全微分方程与积分因子法

已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜ ｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内 任 意 取
得．很 多 情 况 下 都 选 （0，0）为 （x0，y0），只 有 当 点 （0，0）不 在 上 述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p － 坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程 （1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解 ： 将 （8）式 改 写 成 ［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公 式 法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因
子不同从而通解可能具有不同的形式．
Q（x）e∫p（x）dxdx－e∫p（x）dxdy－P（x）ye∫p（x）dxdx＝0
Q（x）e∫p（x）dxdx－e∫p（x）dxdy－yde∫p（x）dxdx＝0
Q（x）e∫p（x）dxdx－d（ye∫p（x）dxdx）＝0
因 此 （10）式 的 通 解 为
ye∫p（x）dx－∫Q（x）e∫p（x）dxdx＝C
（C1 为任意常数）．
故所求通解为
μ（x，y）＝yx－
1 4
x4＋
1 4
y4＋C1＝＋C2（C2
为任意
常数）。
即
yx－
1 4
x4＋
1 4
y4＝C， 其 中
C＝4（C2－C1）为 任 意 常 数 。
一般情况下，当判定方程为全微分方程后，并不需要按照
上述方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身
一、 预备知识
1．一 个 一 阶 微 分 方 程 写 成
P（x，y）dx＋Q（x，y）
（1）
形式后，如果它的左端恰好是某一个函数的全微分
du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy
那 么 方 程 （1）就 叫 做 全 微 分 方 程 ．这 里
坠U 坠Χ
＝ρ（x，y），
坠U 坠y
＝Q（x，y），
这里所以这是全微分方程曲线积分与路径无关因此可取见到形如pxydxqxydy0的一阶微分方程首先要判断它是哪一种类型的方程如是全微分方程然后按全微分方程的解法去求解对于学过曲线积分的读者来说用曲线积分求解全微分方程有时会方便些对于没有学过曲线积分的读者来说就用全微分方程的充分条件的证明过程或分项组合的方法来处理在做题时严格按照定义找到对应然后选择合适的方法来求解三积分因子法寻找积分因子把一阶微分方程化为全微分方程一般说来不是一件容易的事常用的方法有观察法和公式法1观察法有时我们可以用观察法得出积分因子如我们熟悉的微分方程ydxxdy0不是全微分方程但由于ydxxdy也都是积分因子乘上其中任一个并积分便能得到所求方程的通解xdx乘方程8得yexdxyexdxxdx亦即yexdxxdx两端积分得
求得积分因子，从而得到方程的解．然而在通常情况下，这个偏
微分方程比方程本身更难求解．但是，在某些特殊情形中，求此
方程的特解还是比较容易的．
如，假设 存 在 只 与 x 有 关 的 积 分 因 子 μ＝μ（x），则 坠μ ＝0， 坠y
这 时 （9）式 变 成
Q dμ ＝［ 坠p － 坠Q ］μ dy 坠y 坠x
＝ 坠Q 坠x
（2）
在 G 内恒成立．
3．当 条 件 （2）不 能 满 足 时 ，方 程 （1）就 不 是 全 微 分 方 程．这
时如果有一个适当的函数 μ（X，Y）（μ（X，Y）≠0，使方程（1）在
乘 上 μ（x，y）后 所 得 的 方 程 μPdx＋μQdy＝0 是 全 微 分 方 程 ，则
函数 μ（x，y）叫做方程（1）的积分因子．
积分求解全微分方程有时会方便些， 对于没有学过曲线积分
的读者来说，就用全微分方程的充分条件的证明过程或“分项
组合”的方法来处理．在做题时严格按照定义找到对应 P 和 Q，
然后选择合适的方法来求解．
三、积分因子法
寻找积分因子，把一阶微分方程化为全微分方程，一般说
来，不是一件容易的事．常用的方法有观察法和公式法．
即
dμ μ
＝
坠p 坠y
－
坠Q 坠x
Q
dx
方程（1）只与 x 有关的积分因子的充要条件是
φ（x）＝
坠p 坠y
－ 坠Q 坠x
