高中数学学业分层测评13向量的概念(含解析)新人教B版必修4(2021学年)

２01６-２017学年高中数学学业分层测评１3 向量的概念（含解析)新人教B版必修4
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学业分层测评(十三）向量的概念
(建议用时：４5分钟)
[学业达标]
一、选择题
１。

下列说法正确的个数是( )
(1）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；
(2）零向量没有方向;
(3)非零向量的单位向量是唯一的。

A。

0 ﻩＢ.1
C。

2 D.３
【解析】 (１）中温度和功不是向量;（2)零向量的方向不确定，而不是没有方向,所以(１）(2）错误。

【答案】Ｂ
2。

下列结论正确的是( )
A．向量必须用有向线段来表示
B.表示一个向量的有向线段是唯一的
C。

有向线段错误!和错误!是同一向量
Ｄ。

有向线段错误!和错误!的大小相等
【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示,所以选项A错误;向量为自由向量,只要大小相等，方向相同就为同一个向量,而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的,选项Ｂ错误;有向线段错误!和错误!的方向相反，大小相等，不为同一向量,所以选项C错误,D正确。

【答案】 D
3。

给出下列四个命题:
①若|a|=0,则a＝0；②若|a｜=｜b|,则a＝ｂ或a＝－b;③若a∥ｂ,则|a|＝｜ｂ|；④若ａ=０,则－a＝0。

其中正确的命题有（）
Ａ.1个ﻩ B.2个
C.3个ﻩ
D.4个
【解析】对于①，前一个零是实数,后一个应是向量０。

对于②,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定。

对于③，两个向量平行,它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确。

故选Ａ。

【答案】A
4。

数轴上点A,B分别对应－1、２，则向量错误!的长度是（）
A。

-1 B.２
C.1 ﻩ
D.3
【解析】易知｜错误!|=２-(－1)＝3,故选Ｄ。

【答案】 D
5。

（2０１6·长春十一中期末)若|错误!|＝|错误!|且错误!=错误!,则四边形AＢCＤ的形状为( ）
A.平行四边形ﻩＢ。

矩形
C．菱形Ｄ.等腰梯形
【解析】由错误!=错误!知四边形为平行四边形;
由|错误!｜=｜错误!|知四边形ABCD为菱形。

故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知Ａ,Ｂ,C是不共线的三点,向量m与向量＼o(ＡB，＼s＼ｕp13(→))是平行向量，与错误!是共线向量,则m=_＿__＿＿__。

【解析】因为A,B，C三点不共线，所以错误!与错误!不共线,又因为m∥错误!且ｍ∥错误!,所以m=0.
【答案】0
7.给出以下五个条件：①ａ=b；②|a|＝｜b｜;③a与ｂ的方向相反；④|a｜=０或|b｜＝0；⑤a与ｂ都是单位向量.其中能使a∥b成立的是_______＿.(填序号）
【解析】共线向量指的是方向相同或相反的向量,它只涉及方向,不涉及大小．很明显仅有①③④。

【答案】①③④
三、解答题
８.Ｏ是正方形AＢCD对角线的交点，四边形OＡEＤ,ＯCF B都是正方形，在如图2­1。

４所示的向量中：
图2。

1­4
(1）分别找出与错误!,错误!相等的向量;
（2)找出与错误!共线的向量;
（3)找出与错误!模相等的向量；
（4)向量错误!与错误!是否相等？
【解】（1)错误!=错误!,错误!=错误!.
(2）与错误!共线的向量有：错误!，错误!,错误!.
(3)与错误!模相等的向量有：错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!，错误!。

(4)向量错误!与错误!不相等,因为它们的方向不相同.
9.如图２。

1­５所示,已知四边形ABCD中，M,N分别是BC，AD的中点,又错误!＝错误!且错误! =错误!，求证：错误!＝错误!.
【导学号:72０1０0４1】
图2。

1。

5
【证明】因为错误!=错误!,
所以|错误!｜＝|错误!｜且AＢ∥ＤC,
所以四边形ＡBＣD是平行四边形，
所以|错误!|＝|错误!|且ＤＡ∥CB。

又因为错误!与错误!的方向相同,
所以错误!=错误!。

同理可证,四边形CNAＭ是平行四边形，
所以错误!＝错误!.
因为｜错误!|=|错误!｜,|错误!|＝｜错误!｜,
所以｜错误!｜＝|错误!|。

又错误!与错误!的方向相同,
所以错误!=错误!．
[能力提升］
1。

已知向量a，ｂ是两个非零向量，错误!,错误!分别是与ａ，ｂ同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )
A.错误!＝错误!ﻩＢ。

错误!=错误!或错误!=错误!
C。

错误!=错误!D．错误!与错误!的长度相等
【解析】因为a与b方向关系不确定且a≠0,b≠０，又错误!与ａ同方向，错误!与b同方向,
所以错误!与错误!方向关系不确定,所以A,Ｂ，C均不对。

又错误!与错误!均为单位向量，
所以｜错误!|=|错误!|=１。

【答案】D
2.已知飞机从A地按北偏东3０°方向飞行２ 00０ｋm到达B地,再从Ｂ地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达Ｃ地,再从C地按西南方向飞行1 000＼r(2) kｍ到达Ｄ地.画图表示向量错误!,错误!,错误!,并指出向量错误!的模和方向.
【解】以A为原点,正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.
据题设,B点在第一象限,Ｃ点在x轴正半轴上,D点在第四象限,向量AB，＼s＼up１3（→）,＼o(ＢＣ,＼ｓ＼up13(→）)，错误!如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形,所以AＣ=2 00０ km。

又∠ACＤ＝4５°,CD=1 0０0错误! km。

所以△ADＣ为等腰直角三角形,
所以AＤ=1 ０00２km,∠CＡＤ＝45°.
故向量错误!的模为1 0０0错误! kｍ,方向为东南方向。

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