圆台侧面积推导公式过程

圆台侧面积推导公式过程
1. 圆台的定义与相关参数。

- 设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l。

- 圆台可以看作是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥得到的。

2. 圆台侧面积公式推导思路。

- 我们先把圆台补成一个圆锥。

设补成的大圆锥的母线长为L。

- 根据相似三角形的性质，对于由圆台补成的大圆锥和截得圆台的小圆锥（被截掉的部分），有(L - l)/(L)=(r)/(R)。

- 解这个等式求L：
- 由(L - l)/(L)=(r)/(R)可得R(L - l)=rL。

- 展开得到RL - Rl=rL。

- 移项可得RL - rL = Rl，即L=(Rl)/(R - r)。

3. 计算圆台侧面积。

- 圆锥的侧面积公式为S=π rl（这里r是底面半径，l是母线长）。

- 大圆锥的侧面积S_1=π RL，小圆锥（被截掉部分）的侧面积S_2=π r(L - l)。

- 那么圆台的侧面积S = S_1 - S_2。

- 把L=(Rl)/(R - r)代入可得：
- S_1=π R×(Rl)/(R - r)=fra c{π R^2l}{R - r}。

- S_2=π r×((Rl)/(R - r)-l)=π r×(Rl-(R - r)l)/(R - r)=π r×(Rl - Rl+rl)/(R - r)=frac{π r^2l}{R - r}。

- 所以圆台侧面积S = S_1 - S_2=frac{π R^2l}{R - r}-frac{π r^2l}{R - r}=π
lfrac{R^2-r^2}{R - r}=π l(R + r)。