由一道高中联赛题谈根轴的使用
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Ｐ Ａ Ｆ Ａ ＤＢ ＰＣ — Ｆ Ｂ ＤＣ ‘
Ｃ
注意到 ， Ｆ Ｂ＝ Ｄ Ｂ， Ｆ Ａ＝Ｅ Ａ， ＤＣ＝Ｅ Ｃ ． 故 Ｐ Ａ＝
．
再 由合分 比性质得
ＰＡ — ＥＡ ＰＡ ＋ ＥＡ
图３
ＰＣ —ＥＣ ＰＣ ＋ＥＣ ２
— 一
由雕 ＝ Ｐ Ｃ ， 知点 Ｐ对 内切圆与圆 ｃ等 幂． 类似地， 点 Ｑ对 内切 圆 与 圆 ｃ等 幂． 于 是， Ｐ Ｑ为 内切 圆与 圆 ｃ的根 轴． 再 类 似地 ， Ｍ Ｎ为内切 圆与 圆 Ｂ的根轴． 则点 对上述 三 圆等幂 ， 即得 中间结论． 总之 ， 根轴是平 面几何 的重要概念 ， 希 望
≥ ，
当 ｎ＝３时 ， 即为定理 １ ．
下面摘选一些 与定理 ｌ 有关 的题 目留给 有兴趣 的读者． 设 ０ 、 ６ 、 ｃ ＞０ ， ａ ｂ ｃ＝１ ． 证明：
实际上等价于 （ 一 １ ） ｘ ６ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ２ ＋ １ ） ≥０ ． 再利用定理 ２即可．
结论 “ Ｘ Ｂ ＝ Ｘ Ｃ ２ ＝点 Ｘ对 内切 圆的幂 ” ， 若 使 用根轴 ， 则更简洁．
事实上 ， 如图３ ， 设 以 Ｂ为圆心 、 半径 为 ０
的“ 点 圆” 为 圆 Ｂ， 以 Ｃ为 圆心 、 半 径 为 ０的
Ｃ
“ 点 圆” 为圆 Ｃ ．
Ａ
２
可 以证 明点 对 内切 圆和外接 圆等幂． 事实上 ， 据 Ｍ 为 船 的 中点 ， 直线 Ｐ Ｆ Ｄ 截△ Ａ Ｂ Ｃ， 由梅涅劳斯定理 ， 有
今 年 全 国高 中数 学 联 赛 加 试 的第 二 题
为平 面几何 题． 题 １ 在△ Ａ Ｂ Ｃ中 ， 、 ｌ ， 为直线 Ｂ Ｃ上 的 两点 （ 、 Ｂ 、 Ｃ 、 】 ， 顺次排列 ） ， 使得
ＢＸ ・ ＡＣ ＝ ＣＹ・ ＡＢ．
设△ Ａ Ｃ Ｘ 、 △Ａ Ｂ Ｙ的外心分别为 ０ 、 ０ ， 直线 ０ ０ 与Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ分 别交于点 、 证明： △Ａ Ｕ Ｖ 为等腰三角形．
［ １ ］ 杨运新 ． 数学奥林匹克高 中训练题 （ ２ ０ ２ ） ［ Ｊ ］ ． 中等数
学． ２ ０ １ ６ （ ４ ） ．
尺 ， 其 中， Ｒ为 半 径． 当 Ｒ＝ ０时 ， 此 式 即
Ｐ Ｏ ， 可看作点 Ｐ对 点 圆 ０ 的幂． 这样 ， 根轴
两 圆等幂 ， 则Ａ Ｄ便为两 圆的根轴． 从而，
Ａ Ｄ上 ０ １ ０ ２ ．
ＢＤ ・ ＤＹ ＝ＸＤ ・ ＤＣ
点 Ｄ对两 圆等幂．
一
由已知得 ＝ ．
个 点 对 两 圆等 幂 ， 则该点在根轴上；
