电路原理课件-一阶电路的全响应
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稳态分量
t 0
t
暂态分量
i R (t ) i Rf [i R (0 ) i Rf ]e
t 0
电容中的电流响应为
U0 iC ( t ) I s i R ( t ) e R
U0 iC ( 0 ) I s R iCf 0
t RC
I se
2 10 0 V 4V 5
2. 求稳态值
uC1 f uC 2 f 0
3. 求时间常数
RC RC1 C2 25 s
4. 写出响应表达式
uC 1 (t ) 4e
t 25 V
uC1(0-)=10
uC(t)/V
t 0
4 uC2(0-)=0 0 τ 电容电压曲线
3) 求τ
Req 14 2 1 s 14 7
4) 写出i (t)
iL (t ) 4 (1 4)e
7 t
4 5e
7 t
A
t 0
例4 在图示电路中，电感电流iL(0)=0。t=0时，开关S1闭合后，经 过0.1s，再闭合开关S2。试求电感电流iL(t)。 解： 1、0+≤ t ≤0.1-s时
U0 Is R iC(0-)=0 0
零状态分量
i R( t ) iC (t) t
零输入分量
t
U0 - Is R
-U0/R
一阶电路对阶跃激励的全响应的一般表达式
r (t ) rf (t ) r (0 ) rf (0 ) eFra bibliotek
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为 一阶线性电路全响应的三要素。这种方法就叫做三要素 法。
3) 求τ
Req 20 15 35
L 1 s Req 35
4) 写出i3(t)
i3 ( t ) i3 f [i3 (0 ) i3 f ]e
2. 求i2(t)
di3 ( t ) 20i3 1 dt i2 ( t ) 30 0.095 0.028e 35t t 0
ucf
t 0
自由分量 暂态分量
强制分量 稳态分量
t RC
uC (t ) U 0e
t RC
RI s (1 e
t RC
)
t 0
t RC）
uc (t ) uc (0 )e
ucf （ 1 e
t 0
零输入分量
零状态分量
电容电压曲线 U0<RIs
uC(t) RIs U0
t 25 ( t ) 12 ( t )] A
ic2(t)/A
(12)
τ 0 -12/25 t/s
电容电流曲线
例6 图4-4-5所示电路在开关S断开前 工作在稳定状态，试求开关断开后 的电流iL2(t)和电压uL2(t)。 解： 1.求初值 换路前t = 0 时的电路
60 i L1 ( 0 ) A6A 10
5) 写出u (t)
u( t ) 10 3i 20 30(0.5 0.7e
40 t
) 20
5 21e 40 t t 0
课堂练习：P155 4-4-1 4-4-2
4-4-1 求题4-4-1图所示电路中的电容电压uc(t)，并绘出曲线。
解：1） 求uc(0+)
t
0.143 (0.2 0.143)e 35t t 0
3. 求i1(t)
i1 ( t ) i2 ( t ) i3 ( t ) 0.238 0.029e
35t
t 0
例3. 图示电路换路前已工作了很长的时间。试用三要素 法求换路后u(t)、i(t)。
uC 1 (0 ) uC 2 (0 ) uC (0 )
根据节点电荷不变的原则可得
C1uC 1 (0 ) C2uC 2 (0 ) C1uC 1 (0 ) C2uC 2 (0 )
(C1 C2 )uc (0 )
C1 uC 1 (0 ) C 2 uC 2 (0 ) uC 1 (0 ) uC 2 (0 ) uc (0 ) C1 C 2
i L 2 (0 ) 0 A
t = 0+ 时，两电感串联，必有
i L1 (0 ) i L2 (0 ) i L (0 )
根据回路磁通链不变的原则可得
L1i L1 (0 ) L2i L2 (0 ) L1i L1 (0 ) L2 i L2 (0 )
( L1 L2 )i L (0 )
7.5103 t
t
7.5103 t
2 198e
V
t 0
4-4-2 求题4-4-2图所示电路中的电感电流iL(t)。已知iL(0)= 1A。
解：1）求 iL(0+)
iL(0＋) ＝iL(0)= 1A
2）求if
10i1 f 4i1 f 0 i1 f 0 A i Lf 4 A
