高二数学上学期第一次学段考试试题 理 试题(共9页)

HY2021-2021学年度第一(dìyī)学期第一次学段考试
高二数学〔理〕试卷
一、选择题〔每一小题5分，一共60分，只有一个正确选项〕
1．的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，那么ABC
的周长是〔〕
A．B．6 C．
D．12
2．双曲线的一个焦点坐标为〔〕
A. B. C. D.
3．抛物线的准线方程是，那么的值是〔〕
A. B. C. 4 D.
4．中心在原点的双曲线的一个顶点为，虚轴长为2．那么双曲线C的方程为( )
A. B． C． D．
5．椭圆，长轴在轴上. 假设焦距为，那么等于
〔〕
A. B. C. D. 6．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点一样，离心率为，那么此椭圆的方程为〔〕
A．B．C．
D．
7．相距(xiāngjù)1千米的甲、乙两地，听到炮弹爆炸的时间是相差2秒，那么炮弹爆炸点的轨迹可能是〔〕
A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线
8．过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,假设,那么椭圆的离心率为〔〕
A. B. C. D.
9．假设点到双曲线的一条渐近线的间隔为，那么双曲线的离心率为〔〕
A.2
B.
C.22
D.23 10．P为椭圆上的点，是两焦点，假设，那么的面积是〔〕
A. B. C.43 D.
11．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，那么的值是〔〕
A. B. C. D.
12．抛物线上的点到直线(zhíxiàn)间隔的最小值是
〔〕
A. B. C. D.
二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕
13．假设是双曲线左支上一点，那么的取值范围
是；
14．抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为y ，且焦点在直线
上．那么抛物线C的方程为；
15．直线过抛物线的焦点，且与抛物线C交于两点〔点A在x轴的上方〕，假设，那么；
16．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，那么椭圆E的离心率的取值范围是_________.
三、解答题〔一共70分，写出必要的步骤〕
17．〔本小题一共10分〕如下图，在ABC
∆的周长为
∆中，，且ABC 20．建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
C
A B
18．〔本小题一共(yīgòng)12分〕点,A B的坐标分别是，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
19．〔本小题一共12分〕点P是椭圆一点，F为椭圆C 的一个焦点，的最小值为，最大值为．
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕直线被椭圆C截得的弦长为，求m的值．
20．〔本小题一共12分〕双曲线C与双曲线有一共同的渐近线，且过点．
〔1〕求双曲线C的方程；
〔2〕假设直线与双曲线C左支交于,A B两点，求的取值范围；
21．〔本小题一共(yīgòng)12分〕F 为抛物线
的焦点，过F
垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4． 〔1〕求抛物线C 的方程； 〔2〕过点
，且斜率为的直线被抛物线C 截得的弦为
，假设点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的范围．
22．〔本小题一共12分〕椭圆
的左、右焦点为别为
、
，且过点和.
〔1〕求椭圆的HY 方程；
〔2〕如图，点A 为椭圆上一动点〔非长轴端点〕，
的延长线与椭圆交于点
，
的延长线与椭圆交于点C ，求ABC 面积的最大值．
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
C
D
D
C
B B
D
A
A
C
B
x
y
O
1
F 2F
C
B
A
二、填空题 13.
14.
15.
16.
三、解答(ji ěd á)题
17.解：以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如下图，那么A (－3，0)，B (3，0)．因为||6AB =，且ABC ∆的周长为20，所以|AC |+|BC |＝20-6=14>6. 〔5分〕
由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A (－3，0)，B (3，0)
为焦点，长轴长为14的椭圆(除去与x 轴的交点)．所以a ＝7，c ＝3，b 2
＝a 2
－c 2
＝40
即所求轨迹方程为. 〔10分〕
18.解：设动点M 〔x,y 〕,那么，整理得，
即. 〔3分〕
(1)当m ＝-1时，，表示圆心在原点，半径为2的圆； 〔6分〕
(2)当-4m>0即m<0且时，方程
22
1(2)4-4x y x m
+=≠±，表示椭圆〔除去与x 轴两个交点〕； 〔9分〕
(3)当-4m ＜0即m ＞0时，方程为
22
1(2)4-4x y x m
+=≠±，表示的双曲线〔除去与x 轴两个交点〕. 〔12分〕 19.解：〔1〕由题意可知
，所以椭圆方程
为. 〔4分〕
〔2〕设直线(zh íxi àn)l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
联立得
,, 又，〔8分〕
|MN|＝1＋k2·〔x1＋x2〕2－4x1·x2＝42
3
，
整理得∴m＝±1，符合题意.综上，m＝±1. 〔12分〕
20.解：〔1〕设双曲线C的方程为，把点(2,2)
代入可得，所以双曲线C的方程为。

〔4分〕
〔2〕设
联立，消去y得：，①〔6分〕
与左支有两个交点等价于方程①有两个不相等的负根。

解不等式得：，且；
解不等式得：。

综上可以k的取值范围是。

〔12分〕
21.解：〔1〕抛物线的焦点坐标为，把代入得，所以，因此抛物线方程为。

〔4分〕
〔2〕设1122(,),(,)A x y B x y ，过点(,0)m ，且斜率(xi él ǜ)为1的直线方程为
， 联立
,消去y 得：
，得：。

由题意可知：，
〔8分〕
易知
，点F 在以AB 为直径的圆内等价于
，
解得：
，符合1m >-
综上可得m 的范围是。

〔12分〕
22. 解：〔1〕将点2
(1,
)2
和23(
,)22代入椭圆方程得：，解得：
所以椭圆的方程为2
212
x y +=。

〔4分〕
〔2〕①当AB 的斜率不存在时，易知
，
〔6分〕
②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为，联立方程组
，消去y 得：
设1122(,),(,)A x y B x y ，
， 〔8分〕。

点O 到直线(zh íxi àn)AB 的间隔 ，
因为O 是线段的中点，所以点点C 到直线AB 的间隔 为
所以
综上，ABC 2 〔12分〕
内容总结
（1）〔12分〕。