【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业40 数列的综合应用 理 新人教B版

课时作业(四十) 数列的综合应用
A 级
1．(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *
)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )
A ．52
B ．40
C ．26
D ．20
2．已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，
a 1＞
b 1，a 1，b 1∈N *(n ∈N *)，则数列{ab n }的前10项的和等于( )
A ．65
B ．75
C ．85
D ．95
3．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2
－b n x ＋2n
的两个零点，则
b 10等于( )
A ．24
B ．32
C ．48
D ．64
4．(2011·某某卷)设{a n }是各项为正数的无究数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )
A ．{a n }是等比数列
B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列
C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列
D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同
5．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．
6．(2012·某某模拟)若数列{a n }满足
1
a n ＋1－1a n
＝d (n ∈N *
，d 为常数)，则称数列{a n }为“调
和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1x n 为“调和数列”，且
x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是
________．
7．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3
与a 5的等比中项为2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n
n 取最大值时，求n 的值．
8．(2012·某某模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
12
a n ＋n n 为奇数，n ∈N *
a n －2n n 为偶数，n ∈N *.
(1)求a 2，a 3；
(2)设b n ＝a 2n －2，n ∈N *
，求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式； (3)已知＝log 12|b n |，求证：1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1
－1＜1.
B 级
1．祖国大陆允许某某农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和某某农民创业园，某某农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？
2．(2012·某某市调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)． (1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．若存在，求出λ的
值，若不存在，请说明理由；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 详解答案
课时作业(四十)
A 级
1．B 由题意，知
S n ＋1－S n
n ＋1－n
＝3n －2，
∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n －5， 因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40.
2．C 应用等差数列的通项公式得 a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1， ∴ab n ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1 ＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，
∴数列{ab n }也是等差数列，且前10项和为10×4＋13
2＝85.
3．D 依题意有a n a n ＋1＝2n
，所以a n ＋1a n ＋2＝2
n ＋1
，两式相除得
a n ＋2
a n
＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2.所以a 10＝2·24
＝32，a 11＝1·25
＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.
4．D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则
A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4
a 2
，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2
a n
＝q ，从而{A n }为等比数列．
5．解析： 由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝1212＋1
2
ar ＝78ar . 答案： 78ar
6．解析： 因为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *
，d 为常数)，即数
列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得
20
x 1＋x 20
2
＝
20x 3＋x 18
2
＝200，即x 3＋
x 18＝20，易知x 3，x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x 3＋x 1822＝100，即x 3x 18
的
最大值为100.
答案： 100
7．解析： (1)因为a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，所以a 23＋2a 3a 5＋a 2
5＝25， 又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.
又a 3与a 5的等比中项为2，所以a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，所以a 3>a 5，所以a 3＝4，a 5＝1， 所以q ＝12，a 1＝16，所以a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n
.
(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，所以b n ＋1－b n ＝－1， 故{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， 所以S n ＝
n 9－n
2，所以S n n ＝9－n
2
.
当n ≤8时，S n
n
>0；当n ＝9时，S n
n
＝0；当n >9时，S n n
<0； 所以当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n
n 取最大值．
8．解析： (1)由数列{a n }的递推关系易知：a 2＝32，a 3＝－5
2.
(2)证明：b n ＋1＝a 2n ＋2－2＝1
2a 2n ＋1＋(2n ＋1)－2
＝12a 2n ＋1＋(2n －1)＝1
2(a 2n －4n )＋(2n －1) ＝12a 2n －1＝12(a 2n －2)＝12
b n . 又b 1＝a 2－2＝－12，∴b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝12，
即数列{b n }是公比为12，首项为－1
2
的等比数列，
b n ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n .
(3)证明：由(2)有＝log 12|b n |＝log 12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
＝n .
∵1n －1n ＝1n －1－1
n (n ≥2)．
∴
1
c 1c 2
＋
1
c 2c 3＋…＋1－1
＝11×2＋12×3＋…＋1
n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1
n
＜1.
B 级
1．解析： 由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )，
则f (n )＝50n －⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤12n ＋
n n －1
2
×4－72＝－2n 2＋40n －72.
(1)获取纯利润就是要求f (n )＞0， 故有－2n 2
＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18. 又n ∈N *，知从第三年开始获利． (2)①平均利润为
f n n ＝40－2⎝
⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号．
故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2n 2
＋40n －72＝－2(n －10)2
＋128， 当n ＝10时，f (n )max ＝128.
故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．
比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 2．解析： (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设
b n
b n －1
＝q (n ≥2)． 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1. 与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，
令⎩
⎪⎨
⎪⎧
q －λ＝1qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.
所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．
当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1得a n ＋1－2a n ＝－a n ＋2a n －1 ∴
a n ＋1－2a n a n －2a n －1
＝－1，∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1
(n ≥1)，
所以a n ＋12n ＋1－a n
2n ＝－1
n ＋1
2
n ＋1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n ＋1
(n ≥1)，
当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
a n 2n －a n －12n －1
＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n
＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12 ＝12＋16⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 因为a 121＝1
2
也适合上式．
所以a n 2n ＝12＋16⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ≥1)，
所以a n ＝13[]2n ＋1
＋－1
n
.。