i L (t ) 0.5 (0.316 0.5 ）e
10( t 0.1)
A
t 0.1
例5在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F， R=5 ，uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开 关S闭合后，电容C2的端电压uc1(t) 、 uc2(t)和电流i2(t)。
解： 1.求初值 换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0 t = 0+时两电容并联 ，必有
uc(0+)=uc(0)=U0
uc (t ) uct (t ) ucf (t )
uct (t ) Be
t RC
ucf (t ) K
K=RIs
其通解为：
uc (t ) uct (t ) ucf (t ) Be
t RC
RI s
代入初始条件 uc(0+)=uc(0)=U0 得： B = U0RIs
12 [ e 25
t 25
( t ) 12 ( t )] A
电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷的跳变量
C2uC 2 (0 ) C2uC 2 (0 ) (3 4 0) C 12 C
电容元件C1上电荷的跳变量？？？
12 iC 2 ( t ) [ e 25
t RC
t 0
零输入分量 零状态分量
U0 ( I s - )e R
暂态分量
t RC
t 0
iC (t ) iCf [iC (0 ) iCf ]e
t
t 0
电阻电流曲线和电容电流曲线
iR( t ) Is U0/R iR(0-)=0 0
暂态分量 稳态分量
i C( t ) Is
稳态分量ucf(t)
U0>RIs
U0
uC(t)
uc(t)
RIs U0-RIs
uc(t) uct(t)
ucf(t) t
0
U0-RIs
暂态分量uct(t)
t
0
uC (t ) RI s (U0 RI s )e
t RC
t 0
电容电压曲线
uC ( t )
U0<RIs
RIs
uC(t) U0
uC1(t)非零状态
uC 2 (t ) 4e
t 25 ( t )V
uC2(t)为零状态
t/s
duC 2 ( t ) iC 2 ( t ) C 2 dt
1 25 [3 4 e ( t ) 3 4e 25 ( t )] A 25 t t
零输入分量 零状态分量
0
t RC t RC
t
uC (t ) U0e
RI s (1 e
)
t 0
电阻中的电流响应为
uc ( t ) U 0 i R (t ) e R R
t RC
I s (1 e
t RC
)
t 0
零输入分量
零状态分量
t RC
U0 I s ( - I s )e R
L1i L1 (0 ) L2 i L2 (0 ) i L 2 (0 ) i L (0 ) L1 L2
60 A2A 3
2. 求稳态值
iL2 f
60 A3A 10 10
3. 求时间常数
L 1 2 3 s s 0.15 s R 10 10 20
解: 1. 求i3(t) 1) 求i3(0+)
i3 (t ) i3 f [i3 (0 ) i3 f ]e
t
10 i3 (0 ) 0.2 A 30 20
i3 (0 ) i3 (0 ) 0.2 A
2) 求i3f
i3 f
30 10 0.143 A 30 20 30 12
解：1）求 iL(0+)
思路： 先用三要素法求 i(t)，再根据KVL 等定理求u(t)。
i L (0 ) 0.2 A
i (0 ) i L (0 ) i L (0 ) 0.2 A
2）求if
10 3i f 10i f 20 i f 0.5 A
3) 求τ
t 0
全响应电容电压为
uc (t ) uczi (t ) uczs (t )
U 0e
t RC
RI s (1 e
t RC
)
t 0
uC (t ) (U 0 RI s )e
t RC
RI s
t RC
t 0
uc (t ) [uc (0 ) ucf ]e
iL(0)=0 电感电流为零状态响应
i Lf 0.5A
2 0.1s 20
i L (t ) 0.5(1 e 10t )A
2、t ≥0.1+s 电感电流为全响应
0 t 0.1
