系统辨识

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辨识的输入信号(续 辨识的输入信号 续)
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辨识的输入信号(续 辨识的输入信号 续)
－ M序列的性质 1) 均衡性 在m序列的一周期中，“1”和“0”的数目基本相等。 1 的个数为 (p+1)/2=2r-1 0 的个数为(p-1)/2=2r-1-1 在4级移位存储器中, p=15 1 的个数为 8 0 的个数为 7
输出产生最大周期为 Np=24-1=15
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辨识的输入信号(续 辨识的输入信号 续)
由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各 级的状态将不断变化，通常移位寄存器的最后一级做输 出，输出序列为 ar,ar-1,…,a1,a0, 输出序列是一个周期序列。其特性由移位寄存器的级数、 初始状态、反馈逻辑所决定。 反馈逻辑函数或递推方程 ar=c1ar-1⊕c2ar-2 ⊕… ⊕ cra0 当初始状态为全零状态时，移位寄存器输出全 0 序列。 为了避免这种情况，需设置全 0 排除电路
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白噪声： 是白噪声,如果 白噪声： w(t)是白噪声 如果 是白噪声
Ew(t)=0; Rw(t)=σδ(t) 基本性质： 基本性质： Sw(ω)=F[Rw(t)]=σ, -∞<ω<∞ 低通白噪声: 低通白噪声 Sw(ω)=F[Rw(t)]=σ, -ω0<ω<ω0 自相关函数: 自相关函数 Rw(t)=F-1[Sw(ω)]=σ, -ω0<ω<ω0
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辨识的输入信号(续 辨识的输入信号 续)
－ 反馈逻辑函数的设计原则 力求m序列产生器的组成尽量简单 使用项数最少的那些本原多项式 以四级移位寄存器为例 本原多项式最少有三项 只需用一个模2加法器 例如, 4 级线性反馈移位寄存器中 互逆的四次本原多项式： x4+x+1 和 x4+x3+1 可以生成两组m序列
3
P－1 P j
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连续型随机信号 m序列可以自然产生连续伪随机信号 将每个离散点的状态保持到下个离散点 周期时间为：Tp=Npt, t为时间间隔 {Uk} → {u(t)}
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自相关函数： Ruu (τ)=E[u(t)u(t+τ)] 当τ=k t, Ruu (τ) 记为 Ruu (k), 在τ=k t +l处 Ruu (k t +l) = Ruu (k)+ l[Ruu (k+1)- Ruu (k)]/ t 功率谱密度 Suu (ω)=F-1[ Ruu (τ)] =δ(ω)/Np2 +[(Np+1)/ Np2 [sin(ωt/2)/ (ωt/2)] Σiδ(ω-iω0) 其中ω0 =2π/Tp基波频率。
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混合同余法： 混合同余法： xi+1=(Axi + c) mod M M=2k, A=2n+1, x0为非负整数, c为正整数 为非负整数 为正整数 ξi=xi/M 是循环周期为2k的伪随机序列。 是循环周期为 的伪随机序列。
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正态分布随机数产生： 正态分布随机数产生： {ξi} 为[0,1]均匀分布的的随机序列 均匀分布的的随机序列 ξ=E{ξi}=1/2 σξ2=var{ξi}=1/12 定义新的随机变量 x=(Σξi-Nξ)/(Nσξ2)1/2 充分大时， 当N充分大时，x~ N(0,1) 充分大时 p(x)=exp{-x2/2}/(2π)1/2
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状态矩阵的特征多项式 F(x)= 1+c1x+c2x2 +… + crxr (det[A]) 若一个r次多项式 满足下列条件 若一个 次多项式F(x)满足下列条件 次多项式 满足下列条件 (1) F(x)为既约多项式 即不能分解因式的多项式 ； 为既约多项式(即不能分解因式的多项式 为既约多项式 即不能分解因式的多项式)； 此时Np可以整除2r-1 此时 可以整除 若为素数则N 若为素数则 p=2r-1;
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注意到: Sw(ω)sin(ωt)为奇函数 注意到 Rw(t)=(1/2π)∫Sw(ω)cos(ωt)dω =(σ2ω0/π)[sin(ω0t)/ω0t] 白噪声序列： {w(k)}是离散随机序列 如果 白噪声序列： 是离散随机序列,如果 是离散随机序列 Ew(k)=0; Rw(l)=σδ (t), l=0,±1 ,±2,
系统辨识 (System Identification)
第五讲: 第五讲: 辨识的输入信号
王国利
http://human 信息科学与技术学院自动化系 中山大学
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辨识的输入信号
白噪声及其产生方法 - 基本概念
随机变量x： 随机变量 ：样本空间的函数 随机过程x(t)：随机变量关于时间的函数 ： 随机过程 平稳过程x(t)：随机变量的概率特性与时间无关 ： 平稳过程 E[x(t)]=E[x(t+τ)=x0 E[x(t)x(t+τ)]=Rx(τ) 例如： 例如：x(t)=cos(wt+θ), θ是[0,2π]的均匀分布变量 是 的均匀分布变量 E[x(t)]=0; E[x(t)x(t+τ)]=coswt/2
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M序列(最大长度线性反馈移存器序列) - 概述
