时P（3
2
，1）．
∵PN＝5，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形．
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：
设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．
由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝1
2
OB•OA＝
1
2
×4×2＝4．
则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．
S△ABD＝1
2
（y D﹣y P）（x A﹣x B）
＝y D﹣y P
＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2．
当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．
（1）求m 的值；
（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 13
=
x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】
【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；
（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：
m ＝﹣3；
（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：
x ＝3，
所以点B 的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：
390
b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：13
3
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
所以二次函数的解析式为：y 13
=
x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，
则∠ODC ＝45°+15°＝60°，
∴OD ＝OC •tan30°3=
设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：1212
03336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，
则∠OEC ＝45°-15°＝30°，
∴OE ＝OC •tan60°＝33， 设EC 为y ＝
kx ﹣3，代入（33，0）可得：k 33=， 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
解得：1212
0332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，， 所以M 2（3，﹣2）．
综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
7．抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；
（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P 的坐标为（02）和（022）；当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）． 【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A （0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4知直线所过定点G 坐标为（1，4），从而得出
BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=1
2 BG•x
N﹣
1
2
BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得x=
2
28
k k
-±-
，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知
()1
21
1
b
c
⎧
-=
⎪⨯-
⎨
⎪=
⎩
，解得：
2
1
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，
∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=
1
2
BG•（x N﹣1）-
1
2
BG•（x M-1）=1，
∴x N﹣x M=1，
由
2
4
21
y kx k
y x x
=-+
⎧
⎨
=--+
⎩
得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，
解得：
()()
2
2243
k k k
-±---2
28
k k
-±-
，
则x N
2
28
k k
-+-
、x M
2
28
k k
---
由x N﹣x M=128
k-，
∴k=±3，
∵k ＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，
∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），
设P （0，t ），
（a ）当△PCD ∽△FOP 时，
PC FO CD OP =， ∴112m t t
+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，
PC PO CD OF =， ∴121
m t t +-=， ∴t=
13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m ）2﹣8=0，
解得：21（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t 1=t 22，
方程②有一个实数根t=
223， ∴2﹣1，
此时点P 的坐标为（02）和（022）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：19（m+1）2﹣13
（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=22﹣1时，点P 的坐标为（0，2）和（0，
223）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．
8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；
（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.
【答案】（1）21452
=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．
【解析】
【分析】
（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；
（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.
【详解】
解：（1）函数表达式为：()2
43y a x ==+，
将点B 坐标代入上式并解得：12a =-
， 故抛物线的表达式为：21452
=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，
设直线AB 的表达式为：5y kx =-，
将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，
故直线AB 的表达式为：25y x =-；
（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭
， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭
向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542
m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：424m +=+，2131452
m m s -=-
+-+， 解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.
9．已知抛物线C 1：y=ax 2﹣4ax ﹣5（a ＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式； （3）若（2）中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的
值．
【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或
【解析】
试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；
（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；
②根据抛物线翻折理论即可解题；
（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题
试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴对称轴为y=2；
∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y=﹣5；
将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x=2时，y=2或者﹣2；
当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
∴a=或；
考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换
10．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
【答案】解：（1）y=x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与
直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出
x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解。

【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。

∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），
则。

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则。

联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。

∴。

∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。