2020年浙江省温州市一中高三数学文上学期期末试卷含解析

2020年浙江省温州市一中高三数学文上学期期末试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且
，则下列结论中错误的是
（A）
（B）
（C）三棱锥的体积为定值
（D）
参考答案：
D
2. 设函数，则不等式的解集是( ) A． B．
C． D．
参考答案：
A
3. 函数的图像可由的图像向右平移
A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位
参考答案：
D
略
4. 已知向量，，若，则实数m的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
由向量的几何意义，因为，所以，再运用向量积的运算得到参数的值.
【详解】因为，所以，所以，将
和
代入，得出，所以，故选D.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

5. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有
（）
A.36种
B. 30种
C. 24种
D. 6种
参考答案：
B
6. 已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望E（X）=
A．B．2 C．D．3
参考答案：
A
7. 对于函数f(x)定义域中任意的，(≠)，有如下结论：
①f(＋)＝f()·f() ②f(·)＝f()＋f()
③④
当f(x)＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
参考答案：
B
略
8. 函数图象可能为( )
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
由函数定义域，函数为奇函数，，结合分析即得解.
【详解】函数定义域：，在无定义，排除C，
由于，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B，
且，故排除D
故选：A
【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.
9. 如果命题“”是假命题，则正确的是（）
A．p、q均为真命题 B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题 D．p、q中至多有一个为真命题
参考答案：
B
10. 设，若，则下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为
，公比为，前项的积为，则数列为等比数列,通项为
_____________
参考答案：
12. 已知圆C：，直线l：则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为 .
参考答案：
13. 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）
=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和
为．
参考答案：
﹣12
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数的周期性和对称性，结合图象可得方程的根．
【解答】解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数．
分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示．
这两个函数的图象关于点P（﹣2，2）中心对称，故它们的交点也关于点P（﹣2，2）中心对称，
从而方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（﹣2，2）中心对称，
则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为3×（﹣4）=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题主要考查根的存在性及根的个数判断，函数的周期性以及对称性的综合应用，综合性比较强．
14. 已知的面积为，则的周长等于
参考答案：
，即。

又由余弦定理可知
，即，所以，即
，解得，即。

所以的周长等于。

15. 如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x围成的，现向矩
形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．
参考答案：
略
16. 已知向量，且，的夹角为，则在方向上的投影为▲．
参考答案：
向量与夹角为，且，
则
向量在方向上的投影为
17. 成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示就是,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前4组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41. 则按照此规律，第6组勾股数
为．
参考答案：
方法一：由前4组勾股数可知，第一个数均为奇数，且成等差数列，
后两个数是相邻的两正整数，有勾股数满足的关系得第6组勾股数为．
方法二：若设第一个数为，则第二，三个数分别为，
第6组的一个数为13，可得第6组勾股数为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
参考答案：
解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
再由已知得解得…………………4分
故函数v(x)的表达式为
………………………………6分
(2)依题意并由(1)可得
……………………8分
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200； (9)
分
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝. ……………10分
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.……………11分
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
………12分
略
19. 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．
（Ⅰ）将乙方的年利润w (元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
参考答案：
解（Ⅰ）乙方的实际年利润为：．(5分)
，
当时，取得最大值．
所以乙方取得最大年利润的年产量(吨)．…………………8分
（Ⅱ）设甲方净收入为元，则．
将代入上式，得：
．(5分)
又
令，得．
当时，；当时，，所以时，取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格(元／吨)时，获最大净收入．(8分)略
20. 设数列{a n}的前n项和是S n，且是等差数列，已知，. （1）求{a n}的通项公式；
（2）若，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
(1) (2)
试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到的通项公式；
（2），利用裂项相消法求出数列的前项和.
试题解析：
（1）记，∴，又为等差数列，公差记为，
，∴，得，∴，得
时，，时也满足.综上
（2）由（1）得
∴
，
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：
（1）已知数列的通项公式为，求前项和：；（2）已知数列的通项公式为，求前项和：
；
（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.
21. 选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线经过点P(1,1),倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
参考答案：
解：（I）直线的参数方程是． --------------（5分）
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为．
圆化为直角坐标系的方程．
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． -----------------（12分）
22. 如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知，，
，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥B-SAD的体积.
参考答案：
（1）设为的中点，连接，，
∵，∴，
∵，∴，
又平面，且，
平面，又平面，
∴.
（2）连接，在中，∵，，为的中点，∴为正三角形，且，，
∵在中，，为的中点，
∴，且，
∵在中，，∴为直角三角形，且，∴又，且，∴平面.
∴
.。