第11章解三角形(考点串讲)高一数学下学期期末考点大串讲(2019)

A.
B.
C.
D.
6.在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，a＝1，c＝ 26，A ＝45°，则 C 等于
A.30°
B.60°
C.120°
√D.60°或 120°
因为 a＝1，c＝ 26，A＝45°，
所以由正弦定理可得
sin
C＝csian
A＝
26× 1
2 2＝
23，
又因为0°<C<180°，c>a，A＝45°，所以C＝60°或120°.
考点2．三角形解的判断
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
考点3． 三角形中常用的面积公式
(1)S＝12aha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝
1 2absin C
＝
1 2acsin B
＝
1 2bcsin A
整理得sin Bcos C－sin Acos C＝0， 所以(sin B－sin A)cos C＝0， 所以sin B＝sin A或cos C＝0， 因为 A，B，C∈(0，π)，所以 A＝B 或 C＝π2， 即△ABC的形状一定是等腰或直角三角形.
⁠
8.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是 （）
A＋B 2
＝cos C2；cos A＋2 B＝sin C2.
⁠
1.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. 2.三角形中的三角函数关系 （1）sin（A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C；
3.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
02 题型剖析
题型1.利用正、余弦定理解三角形 ⁠
答案 2
题型2.判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，b＝8， 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形， 并说明理由.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
c＝ 2Rsin C ；
变形
(2)sin
A＝
a 2R
，
b
c
sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
(3)a∶b∶c＝_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C__
余弦定理
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______
7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccos B
－ccos A，则△ABC的形状一定是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
√D.等腰或直角三角形
因为a－b＝ccos B－ccos A， 所以由正弦定理得 sin A－sin B＝sin Ccos B－sin Ccos A， 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C－sin Acos C－cos Asin C＝sin Ccos B－ sin Ccos A，
解 （2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
｜解题技法｜ 证明与三角形有关等（不等）式的一般思路
（1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式转化为 以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等（不等）式； （2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔sin A＞sin B；③a －b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
；
(3)S＝ 12r(a＋b＋c) (r为三角形的内切圆半径).
考点4． 三角形中常用的面积公式
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin
题型5.平面图形中的计算问题
【例5】 如图，在圆内接△ABC中，∠CAB，∠ABC，∠ACB所对的边分别为 a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝2bcos∠ABC. （1）求∠ABC的大小；
｜解题技法｜ 利用正、余弦定理解决平面图形问题的策略
（1）将所给平面图形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦 定理建立边角关系进行求解； （2）充分注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关系， 交叉使用公共条件进行求解； （3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用； （4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.
若选②，
｜解题技法｜
判定三角形形状的两种常用途径
提醒 “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边 化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的 关系.
⁠
题型3.三角形中与面积有关的问题
（1）求边DE的长；
（2）若AD＝3，求△ACD的面积.
｜解题技法｜ 1.求三角形面积的方法 （1）若已知三角形的一个角（角的大小或该角的正、余弦值）及该角的两边长 度，代入公式求面积； （2）若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入 公式求面积，或直接代入海伦公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积公式是 解题的关键. 2.已知三角形面积求边、角的方法 （1）若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； （2）若求边，就寻求与该边（或两边）有关联的角，利用面积公式列方程 求解.
定理 内容
正弦定理
a sin
A＝
b sin
B
＝
c sin
C
＝2R
余弦定理 a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ； c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s__C__
考点1． 正弦定理、余弦定理
定理
正弦定理
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2Rsin B ，
苏教版(2019) 必修二 第11章 解三角形 考点大串讲
串讲03 第11章 解三角形
目 录
01 考点透视
4大常考点：知识梳理、思维导图
02 题型剖析
20个题型典例剖析+技巧点拨
03 押题预测
精选14道期末真题对应考点练
01 考点透视
考点1． 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆 半径，则
A.有一解 C.无解
B.有两解 D.有解但解的个数不确定
⁠
12.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若5asin A＋5bsin B＋8asin
B＝5csin C，则cos C＝
.
Hale Waihona Puke ⁠（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
题型4.与三角形有关的证明问题
【例4】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B） ＝sin B·sin（C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2；
法二：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝ sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
03 押题预测
⁠
A.
B.
C.
D.
A.2
B.
C.2
D.3
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a＋b）（sin A－sin B） ＝c（sin C＋sin B），b＋c＝4，则△ABC的面积的最大值为 （ ）
A.
B.
C.1
D.
⁠
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形