九年级数学人教版上册 第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角(附答案)

人教版数学第二十四章圆之弧、弦。

圆心角（附答案）一、选择题
1.如图，AD是⊙O的直径，且AD＝6，点B，C在⊙O上，⌒
AmB＝
⌒
AnC，∠AOB＝120°，点E是线
段CD的中点，则OE等于()
A． 1
B．3√3
2
C． 3
D． 2√3
2.如图，在⊙O中，⌒
AB＝⌒
CD，∠1＝45°，则∠2等于()
A． 60°B． 30°C． 45°D． 40°
3.如图，⌒
AB＝2⌒
CD，则下列正确的是()
A．AB＝2CD
B．AB＞2CD
C．AB＜2CD
D．无法确定
4.下列语句中，正确的有()
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
5.如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是()
A．AB＝CD
B．⌒
AB＝⌒
CD
C．△AOB≌△COD
D．△AOB、△COD都是等边三角形
6.在⊙O上有顺次三点A，B，C，且⌒
AB＝⌒
BC＝⌒
AC，则△ABC的形状是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
二、填空题
7.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．________(填“正确”或“错误”)
8.在⊙O中，已知⌒
AB＝2⌒
CA，那么线段AB与2AC的大小关系是________．(从“＜”或“＝”或“＞”中选择)
9.如图，⌒
AD＝⌒
BC，若AB＝3，则CD＝________.
10.如图，在⊙O中，⌒
AB＝⌒
CD，如果∠AOC＝65°，则∠BOD＝________.
三、解答题
11.如图，在⊙O中，点C为⌒
AB的中点，AD＝BE.求证：CD＝CE.
12.已知A，B，C三点在⊙O上，AB＝BC，求证：OB平分∠AOC.
13.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°.求证：△ABC是等边三角形．
14.如图，在⊙O中，已知AC＝BD，证明：
(1)OC＝OD；
(2)⌒
AE＝⌒
BF.
15.如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.
(1)求证：AB＝CD；
(2)如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
答案解析
1.【答案】B
【解析】∵⌒AmB ＝⌒AnC ，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠AOB ＝120°，∴∠DOC ＝60°，
∵OD ＝OC ，E 为DC 的中点，∴∠COE ＝12∠DOC ＝30°，OE ⊥DC ，∴CE ＝12OC ，
∵OC ＝OD ＝12AD ＝12×6＝3，∴CE ＝32
， 在Rt △EOC 中，由勾股定理可得OE ＝√OC 2−CE 2＝√32−(√32)2＝3√32.
2.【答案】C
【解析】∵⌒AB
＝⌒CD ，∴∠2＝∠1＝45°. 3.【答案】C
【解析】如图，
取⌒AB 的中点E ，则⌒AE ＝⌒BE ，则⌒AB ＝2⌒AE ，
∵⌒AB ＝2⌒CD ，∴⌒AE ＝⌒EB ＝⌒CD
，∴AE ＝BE ＝CD ， 在△AEB 中，由三角形的三边关系得AB ＜AE ＋BE ，∴AB ＜2CD .
4.【答案】A
【解析】此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A 正确；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故B 错误；在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C 错误；任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D 错误．
5.【答案】D
【解析】∵∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，⌒
AB＝⌒CD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD，故选D.
6.【答案】C
【解析】⌒
AB＝⌒
BC＝
⌒
AC，∴AB＝BC＝CA，∴△ABC是等边三角形．
7.【答案】正确【解析】
8.【答案】＜【解析】如图，
∵⌒
AB＝2
⌒
CA，∴
⌒
AC＝
⌒
CB，∴AC＝BC，
在△ABC中，AC＋BC＞AB，∴AB＜2AC.
9.【答案】3
【解析】∵⌒
AD＝⌒
BC，∴⌒
AB＝⌒
DC，∴CD＝AB＝3.
10.【答案】65°
【解析】∵在⊙O中，⌒
AB＝⌒
CD，∴⌒
AC＝⌒BD，
∵∠AOC＝65°，∴∠BOD＝65°.
11.【答案】证明：连接OC，
∵点C为⌒
AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC.∵AD＝BE，OA＝OB，∴OD＝OE.
在△COD与△COE中，{
OD=OE,∠DOC=∠EOC, OC=OC,
∴△COD≌△COE(SAS)．∴CD＝CE.
【解析】连接OC，先根据点C为⌒
AB的中点，得出∠AOC＝∠BOC，再由AD＝BE，OA＝OB可得OD ＝OE，根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
12.【答案】证明：连接OA，OC，
∵AB＝BC，∴∠AOB＝∠COB，∴OB平分∠AOC.
【解析】连接OA，OC，再根据AB＝BC即可得出结论．
13.【答案】证明：∵点A，B，C都在⊙O上，∴∠AOB，∠BOC，∠AOC都是圆心角，
又∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．
【解析】由点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°，可得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，根据圆心角与弦的关系，可得AB＝BC＝AC，即可证得△ABC是等边三角形．
14.【答案】证明：(1)连接OA，OB.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
在△OAC和△OBD中，{OA=OB,∠A=∠B, AC=BD,
∴△OAC≌△OBD(SAS)．∴OC＝OD.
(2)∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD.∴⌒
AE＝⌒BF.
【解析】(1)首先连接OA，OB，利用SAS可判定△OAC≌△OBD，继而证得OC＝OD.
(2)由△OAC≌△OBD，可证得∠AOC＝∠BOD，然后由圆心角与弦的关系，证得结论．15.【答案】(1)证明：
∵AD＝BC，∴⌒
AD＝⌒
BC.∴⌒
AB＝
⌒
CD，∴AB＝CD.
(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.
则AF＝FD，BG＝CG.∵AD＝BC，∴AF＝CG.
在Rt△AOF与Rt△COG中，{AF=CG,
OA=OC,∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL)，∴OF＝OG.
又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形．∴OF＝EF.
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x＋1，
在Rt△OAF中．由勾股定理得到x2＋(x＋1)2＝52，解得x＝3.则AF＝3＋1＝4，即AE＝AF＋EF＝4＋3＝7.
【解析】(1)欲证明AB＝CD，只需证得⌒
AB＝⌒
CD.
(2)如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．。