i L (0.1 ) i L (0.1 ) 0.5(1 e 100.1 ) 0.316A 2 i 0 . 5 A 0.1s Lf 20
uo 10 3io 10i0 40i0
uo Req 40 io L 1 s Req 40
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e
t
0.5 ( 0.2 0.5)e 40t 0.5 0.7e 40t t 0
4. 写出响应表达式
t 0.15 iL2 ( t ) 3 (2 3)e (t ) A
注意： 1、零输入响应、零状态响应是全响应的特例，都可采用三 要素法进行求解； 2、以uc(t)和iL(t)为第一求解变量； 3、三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
例2. 图示电路换路前已工作了很长的时间，求换路后各 支路的电流。
思路： 先用三要素法求i3(t)
然后求uL(t)
di3 ( t ) uL ( t ) L dt 20i3 ( t ) uL ( t ) i2 ( t ) 30 i1 ( t ) i 2 ( t ) i 3 ( t )
uc (0 ) uc (0 ) 297 3 40 200V 20 40
2）求ucf
3 ucf 40 2V 20 40
3) 求τ
20 40 4 104 s 20 40 3
4) 写出uc (t)
uc (t ) ucf (uc (0 ) ucf )e 2 (200 2)e
§4-4 一阶电路对阶跃激励的全响应 全响应定义：由输入激励与 储能元件的原始状态 共同产生的响应。
例1.已知uc(0) = U0 ，求开关闭合后的uc(t) ， iR(t)
解法一：经典法 1）由换路定则：
uc (0 ) uc (0 ) U 0
2）t >0时电路的微分方程
duc (t ) Is 1 uc (t ) dt RC C
uC (t ) (U 0 RI s )e
t RC
RI s
t 0
解法二： 全响应=零输入响应+零状态响应
由原始状态uc(0)=U0引起的零输入响应电容电压为
uczi (t ) U0e
t RC
t 0
电路对阶跃电流激励Is (t)的零状态响应电容电压为
t RC uczs ( t ) RI s 1 e
t 0
t
暂态分量
i R (t ) i Rf [i R (0 ) i Rf ]e
t 0
电容中的电流响应为
U0 iC ( t ) I s i R ( t ) e R
U0 iC ( 0 ) I s R iCf 0
t RC
I se
2 10 0 V 4V 5
2. 求稳态值
uC1 f uC 2 f 0
3. 求时间常数
RC RC1 C2 25 s
4. 写出响应表达式
uC 1 (t ) 4e
t 25 V
uC1(0-)=10
uC(t)/V
t 0
4 uC2(0-)=0 0 τ 电容电压曲线
3) 求τ
Req 14 2 1 s 14 7
4) 写出i (t)
iL (t ) 4 (1 4)e
7 t
4 5e
7 t
A
t 0
例4 在图示电路中，电感电流iL(0)=0。t=0时，开关S1闭合后，经 过0.1s，再闭合开关S2。试求电感电流iL(t)。 解： 1、0+≤ t ≤0.1-s时
U0 Is R iC(0-)=0 0
零状态分量
i R( t ) iC (t) t
零输入分量
t
U0 - Is R
-U0/R
一阶电路对阶跃激励的全响应的一般表达式
r (t ) rf (t ) r (0 ) rf (0 ) eFra bibliotek
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为 一阶线性电路全响应的三要素。这种方法就叫做三要素 法。
3) 求τ
Req 20 15 35
L 1 s Req 35
4) 写出i3(t)
i3 ( t ) i3 f [i3 (0 ) i3 f ]e
2. 求i2(t)
di3 ( t ) 20i3 1 dt i2 ( t ) 30 0.095 0.028e 35t t 0
ucf
t 0
自由分量 暂态分量
强制分量 稳态分量
t RC
uC (t ) U 0e
t RC
RI s (1 e
t RC
)
t 0
t RC）
uc (t ) uc (0 )e
ucf （ 1 e
t 0
零输入分量
零状态分量
