福建省福州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

福建省福州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.
1．sin120°的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
2．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝（）
A．{x|x＜﹣1}B．{x|x＜4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3}
3．命题“∀x＞0，x2﹣1≤0”的否定是（）
A．∃x≤0，x2﹣1＞0B．∀x＞0，x2﹣1＞0
C．∃x＞0，x2﹣1＞0D．∀x≤0，x2﹣1＞0
4．“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知函数f（x）＝，以下关于f（x）的结论正确的是（）
A．若f（x）＝2，则x＝0
B．f（x）的值域为（﹣∞，4）
C．f（x）在（﹣∞，2）上单调递增
D．f（x）＜2的解集为（0，1）
6．已知函数f（x）＝，则f（x）的大致图像为（）
A．B．C．D．
7．设a＝0.123，b＝30.4，c＝log0.40.12，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
8．已知函数f（x）＝（x+3）（x﹣e）+（x﹣e）（x﹣π）+（x﹣π）（x+3）的零点x1，x2（x1＜x2），则（）
A．x1x2＞0B．＜﹣C．x2﹣x1＜e D．x1+x2＜π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列函数是奇函数的是（）
A．f（x）＝sin x B．f（x）＝x2+x
C．f（x）＝D．f（x）＝ln|1+x|
10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，则以下结论一定正确的是（）
A．sinα＝﹣cosβB．cosα＝sinβ
C．cos（α﹣β）＝0D．sin（α+β）＝1
11．若x，y＞0，且x+2y＝1，则（）
A．B．
C．D．
12．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（）
A．P（x）取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）
C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．化简：lg4+lg25＝．
14．要在半径OA＝60cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为50πcm，那么圆心角∠AOB＝．（用弧度表示）
15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝，
φ＝．
16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝．
①f（x）在R上单调递增；②＝f（0）；③f（0）＞1．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．
（1）求cos（α+π）的值；
（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．
②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．
20．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．
（1）求f（x）的〖解析〗式；
（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．
21．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知t＝0时P的初始位置为点A（2，
﹣2）（此时P装满水）．
（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在筒车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）．
22．（12分）已知函数g（x）＝．
（1）证明：g（x﹣2）+g（﹣x）＝2；
（2）若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数f（x）的图象上，则称函数f（x）具有性质P，判断函数g（x）是否具有性质P，并证明你的结论；
（3）设点A（﹣4，0），函数h（x）＝2g（x）.设点B是曲线y＝h（x）上任意一点，求线段AB长度的最小值．
▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁
一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的.
1．A
〖解析〗sin120°＝sin60°＝，故选：A．
2．D
〖解析〗∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＜3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：D．
3．C
〖解析〗由全称命题的否定为特称命题，命题“∀x＞0，x2﹣1≤0”的否定是∃x＞0，x2﹣1＞0．故选：C．
4．A
〖解析〗根据题意，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，
反之若四边形是平行四边形，则四边形不一定是菱形，
故“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件，
故选：A．
5．B
〖解析〗对于A，若f（x）＝2，则或，
解得x＝0或x＝1，故A错误；
对于B，当x≤0时，f（x）＝x+2∈（﹣∞，2〗，
当0＜x＜2时，f（x）＝2x∈（1，4），
故函数的值域为（﹣∞，4），故B正确；
对于C，因为f（0）＝f（1），故C错误；
对于D，由f（x）＜2，可得或，解得x＜0或0＜x＜1，
故f（x）＜2的解集为（﹣∞，0）∪（0，1），故D错误．故选：B．
6．B
〖解析〗由1+x＞0得x＞﹣1，当x＝0时，f（x）无意义，
f（1）＝＜0，排除A，D，
当x＝时，f（x）＝＝＝＞0，排除C，
故选：B．
7．A
〖解析〗因为a＝0.123＜1，1＜b＝30.4＜30.5＜2，c＝log0.40.12＞log0.40.16＝2，
即a＜b＜c，故选：A．
8．D
〖解析〗由题意知，f（x）＝3x2+（6﹣2e﹣2π）x+πe﹣3π﹣3e，
则函数f（x）图象的对称轴为x＝﹣1，
所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减，又f（﹣3）＝（﹣3﹣e）（﹣3﹣π）＞0，f（0）＝﹣3e+eπ﹣3π＜0，
f（e）＝（e﹣π）（e+3）＜0，f（π）＝（π﹣e）（3+π）＞0，
所以f（﹣3）f（0）＜0，f（e）f（π）＜0，
因为﹣3，0∈（﹣∞，﹣1），e，π∈（﹣1，+∞），
所以﹣3＜x1＜0，e＜x2＜π，所以x1x2＜0，故A错误；
﹣＜＜，故B错误；
x2﹣x1∈（e，3+π），故C错误；
x2+x1∈（e﹣3，π），故D正确．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题口算求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．AC
〖解析〗A．f（x）＝sin x的定义域为R，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），
则f（x）是奇函数，
B．f（﹣x）＝x2﹣x≠﹣f（x），则f（x）为非奇非偶函数，
C．f（﹣x）＝＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，
D．函数的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，
故选：AC．