若两 点 皆对两 圆等 幂 ， 则该 两点 确定 的直线 即为根 轴． ２ ０ ０ ７年 的 Ｃ ＭＯ第 四题 就 含 有此
标 准答案方 法一 简 洁 明 了， 其 关 键是 证
１
由角平分 线定理得 ＝ ．
ＸＢ ＢＤ ＸＢ ＋ＢＤ ＢＤ ＸＤ — Ｉ Ｉ ｔ ＾ Ｊ 一 ＣＹ ＣＤ 一一 ＣＹ Ｊ － ＤＣ ‘ 。 … ＤＣ ０ ： 垂直 ， 如图 １ ． 事实上 ， 为两 圆的交点 ， 只要证点 Ｄ对
交 于点 Ｐ， 线段 Ｐ Ｅ 、 Ｑ Ｆ的 中点分 别为 、 Ⅳ ．
证明： ＭＮ 上 ． 如图 ２ ．
别为 、 Ｎ， Ｃ Ｅ 、 Ｃ Ｄ 的中点分别 为 Ｐ 、 Ｑ， 直线
ＭＮ与 Ｐ ｐ交 点于 证 明 ： △Ｘ Ｂ Ｃ的外接 圆
与△ Ａ Ｂ Ｃ的内切 圆相切． ＿ １
详 细证 明见 文献 ［ １ ］ ， 其 中证 明 的 中间
２ Ｍ Ｅ
２Ｍ Ｅ ２Ｍ Ｃ Ｍ Ｅ２： Ｍ Ａ ． ＭＣ
．
此 即说 明点 对两 圆等幂． 类似地 ， 点 Ⅳ也 对两圆等幂． 于是 ， Ｍ Ｎ为根轴 ， ＭＮ上 ． 注意到 ， ｏ ０外 的点 Ｐ对 圆的幂 为 Ｐ Ｏ
一
上 面的例题 能给读者有益 的参考．
参 考文 献 ：
（ １ ） ∑
（ ２ ） ∑ ＝
≤ １ ；
其实， 关 于定理 １ ， 有更一般地形式 ： 推广 设 ≥３为 正 整 数 ， ｌ ， ２ ， …，
√４ 口 ＋ ｎ ＋４
（ ３ ） ∑ 。
（ ４ ） ∑
≥ ∑。 ；
≤ ２ ４ ＋ ５ ∑口 ．
为任 意实数满足 ： … ＝ １ ． 则
２ ０ １ ６年第 １ Ｉ期
由一 道 高 中联 赛题 谈 根轴 的 使用
杨 运 新
（ 陕西省西安铁一 中 ， ７ １ ０ ０ ５ ４ ） 中图分类号 ： ０ １ ２ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ６ ） １ １— ０ ０ １ １ — ０ ２
结构．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６—１ ０—１ ２
证明
等价于证明
— —
ｌ＋
一
≥１ ． ２ ｃ ２ ７ ｒ ｚ ｘ Ｃｏ ｓ —— ＋ ＋１
一
一
‘
—
∑ １ ＋ 口 ＝ 一 ∑ 等 ＋ ２ （ ｘ ｙ ｚ ＝ 一 １ ／ ） ． ‘
由局部有
１ ２
中 等 数 学
题２ 已知△ Ａ Ｂ Ｃ的外 心 、 内心分 别 为
０、 ， ， 内切 圆与边 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ａ、 Ａ Ｂ 的切 点 分 别 为 Ｄ、 Ｅ、 Ｆ， 直线 Ｄ Ｅ与 Ａ Ｂ交 于点 Ｑ， ＤＦ与 Ａ Ｃ
不仅可 以处理 圆与 圆的关系 ， 还可 以处 理点 与 圆的关系． 题３ 已知 △ Ａ Ｂ Ｃ 的 内切 圆 与边 Ｂ Ｃ、 Ｃ Ａ、 Ａ Ｂ分别切于点 Ｄ、 Ｅ、 Ｆ， Ｂ Ｆ、 Ｂ Ｄ 的中点分