电容电压曲线 U0<RIs
uC(t) RIs U0
t 25 ( t ) 12 ( t )] A
ic2(t)/A
(12)
τ 0 -12/25 t/s
电容电流曲线
例6 图4-4-5所示电路在开关S断开前 工作在稳定状态，试求开关断开后 的电流iL2(t)和电压uL2(t)。 解： 1.求初值 换路前t = 0 时的电路
60 i L1 ( 0 ) A6A 10
5) 写出u (t)
u( t ) 10 3i 20 30(0.5 0.7e
40 t
) 20
5 21e 40 t t 0
课堂练习：P155 4-4-1 4-4-2
4-4-1 求题4-4-1图所示电路中的电容电压uc(t)，并绘出曲线。
解：1） 求uc(0+)
t
0.143 (0.2 0.143)e 35t t 0
3. 求i1(t)
i1 ( t ) i2 ( t ) i3 ( t ) 0.238 0.029e
35t
t 0
例3. 图示电路换路前已工作了很长的时间。试用三要素 法求换路后u(t)、i(t)。
uC 1 (0 ) uC 2 (0 ) uC (0 )
根据节点电荷不变的原则可得
C1uC 1 (0 ) C2uC 2 (0 ) C1uC 1 (0 ) C2uC 2 (0 )
(C1 C2 )uc (0 )
C1 uC 1 (0 ) C 2 uC 2 (0 ) uC 1 (0 ) uC 2 (0 ) uc (0 ) C1 C 2
i L 2 (0 ) 0 A
t = 0+ 时，两电感串联，必有
i L1 (0 ) i L2 (0 ) i L (0 )
根据回路磁通链不变的原则可得
L1i L1 (0 ) L2i L2 (0 ) L1i L1 (0 ) L2 i L2 (0 )
( L1 L2 )i L (0 )
7.5103 t
t
7.5103 t
2 198e
V
t 0
4-4-2 求题4-4-2图所示电路中的电感电流iL(t)。已知iL(0)= 1A。
解：1）求 iL(0+)
iL(0＋) ＝iL(0)= 1A
2）求if
10i1 f 4i1 f 0 i1 f 0 A i Lf 4 A
i L (t ) 0.5 (0.316 0.5 ）e
10( t 0.1)
A
t 0.1
例5在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F， R=5 ，uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开 关S闭合后，电容C2的端电压uc1(t) 、 uc2(t)和电流i2(t)。
解： 1.求初值 换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0 t = 0+时两电容并联 ，必有
uc(0+)=uc(0)=U0
uc (t ) uct (t ) ucf (t )
uct (t ) Be
t RC
ucf (t ) K
K=RIs
其通解为：
uc (t ) uct (t ) ucf (t ) Be
t RC
RI s
代入初始条件 uc(0+)=uc(0)=U0 得： B = U0RIs
12 [ e 25
t 25
( t ) 12 ( t )] A
电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷的跳变量
C2uC 2 (0 ) C2uC 2 (0 ) (3 4 0) C 12 C
电容元件C1上电荷的跳变量？？？
12 iC 2 ( t ) [ e 25
t RC
t 0
零输入分量 零状态分量
U0 ( I s - )e R
暂态分量
t RC
t 0
iC (t ) iCf [iC (0 ) iCf ]e
t
t 0
电阻电流曲线和电容电流曲线
iR( t ) Is U0/R iR(0-)=0 0
暂态分量 稳态分量
i C( t ) Is
稳态分量ucf(t)
U0>RIs
U0
uC(t)
uc(t)
RIs U0-RIs
uc(t) uct(t)
ucf(t) t
0
U0-RIs
暂态分量uct(t)
t
0
uC (t ) RI s (U0 RI s )e
t RC
t 0
电容电压曲线
uC ( t )
U0<RIs
RIs
uC(t) U0
uC1(t)非零状态
uC 2 (t ) 4e
