01型整数规划模型

§5.4 0—1型整数规划模型
1、 0—1型整数规划模型概述
整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。

在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。

0—1型整数规划的的数学模型为：
目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++=ΛΛ2211)( 约束条件为：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1
| 0 ) ,() ,() ,(2211222221211
1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,2
1ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
这里，0 | 1表示0或1。

2、0—1型整数规划模型的解法
0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量
n
x x x , , ,21ΛΛ的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中
求出最优解。

这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n
2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也
几乎是不可能的。

隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。

此时，就只能用穷举法了。

3. 应用实例
例1 工程上马的决策问题
1）问题的提出
某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。

2）模型分析与变量的假设
这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。

设)
,4 ,3 ,2 ,1( ,1 ,0=⎩⎨⎧=j j j x j 项工程不上马第项工程可上马第
因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数25千元，故该0—1型整数规划问题的约束条件为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==≤+++≤+++≤+++4
,3 ,2 ,1 ,1|0241021082269718
8345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i
由于期望收益尽可能大，故目标函数为：
4
32130204020ax x x x x z m +++=
3）模型的建立与求解
至此，我们得到该问题的0—1型整数规划模型为：
4
32130204020ax x x x x z m +++=
约束条件为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==≤+++≤+++≤++++4
,3 ,2 ,1 ,1|0(3)
24102108(2) 22697(1)
188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i
下面用隐枚举法求其最优解。

易知，该0—1型整数规划模型有一可行解（0，0，0，1），它对应的目标函数值为：30=z 。

自然，该模型的最优解所对应的目标函数值应不小于30，于是，我们增加一过滤条件为：
30
302040204321≥+++x x x x （4）
在此过滤条件（过滤条件可不唯一）下，用隐枚举法求0—1型整数规划模型的最优解的步骤为：
（1）先判断第一枚举点所对应的目标函数值是否满足过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，再判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z1（本例中，z130≥）作为新的目标值，并修改过滤条件为：
1
432130204020z x x x x ≥+++，再转下一步；
(2) 再判断第二枚举点所对应的目标函数值是否满足新的过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，接着判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z2（z2 ≥z1）作为新的目标值，并修改过滤条件为： 2
432130204020z x x x x ≥+++，
再转下一步；
(3) 重复步骤（2），直至所有的枚举点均比较结束为止。

由隐枚举法的求解步骤，我们可给出该问题的求解过程如下表所示，并得到最优解为：
)
1 ,1 ,1 ,0() , , ,(4321=x x x x ，相应的目标值为90（千元）。

故应上马的工
程为2号、3号、4号工程。

注：在该表中，√表示满足相应条件，×表示不满足相应条件。

例2 工序的流程安排问题
1）问题的提出
一条装配线由一系列工作站组成，被装配或制造的产品在装配线上流动的过程中，每站都要完成一道或几道工序，假定一共有六道工序，这些工序按先后次序在各工作站上完成，关于这些工序有如下的数据：
另外工艺流程特别要求，在任一给定的工作站上，不管完成哪些工序，可用的总时间不能超过10分钟，如何将这些工序分配给各工作站，以使所需的工作站数
为最少？
2）模型分析与变量的假设
下面，我们先讨论工序与工作站的关系，并试图建立起该问题的0—1型整数规划模型。

对任一工序而言，它要么属于工作站j ，要么不属于工作站j ，故决策变量可定义为：
⎩⎨
⎧=行 运 上 j 不在工作站 若工序 0行 运 上 在工作站 若工序
1i j i x ij
这种定义，使我们能根据最优解中ij
x 的值来很快确定工序i 与工作站j 之间
的隶属关系。

又因工序1，2，3所需的工作时间不超过10分钟，故工序1，2，3的工作可以在一个工作站上完成，此时，工序4，5，6只能分别在各自的工作站上工作，该可行解对应的工作站数为4个。

也就是说，对最优解而言，该装配线上所需的工作站个数不会多于4个。

因此，我们再定义变量如下：
⎩⎨
⎧=j j w j 作站 工 要 需 不 中 解 优 若在最
0 站 作 工 要 需 中 解 优 若在最
1 至此，我们得到所需的目标函数为：
4
321 m ax w w w w z +++=
再考虑该模型的约束条件：
（1） 每道工序均隶属于一个工作站，且每一工序都必须完成，故有以下六个约束：
6)
5, 4, 3, 2, ,1( 14321==+++i x x x x i i i i
（2）在任一工作站上完成隶属工序所用的时间不能超过10分钟，故有以下四个约束：
4)
3, 2, 1,(j 10386253654321=≤+++++j j j j j j x x x x x x
（3）最后，我们再考虑各道工序所受的先后次序约束的条件。

先考察工序2与工序3的关系，因工序2在工序3
3隶属于工作站4，则工序2无论属于那个工作站均可；若工序3隶属于工作站3，
则工序2可属于工作站1或2或3；此时，变量3)
2, ,1( 2=j x j 应满足的约束条
件为：
33
232221x x x x ≥++；
同理，若工序3隶属于工作站2或1，则变量3)
2, ,1( 2=j x j 应
满足的约束条件为：
322221x x x ≥+
31
21x x ≥
同理，根据其它工序的优先关系，可仿此法给出其相应的约束条件，由上图知，六个工序之间有五个优先关系，故这类约束条件共有15个。

另外，在最优解中，若有一个工作站4)
3, 2, 1,(=p w p 不用（即
p
w =0），则
隶属于该工作站的全部6)
5, 4, 3, 2, 1,(=i x ip 必须为0，于是，有以下四个约束
条件：
4)
3, 2, 1,( 6654321=≤+++++i w x x x x x x j j j j j j j
3）模型的建立与求解
至此，我们得到了该问题的0—1型整数规划模型，它共包含28个变量，29个约束条件，这样的模型用枚举法求解，人工计算是很难胜任的，这时，只能求助于计算机求解了。

我们给出该问题的模型如下，求解的过程望感兴趣的读者自己完成之。

该问题的目标函数为：
4
321 m ax w w w w z +++=
约束条件为：
6)
5, 4, 3, 2, ,1( 14321==+++i x x x x i i i i
4)
3, 2, 1,(j 10386253654321=≤+++++j j j j j j x x x x x x
33232221x x x x ≥++； 322221x x x ≥+； 3121x x ≥ 53
232221x x x x ≥++；
52
2221x x x ≥+；
51
21x x ≥；
43131211x x x x ≥++； 421211x x x ≥+； 4111x x ≥； 43
333231x x x x ≥++； 42
3231x x x ≥+； 41
31x x ≥； 63434241x x x x ≥++；
624241x x x ≥+；
61
41x x ≥； 4)
3, 2, 1,( 6654321=≤+++++i w x x x x x x j j j j j j j。