Ｃ
注意到 ， Ｆ Ｂ＝ Ｄ Ｂ， Ｆ Ａ＝Ｅ Ａ， ＤＣ＝Ｅ Ｃ ． 故 Ｐ Ａ＝
．
再 由合分 比性质得
ＰＡ — ＥＡ ＰＡ ＋ ＥＡ
图３
ＰＣ —ＥＣ ＰＣ ＋ＥＣ ２
— 一
由雕 ＝ Ｐ Ｃ ， 知点 Ｐ对 内切圆与圆 ｃ等 幂． 类似地， 点 Ｑ对 内切 圆 与 圆 ｃ等 幂． 于 是， Ｐ Ｑ为 内切 圆与 圆 ｃ的根 轴． 再 类 似地 ， Ｍ Ｎ为内切 圆与 圆 Ｂ的根轴． 则点 对上述 三 圆等幂 ， 即得 中间结论． 总之 ， 根轴是平 面几何 的重要概念 ， 希 望
≥ ，
当 ｎ＝３时 ， 即为定理 １ ．
下面摘选一些 与定理 ｌ 有关 的题 目留给 有兴趣 的读者． 设 ０ 、 ６ 、 ｃ ＞０ ， ａ ｂ ｃ＝１ ． 证明：
实际上等价于 （ 一 １ ） ｘ ６ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ２ ＋ １ ） ≥０ ． 再利用定理 ２即可．
结论 “ Ｘ Ｂ ＝ Ｘ Ｃ ２ ＝点 Ｘ对 内切 圆的幂 ” ， 若 使 用根轴 ， 则更简洁．
事实上 ， 如图３ ， 设 以 Ｂ为圆心 、 半径 为 ０
的“ 点 圆” 为 圆 Ｂ， 以 Ｃ为 圆心 、 半 径 为 ０的
Ｃ
“ 点 圆” 为圆 Ｃ ．
Ａ
２
可 以证 明点 对 内切 圆和外接 圆等幂． 事实上 ， 据 Ｍ 为 船 的 中点 ， 直线 Ｐ Ｆ Ｄ 截△ Ａ Ｂ Ｃ， 由梅涅劳斯定理 ， 有
今 年 全 国高 中数 学 联 赛 加 试 的第 二 题
为平 面几何 题． 题 １ 在△ Ａ Ｂ Ｃ中 ， 、 ｌ ， 为直线 Ｂ Ｃ上 的 两点 （ 、 Ｂ 、 Ｃ 、 】 ， 顺次排列 ） ， 使得
ＢＸ ・ ＡＣ ＝ ＣＹ・ ＡＢ．
设△ Ａ Ｃ Ｘ 、 △Ａ Ｂ Ｙ的外心分别为 ０ 、 ０ ， 直线 ０ ０ 与Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ分 别交于点 、 证明： △Ａ Ｕ Ｖ 为等腰三角形．
［ １ ］ 杨运新 ． 数学奥林匹克高 中训练题 （ ２ ０ ２ ） ［ Ｊ ］ ． 中等数
学． ２ ０ １ ６ （ ４ ） ．
尺 ， 其 中， Ｒ为 半 径． 当 Ｒ＝ ０时 ， 此 式 即
Ｐ Ｏ ， 可看作点 Ｐ对 点 圆 ０ 的幂． 这样 ， 根轴
两 圆等幂 ， 则Ａ Ｄ便为两 圆的根轴． 从而，
Ａ Ｄ上 ０ １ ０ ２ ．
ＢＤ ・ ＤＹ ＝ＸＤ ・ ＤＣ
点 Ｄ对两 圆等幂．
一
由已知得 ＝ ．
个 点 对 两 圆等 幂 ， 则该点在根轴上；
若两 点 皆对两 圆等 幂 ， 则该 两点 确定 的直线 即为根 轴． ２ ０ ０ ７年 的 Ｃ ＭＯ第 四题 就 含 有此