t 25 ( t )V
uC2(t)为零状态
t/s
duC 2 ( t ) iC 2 ( t ) C 2 dt
1 25 [3 4 e ( t ) 3 4e 25 ( t )] A 25 t t
零输入分量 零状态分量
0
t RC t RC
t
uC (t ) U0e
RI s (1 e
)
t 0
电阻中的电流响应为
uc ( t ) U 0 i R (t ) e R R
t RC
I s (1 e
t RC
)
t 0
零输入分量
零状态分量
t RC
U0 I s ( - I s )e R
L1i L1 (0 ) L2 i L2 (0 ) i L 2 (0 ) i L (0 ) L1 L2
60 A2A 3
2. 求稳态值
iL2 f
60 A3A 10 10
3. 求时间常数
L 1 2 3 s s 0.15 s R 10 10 20
解: 1. 求i3(t) 1) 求i3(0+)
i3 (t ) i3 f [i3 (0 ) i3 f ]e
t
10 i3 (0 ) 0.2 A 30 20
i3 (0 ) i3 (0 ) 0.2 A
2) 求i3f
i3 f
30 10 0.143 A 30 20 30 12
解：1）求 iL(0+)
思路： 先用三要素法求 i(t)，再根据KVL 等定理求u(t)。
i L (0 ) 0.2 A
i (0 ) i L (0 ) i L (0 ) 0.2 A
2）求if
10 3i f 10i f 20 i f 0.5 A
3) 求τ
t 0
全响应电容电压为
uc (t ) uczi (t ) uczs (t )
U 0e
t RC
RI s (1 e
t RC
)
t 0
uC (t ) (U 0 RI s )e
t RC
RI s
t RC
t 0
uc (t ) [uc (0 ) ucf ]e
iL(0)=0 电感电流为零状态响应
i Lf 0.5A
2 0.1s 20
i L (t ) 0.5(1 e 10t )A
2、t ≥0.1+s 电感电流为全响应
0 t 0.1
i L (0.1 ) i L (0.1 ) 0.5(1 e 100.1 ) 0.316A 2 i 0 . 5 A 0.1s Lf 20
uo 10 3io 10i0 40i0
uo Req 40 io L 1 s Req 40
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e
t
0.5 ( 0.2 0.5)e 40t 0.5 0.7e 40t t 0
4. 写出响应表达式
t 0.15 iL2 ( t ) 3 (2 3)e (t ) A
注意： 1、零输入响应、零状态响应是全响应的特例，都可采用三 要素法进行求解； 2、以uc(t)和iL(t)为第一求解变量； 3、三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
例2. 图示电路换路前已工作了很长的时间，求换路后各 支路的电流。
思路： 先用三要素法求i3(t)
然后求uL(t)
di3 ( t ) uL ( t ) L dt 20i3 ( t ) uL ( t ) i2 ( t ) 30 i1 ( t ) i 2 ( t ) i 3 ( t )
uc (0 ) uc (0 ) 297 3 40 200V 20 40
2）求ucf
3 ucf 40 2V 20 40
3) 求τ
20 40 4 104 s 20 40 3
4) 写出uc (t)
uc (t ) ucf (uc (0 ) ucf )e 2 (200 2)e
§4-4 一阶电路对阶跃激励的全响应 全响应定义：由输入激励与 储能元件的原始状态 共同产生的响应。
例1.已知uc(0) = U0 ，求开关闭合后的uc(t) ， iR(t)
解法一：经典法 1）由换路定则：
uc (0 ) uc (0 ) U 0
2）t >0时电路的微分方程
duc (t ) Is 1 uc (t ) dt RC C
uC (t ) (U 0 RI s )e
t RC
RI s
t 0
解法二： 全响应=零输入响应+零状态响应
由原始状态uc(0)=U0引起的零输入响应电容电压为
uczi (t ) U0e
t RC
t 0
电路对阶跃电流激励Is (t)的零状态响应电容电压为
t RC uczs ( t ) RI s 1 e