10．BD
〖解析〗设P（m，n））为α的终边与单位圆的交点，则β的终边与单位圆的交点Q（n，m），
∴sinα＝n，cosα＝m，sinβ＝m，cosβ＝n，故A错误，B正确；
cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝mn+mn＝2mn，2mn不一定为0，故C错误；
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝n2+m2＝1，故D正确．故选：BD．
11．ABD
〖解析〗根据题意，依次分析选项：
对于A，若x，y＞0，且x+2y＝1，则x＝1﹣2y，则有xy＝y（1﹣2y）＝≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立，A正确；
对于B，由柯西不等式，〖（）2+（）2〗（12+12）＝（x+2y）（1+1）＝2≥（+）2，即（+）2≤2，变形可得+≤，B正确；
对于C，+＝（+）（x+2y）＝5++≥5+4＝9，当且仅当x＝y＝时等号成立，C错误；
对于D，x+2y＝1，则有（x+2y）2＝1，变形可得x2+4y2+4xy＝1，又由x2+4y2≥4xy，则有x2+4y2≥，D正确；故选：ABD．
12．BCD
〖解析〗对于A，P（x）＝R（x）﹣C（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，
二次函数P（x）的图象开口向下，对称轴为直线x＝，
∵x∈N*，∴P（x）取得最大值时每月产量为63台或62台，故A错误，
对于B，MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝〖﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000〗﹣（﹣20x2+2500x ﹣4000）＝2480﹣40x（x∈N*），故B正确，
对于C，P（x）max＝P（62）＝P（63）＝74120，
∵函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，则MP（x）max＝MP（1）＝2440，故C正确，
对于D，因为函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，
说明边际函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，
故D正确．故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．2
〖解析〗lg4+lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2．
故〖答案〗为：2．
14．
〖解析〗由题意知，弧长l＝50π，半径R＝60，
所以圆心角α＝＝＝．故〖答案〗为：．
15．2，
〖解析〗因为BC∥x轴，
所以f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝（+）＝，﹣＝＝×，所以ω＝2．
由2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，得φ＝．故〖答案〗为2，．
16．2x+1（〖答案〗不唯一）
〖解析〗根据题意，分析可得f（x）为指数型函数，且底数a＞1，
故要求函数可以为f（x）＝2x+1，
故〖答案〗为：2x+1（〖答案〗不唯一）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：角α的终边过点P（，）．∴cosα＝，tanα＝＝，
（1）cos（α+π）＝﹣cosα＝﹣；
（2）tan（α﹣β）＝＝＝﹣2．
18．解：（1）因为f（x）＝，所以f（1）＝1+a＝5，所以a＝4；
（2）f（x）＝＝x+在（0，2）上单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2＜2，
所以x1﹣x2＜0，1﹣＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝
＝（x1﹣x2）（1﹣）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在区间（0，2）上单调递减．
19．解：（1）∵函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2＝sin2x+2•+2
＝sin2x+cos2x+3＝2sin（2x+）+3，
故函数的周期为2π．
（2）将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换①：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，
可得y＝2sin（2x++）+3＝2cos2x+3的图象，
再横坐标缩小为原来的一半可得g（x）＝2cos4x+3的图象，
当x∈〖，〗时，4x∈〖﹣，π〗，cos4x∈〖﹣1，1〗，g（x）∈〖1，5〗，
若方程g（x）＝m有解，则m∈〖1，5〗．
将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，
可得y＝2sin（x+）+3的图象，
再向右平移个单位，可得g（x）＝2sin x+3的图象．
当x∈〖，〗时，sin x∈〖﹣，〗，g（x）∈〖2，+3〗．
若方程g（x）＝m有解，则m∈〖2，+3〗．
20．解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3，
设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x+3．
综上，可得f（x）＝．
（2）当x≥0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，22x+3≥2（2x+3），
即22x﹣2×2x﹣3≥0，
求得2x≥3，或2x≤﹣1（舍去），∴x≥log23．
当x＜0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，2﹣2x+3≥2（2﹣x+3），
即2﹣2x﹣2×2﹣x﹣3≥0，
求得2﹣x≥3，或2﹣x≤﹣1（舍去），
∴x≤﹣log23．
综上，不等式的解集为{x|x≥log23或x≤﹣log23 }．
21．解：（1）由于筒车转一周需要120秒，
所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为（2，﹣2），则，以OA为终边的角为，
所以P距离水面的高度为≈6.9m．
（2）由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角度为，
又以OA为终边的角为，
则P开始转动t秒后距离水面的高度，0≤t≤120，
如图所示，
P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，
则，点C相对于点B始终落后rad，
此时Q距离水面的高度，
则P，Q距离水面的高度差H＝|h1﹣h2|＝
＝，0≤t≤120，
利用sinθ+sinφ＝，可得H＝，当或，解得t＝22.5或t＝82.5，
故H最大值为，
所以P与Q距离水面高度差的最大值约为1.0m．
22．解：（1）g（x﹣2）+g（﹣x）＝log2+log2＝log2〖〗＝log24＝2；（2）由（1）知，g（x）的图象关于点M（﹣1，1）中心对称，
取函数g（x）图象上两点C（2，0），D（﹣4，2），显然线段CD的中点恰为点M；再取函数g（x）图象上两点E（，﹣1），F（﹣，3），
显然线段EF的中点也恰为点M．
因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，
所以函数g（x）具有性质P；
（3）h（x）＝2g（x）＝，则B（x0，）（x0＜﹣2或x0＞0），
则|AB|2＝|x0+4|2+＝（x0+4）2+＝（x0+4）2+（2﹣）2
＝（x0+2）2+4（x0+2）+4+﹣+4，
记x0+2＝t（t＜0或t＞2），
则|AB|2＝t2+4t+﹣+8＝（t﹣）2+4（t﹣）+16，
记t﹣＝u，则|AB|2＝u2+4u+16＝（u+2）2+12，
所以，当u＝﹣2，即x0＝﹣3﹣时，|AB|min＝2．。