距离判别分析法在岩体质量等级分类中的应用

2.3 多个总体的距离判定
设有 k 个 m 元总体：G1 ，G2 ，L，Gk (k＞2) ， 其各自的均值向量和协方差矩阵分别为 μi ， Σ i (i = 1，2，L，k) 。 对 任 意 给 定 的 m 元 样 本 X = {x1，x2，L，xm}T ，判断其属于哪个总体，可以 按马氏距离最近准则对 X 进行判别分类。首先计算
以 II，III 和 IV 类岩体作为 3 个不同的总体， 并假定 3 个总体的协方差矩阵相等。按照本文提出 的距离判别分析法进行计算、学习，图 1 给出了距 离判别分析模型示意图。
1引言
工程岩体质量是复杂岩体工程地质特性的综合 反映。它不仅客观地反映了岩体结构固有的物理力 学特性，而且为工程稳定性分析、岩体的合理利用 以及正确选择各类岩体力学参数等提供了可靠的依 据[1]。因此，工程岩体质量等级分类是岩石力学与
岩石工程中的一项重要工作[2，3]。 岩体由于需要考虑的因素众多和其不确定性，
摘要：将距离判别分析法应用于岩体质量等级分类问题中，建立岩体质量等级分类的距离判别分析模型，选用单
轴抗压强度、岩体声波纵波速度、体积节理数、节理面粗糙度系数、节理面风化变异系数和透水性系数 6 项指标
作为距离判别分析模型的判别因子，以工程岩体实测数据作为学习样本进行训练，建立相应线性判别函数对待判
样本进行分类。研究结果表明，距离判别分析模型分类性能良好，预测精度高，回判估计的误判率很低，是岩体
第 26 卷 第 1 期 2007 年 1 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.26 No.1 Jan.，2007
距离判别分析法在岩体质量等级分类中的应用
宫凤强，李夕兵
(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083)
X (i) (t)
= {xt(1i)，xt(2i)，L，xtim }T
(i = 1，2；t = 1，2，L，ni )
(3)
式中：ni 为取自 Gi 的样本个数。则总体 Gi 的均值向 量 μi 的估计量为
∑ ∑ (i)
X
=
⎜⎜⎝⎛
1 ni
ni t =1
xt(1i )，⋅
⋅
⋅
，1 ni
ni t =1
x(i) tm
统计量作为 μi 和 Σ i 的估计进行计算。 2.4 判别准则的评价
为考察上述判别准则的优良性，采用以训练样
本为基础的回代估计法来计算误判率[12]。
仍以 2 个总体G1 和G2 为例，来自总体Gi (i = 1，2)
的训练样本
X (i) (t)
= {xt(1i)，xt(2i)，L，xtim }T
样本 X 到 k 个总体的马氏距离 d 2 ( X，Gi ) (i = 1， 2，L，k) ，然后进行比较，把样本 X 判归距离最小 的那个总体。设 i = l 时，若
d
2
(
X，Gl
)
=
min {d
i=1，2(10)
则样本 X ∈Gl 。 计算马氏距离 d 2 ( X，Gi ) 时，可以用学习样本
X
T S −1 X
−
2⎢⎣⎡⎜⎝⎛ S −1 X
(i)
⎟⎠⎞T
X
−
1 2
⎜⎝⎛
(i)
X
⎟⎠⎞T
S
−1
X
(i
)
⎤ ⎥⎦
=
X TS−1X − 2Yi (X ) (i =1，2)
(7)
式中： Yi ( X ) 为样本 X 的线性函数。 对给定的待判样本 X，计算其到各总体的马氏
距离，只需计算 Yi ( X ) 即可，即
总体 G2 的样本误判为总体 G1 的个数。误判率η 的
回代估计为
η = n12 + n21
(11)
n1 + n2
3 岩体质量等级判定的距离判别分 析模型
3.1 判别参数的确定 岩体是具有一定结构面的地质体，影响岩体质
量等级的主要有岩石性质、岩体结构和赋存环境 3 个因素[8]。参考有关研究结果，经综合分析后，确
第 26 卷 第 1 期
宫凤强，等. 距离判别分析法在岩体质量等级分类中的应用
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数的质量评定模型，通过定量的数值表示评价结果。 原国红等[5～7]将可拓学理论应用到了岩体质量的评 价当中。王 彪等[8]提出了评价岩体质量的神经网 络方法。赵洪波等[2，3]利用支持向量机来对工程岩 体进行分级。判别分析法是根据观测到的样本的若 干数量特征(简称判别因子)对新获得的样本进行归 类、识别，判断其所属类型的一种统计分析方法， 该方法由英国统计学家 Pearson 在 1921 年首先提 出，已在自然科学和社会科学的各个领域得到广泛 应用，包括医学、气象学、经济学、考古学、环境 科学、地质学、农林学、体育学等领域的多个层面。 尽管如此，判别分析法在岩土工程领域内的应用至 今很少见文献报道。本文借鉴了判别分析理论的思 想，并且考虑实际工程中影响岩体质量的因素，试 图建立距离判别分析模型对岩体质量等级进行分 类。该模型选用多项指标作为综合评判的判别因子， 建立了相应的线性判别函数进行分类，并在实际工 程中进行运用，取得了良好的效果。