标 准答案方 法一 简 洁 明 了， 其 关 键是 证
１
由角平分 线定理得 ＝ ．
ＸＢ ＢＤ ＸＢ ＋ＢＤ ＢＤ ＸＤ — Ｉ Ｉ ｔ ＾ Ｊ 一 ＣＹ ＣＤ 一一 ＣＹ Ｊ － ＤＣ ‘ 。 … ＤＣ ０ ： 垂直 ， 如图 １ ． 事实上 ， 为两 圆的交点 ， 只要证点 Ｄ对
交 于点 Ｐ， 线段 Ｐ Ｅ 、 Ｑ Ｆ的 中点分 别为 、 Ⅳ ．
证明： ＭＮ 上 ． 如图 ２ ．
别为 、 Ｎ， Ｃ Ｅ 、 Ｃ Ｄ 的中点分别 为 Ｐ 、 Ｑ， 直线
ＭＮ与 Ｐ ｐ交 点于 证 明 ： △Ｘ Ｂ Ｃ的外接 圆
与△ Ａ Ｂ Ｃ的内切 圆相切． ＿ １
详 细证 明见 文献 ［ １ ］ ， 其 中证 明 的 中间
２ Ｍ Ｅ
２Ｍ Ｅ ２Ｍ Ｃ Ｍ Ｅ２： Ｍ Ａ ． ＭＣ
．
此 即说 明点 对两 圆等幂． 类似地 ， 点 Ⅳ也 对两圆等幂． 于是 ， Ｍ Ｎ为根轴 ， ＭＮ上 ． 注意到 ， ｏ ０外 的点 Ｐ对 圆的幂 为 Ｐ Ｏ
一
上 面的例题 能给读者有益 的参考．
参 考文 献 ：
（ １ ） ∑
（ ２ ） ∑ ＝
≤ １ ；
其实， 关 于定理 １ ， 有更一般地形式 ： 推广 设 ≥３为 正 整 数 ， ｌ ， ２ ， …，
√４ 口 ＋ ｎ ＋４
（ ３ ） ∑ 。
（ ４ ） ∑
≥ ∑。 ；
≤ ２ ４ ＋ ５ ∑口 ．
为任 意实数满足 ： … ＝ １ ． 则
２ ０ １ ６年第 １ Ｉ期
由一 道 高 中联 赛题 谈 根轴 的 使用
杨 运 新
（ 陕西省西安铁一 中 ， ７ １ ０ ０ ５ ４ ） 中图分类号 ： ０ １ ２ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ６ ） １ １— ０ ０ １ １ — ０ ２
结构．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６—１ ０—１ ２
证明
等价于证明
— —
ｌ＋
一
≥１ ． ２ ｃ ２ ７ ｒ ｚ ｘ Ｃｏ ｓ —— ＋ ＋１
一
一
‘
—
∑ １ ＋ 口 ＝ 一 ∑ 等 ＋ ２ （ ｘ ｙ ｚ ＝ 一 １ ／ ） ． ‘
由局部有
１ ２
中 等 数 学
题２ 已知△ Ａ Ｂ Ｃ的外 心 、 内心分 别 为
０、 ， ， 内切 圆与边 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ａ、 Ａ Ｂ 的切 点 分 别 为 Ｄ、 Ｅ、 Ｆ， 直线 Ｄ Ｅ与 Ａ Ｂ交 于点 Ｑ， ＤＦ与 Ａ Ｃ
不仅可 以处理 圆与 圆的关系 ， 还可 以处 理点 与 圆的关系． 题３ 已知 △ Ａ Ｂ Ｃ 的 内切 圆 与边 Ｂ Ｃ、 Ｃ Ａ、 Ａ Ｂ分别切于点 Ｄ、 Ｅ、 Ｆ， Ｂ Ｆ、 Ｂ Ｄ 的中点分