一种具有白噪声统计特性的随机数产生方法 由数字电路产生的周期性伪随机序列 实现电路采用反馈移位寄存器结构
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实例: 实例 二值四级反馈移动寄存器 (c1,c2,c3,c4 )=(1,0,0,1) 初值: 初值 (a3,a2,a1,a0)=(1,0,0,0)
＋ 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 … 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 … 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 … 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 …
a3
1
a2
2
a1
3
a0
4
ak
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2) 游程分布 序列中取值连在一起的元素合称为一个“游程”。 游程中元素的个数称为游程长度。 例如，四级移位寄存器(r=4)的m序列如下： 000 1111 0 1 0 11 00 1 (Np=2r-1=15） 共有8(2r-1=23)个游程： 长度为r-0=4的游程有一个，为全1； 长度为r-1=3的游程有一个； 长度为r-2=2的游程有两个； 长度为r-3-1的游程有4个。
l
功率谱： 功率谱： Sw(ω)=ΣRw(l)exp(-jωl) =σ2,
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- 白噪声的产生
主要方法:均匀分布 正态分布 主要方法 均匀分布/正态分布 均匀分布 均匀分布递推算法的一般形式 ξi+1=f(ξi, ξi-1,…, ξ1) 乘同余法： 乘同余法： xi+1=Axi mod M M=2k, A=2m+3/2m+5, x0为正奇数 ξi=xi/M 是循环周期为2 的伪随机序列。 是循环周期为 k-2的伪随机序列。
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3) 自相关特性 在系统辨识中使用m序列，用+1代表 0，用-1代表 1 m序列{an}与经τ迟延移位序列{an-τ}分别表示为 {an}={a1,a2,…,ap} {an-τ}={a1 +τ,a2 +τ,…,ap,a1,…,aτ} m序列{an}自相关定义为 R(τ)=(a1a1+τ+a2a2+τ +…+ap-τap +…+apaτ)/Np =(0的数目－1的数目)/Np
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问题：给定级数 问题：给定级数r, 如何能够获得最长周期序列 Np=2r-1 归结为配置参数(c 归结为配置参数 r,cr-1,…,c1,c0＝1)的问题 的问题 记 a(i)=[ar,ar-1,…,a1,a0]T为i次移位的寄存器状态 次移位的寄存器状态 a(i+1)=Aa(i) 其中 A=[cr,cr-1,…,c1,c0; 1, 0, … ,0 ,0; 0, 1, … ,0 ,0; … 0, 1, … ,1 ,0] 矩阵A为状态转移矩阵 矩阵 为状态转移矩阵
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一般地，周期为p=2r-1的m序列中 游程总数为2r-1 长度为 1 的游程个数占游程总数的 1/2 长度为 2 的游程个数占游程总数的1/22=1/4 长度为 3 的游程个数占游程总数的 1/8 …… 长度为k的游程个数占游程总数的 1/2k=2-k 长为(r-1)的游程是连 0 游程 长为 r 的游程是连 1 游程 连 1游程与连 0 游程各占一半
(2) F(x)可整除 p+1), p=2r-1; 可整除(x 可整除 (3) F(x)除不尽 q+1), q<p； 除不尽(x 除不尽 ； 则称F(x)为本原多项式 为本原多项式。 则称 为本原多项式
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结论：给定级数 结论：给定级数n, 能够获得最长周期序列的充要条件 F(x)是本原多项式。 是本原多项式。 是本原多项式 以r=4为例来说明M序列产生器的构成 用 4 级线性反馈移位寄存器产生的m序列，其周期为 Np=24-1=15 其特征多项式F(x)是 4 次本原多项式，能整除(x15+1)。 先将(x15+1)分解为既约多项式的因式，再寻找F(x)。 x15+1 = (x+1) (x2+x+1) (x4+x+1) (x4+x3+1) (x4+x3+x2+x+1) 四次本原多项式： x4+x+1 和 x4+x3+1
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3) 移位相加特性 一个m序列{an}与经τ迟延移位序列{an-τ}模2相加 得到的仍是{an} 的某次迟延移位序列 例如，3级M序列 1110010 其1次延迟序列 0111001 则模２加的序列 1 1 1 0 0 1 0 ⊕0 1 1 1 0 0 1＝ 1 0 0 1 0 1 1 为延迟5次的结果
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为了生成具有分布N(η, ση2)的随机数，定义 的随机数， 为了生成具有分布 的随机数 η= η+ ση(Σξi-N/2)/(N/12)1/2 显然 (η - η)/(ση 2)1/2 =(Σξi-Nξ)/(Nσξ2)1/2 ~N(0,1)
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根据移位相加特性，{an}⊕{an-τ}仍是m序列中的元素 m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差 又由m序列的均衡性可知，0 比 1 的个数少一个 R(0)= 1； R(τ)=-1 /Np
R(j) 1对比白噪声 Nhomakorabea－P－3 －2 －1 0
1
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