定以单轴抗压强度 R (X1) 、岩体声波纵波速度 VP ( X 2 ) 、体积节理数 J v ( X 3 ) 、节理面粗糙度系数 Jr ( X 4 ) 、节理面风化变异系数 Ja ( X 5 ) 和透水性系数 Wk ( X 6 ) 作为距离判别分析模型的判别因子。 3.2 距离判别分析模型的建立
以王 彪等[8]所提供的四川省金沙江白鹤滩水
X ∈G1 (d 2 ( X，G1)＜d 2 ( X，G2 )) ⎪⎫ ⎬
(6)
X ∈G2 (d 2 ( X，G1)≥d 2 ( X，G2 ))⎪⎭
利用马氏距离的定义及 2 个总体协方差矩阵相 等的假设，简化马氏距离的计算公式如下：
d 2 ( X，Gi ) = ⎜⎝⎛ X − X (i) ⎟⎠⎞T S −1⎜⎝⎛ X − X (i) ⎟⎠⎞ =
(t = 1，2，L，
ni ) ，其中 ni 为取自 Gi 的样本个数，并且 2 个总体
的 容 量 分 别 为 n1 和 n2 。 以 全 体 训 练 样 本 作 为
n1 + n2 个新样本，逐个代入已建立的判别准则中判
别其归属，这个过程称为回判。用 n12 表示将属于总
体 G1 的样本误判为总体 G2 的个数， n21 表示将属于
Yi ( X )
=
(S −1 X (i) )T
X
−
1 2
( X (i) )T
S −1
(i)
X
(i = 1，2)
(8)
2 个总体的距离判别准则为
X ∈G1 (Y1( X )＞Y2 ( X )) ⎪⎫ ⎬
(9)
X ∈G2 (Y1( X ) ≤Y2 ( X ))⎪⎭
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岩石力学与工程学报
2007 年
电站工程岩体实测资料为例，选取其中 20 个样本数 据进行学习，其余 10 个样本数据作为待判样本进行
检验。并以单轴抗压强度、岩体声波纵波速度、体 积节理数、节理面粗糙度系数、节理面风化变异系 数和透水性系数作为距离判别分析模型的判别因 子，将工程岩体分为 II，III 和 IV 类岩体 3 个类别。
质量等级分类的一种有效方法，可以在实际工程中进行推广。
关键词：岩石力学；岩体工程质量；距离判别分析；分类
中图分类号：TU 45
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2007)01–0190–05
APPLICATION OF DISTANCE DISCRIMINANT ANALYSIS METHOD TO CLASSIFICATION OF ENGINEERING QUALITY OF ROCK MASSES
S = (n1 −1)S1 + (n2 −1)S2 = A1 + A2
(5)
n1 + n2 − 2
n1 + n2 − 2
假设 Σ1 = Σ2 ，此时对给定的待判样本 X = {x1，x2，L，xm}T ，判断属于哪个总体，很直观的想 法是分别计算样本 X 到 2 个总体的马氏距离
d 2 ( X，G1) 和 d 2 ( X，G2 ) ，并按距离最近准则判别 归类，判别准则为
致使目前已经发展出很多种分类方法[2～10]，如传统 的分类方法中有的方法简便、快速，但考虑的因素 不够；有的方法实用性窄，使用起来有局限性。实 际工程中地质情况千差万别，不同分类方法中的考 虑因素由于评分标准不同不可以互相选用[5]。可拓 评判则是从可拓集合理论出发，建立多指标性能参
收稿日期：2006–01–05；修回日期：2006–02–15 基金项目：国家自然科学基金重大项目(50490274)；国家自然科学基金资助项目(10472134) 作者简介：宫凤强(1979–)，男，2003 年毕业于中南大学土木工程专业，现为博士研究生，主要从事岩土工程稳定性、可靠性分析及其应用等方面的 研究工作。E-mail：fengqiangg@
2 距离判别分析法分类模型
判别分析法[11]通常从各训练样本中提取已有
的各总体信息，构造一定的判别准则，来判断新样
本属于那个总体。其中距离判别的基本思想是：比
较样本和每个总体的马氏距离，并将其判定属于马
氏距离最近的那个总体。
2.1 马氏(Mahalanobis)距离
设总体 G = {X1，X 2，L，X m}T 为 m 元总体(考 察 m 个指标)，样本 X = {x1，x2，L，xm}T 。令 μi = E( Xi ) ( i = 1，2，L，m )，则总体 均值向量为 μ = {μ1，μ2，L，μm}T 。总体 G 的协方差矩阵为