(新课标)2018年高考数学 题目的命制背景及试卷的对策 专题04 概率统计中的数学文化

专题04 概率统计中的数学文化
一.专题综述
以小题或者解答题的形式，以现实生活中朴实的事例结合古典数学为背景考查数学文化相关知识，让学生体会数学来源于生活的本质，体会数学美
预测：以挖掘古代数学和现实生活中鲜为人知的事例考查概率模型。

二．回顾高考
1. 【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．14
B ．
π8 C ．12
D ．
π4
【答案】B
2.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到G 处的老年公寓参加志愿者活者，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24
B.18
C.12
D.9 【答案】B
【解析】分两步：小明从E 处到F 处有C 2
4＝6种走法.两人一起到G 处有C 1
3＝3种走法.由分步乘法计数原理，共有6×3＝18种路径.
三．典例分析
例1. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )
A.
2π B.1π C.12π
D.1
4π
【答案】D
【解析】易知铜钱的面积S ＝π×22
＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π
.
例2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．
【答案】22
【规律总结】
1.弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点；二是将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌.
2.试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例.
四．强化训练
1. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈__________.（用分数表示） 【答案】
78
25
【解析】由题意，200对都小于1的正实数对（x,y ），满足01
{01
x y ≤≤≤≤，对应图形面积为1，两个数能与1
构成钝角三角形的三边的数对（x,y ）满足22
1x y +<且01
{011
x y x y ≤≤≤≤+>，对应图形的面积为142
π- ，因为统计
两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m=56，所以
56178
,2004225
ππ=-∴=
． 2. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈= 10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率=3），则该圆柱形容器能放米____斛． 【答案】
2700
3. 【2018广西贵港市联考】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A.
2129 B. 2329 C. 1112 D. 1213
【答案】A
【解析】如图所示，设水深为x 尺，由题意可得： ()2
2225x x +=+， 求解关于实数x 的方程可得： 21
4
x =， 即水深为
214尺，又葭长为294
尺， 则所求问题的概率值为21
29
p =.
本题选择A 选项.
4. 【河南省2018届高三12月联考】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）
A.
64
π
B.
32
π
C.
16π D. 8
π 【答案】D
5. 【2018甘肃高台县模拟】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A.
27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320
mm π
【答案】B
6. 【2018湖南五市十校教研教改共同联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A.
13 B. 49 C. 59 D. 23
【答案】A
【解析】设齐王的三匹马分别记为a 1,a 2,a 3,田忌的三匹马分别记为b 1,b 2,b 3， 齐王与田忌赛马，其情况有：
(a 1, b 1)、(a 1, b 2)、(a 1, b 3)、(a 2, b 1)、(a 2, b 2)、(a 2, b 3)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2) 、(a 3, b 3)， 共9种；
其中田忌的马获胜的有(a 2, b 1)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2)共3种,则田忌获胜的概率为31
93
=， 故选：A.
7．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的400颗豆子中，落在圆内的有316颗，则估算圆周率的值为（ ） A. 3.13 B. 3.14 C. 3.15 D. 3.16
【答案】D
【解析】 设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 根据几何概型的概率公式，可以得到
64
4
80
π
=
，解得 3.16π≈，故选D ． 8. 【2018福建福州市第一中学模拟】圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”。

事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux ）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形,,,ABC A B C 分别以为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是
8
π 【答案】A。