Q
，
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2009 年 2 月 第 12 卷·第 1 期
宿州教育学院学报
就可以求得方程（1）的一个积分因子 μ＝e∫φ（y）dy。
同理， 方程 （1） 只与有关的积分因子的充要条件是 φ （y）＝
那么方程（1）就是 du（x，y），所以 u（x，y）＝C 就是全微分方
程（1）的隐式通解，其中 C 为任意常数．
2．曲 线 积 分 的 有 关 定 理
设函数 P（x，y），Q（x，y）在单连通域 G 上有一阶连续偏导
数，则 G 在内曲线积分∫LPdx＋Qdy 与路径无关的充分必要条件
是等式 坠P 坠y
参考文献： ［1］同 济 大 学 数 学 教 研 室．高 等 数 学 ［M］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2002， （7）：282－285． ［2］王高雄，周之铭，等，常微分方程 ［M］．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，1983， （9）：39－49． ［3］潘 鼎 坤 ，高 等 数 学 习 题 详 解 ［M］西 安 ： 西 安 交 通 大 学出版社 2000，（6）：356－360． ［4］陈 小 柱 ，陈 敬 佳 ，高 等 数 学 习 题 全 解 ［M］．大 连 ： 大 连 理 工出版社 2002，（8）：498－589．
例 3 求解（5x4＋3xy2－y3）dx＋（3x2y－3xy2＋y2）dy＝0．
解 ：这 里 αP ＝6xy－3y2＝ αQ 所 以 这 是 全 微 分 方 程． 曲 线
αy
αx
积分与路径无关，因此可取 X0＝＝，Y0＝0
根据公式（7），有 μ（x，y）＝∫0x（5x4＋3xy2－y3）dx＋∫0yy2dy
或者写成 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
这与前面得到的结果完全一致。
结束语：对于全微分方程 P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0 来 说 ，其 中 P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝du（x，y），则通解为 μ（x，y）＝C，关 键 在 于 找 P（x，y）dQ（x，y）dy 的 全 微 分 du（x，y），若 P（x，y）dx＋Q（x， y）dy＝0 不是全微分方程，但 μ（x，y）P（x，y）＋μ（x，y）Q（x，y）dy＝ 0 是全微分，只要找出积分因子 μ（x，y），仍可利用全微分法求 出通解，常用的有观察法和公式法求出积分因子 μ（x，y）。
由前面知识知，函数 μ（x，y）为方程（1）的积分因子的充要
条件是 坠μp 坠y
＝
坠μQ 坠x
，
（9）
即 μ 坠p ＋p 坠μ ＝μ 坠Q ＋Q 坠μ 坠y 坠y 坠x 坠x
两边同时除以 μ 得
坠p 坠y
－
坠Q 坠x
＝Q
坠Inμ 坠x
－p
坠Inμ 坠y
这是一个以 μ 为未知函数的偏微分方程． 通过上述方程
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第 12 卷·第 1 期 2009 年 2 月
宿州教育学院学报 Journal of Suzhou Education Institute
Vol.12，No.1 Feb.2009
取 g（y）使它满足 坠u ＝x＋y3，即，x＋g（y）＝x＋y3，g（y）＝y3 坠y
所以
g（y）＝
1 4
y4＋C1
＝
1 2
d（ιn
x－y x＋y
）
现用这种方法求解下面例题．
例 2 用“分项组合”的方法，求解例 1
解： 把方程重新“分项组合”，得到
ydx－x3dx＋xdy＋y3dy＝0
即 d（－ 1 x4）＋ydx＋xdy＋d（ 1 y4）＝0
4
4
或者写成 d（－ 1 x4＋xy＋ 1 y4）＝0
4
4
于是方程的通解为
2009 年 2 月 第 12 卷·第 1 期
宿州教育学院学报
全微分方程与积分因子法
段志霞 卫艳荣
（济源职业技术学院 河南·济源 454650）
【摘 要】给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解， 并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程 来求解的一种方法．
【关键词】全微分方程 积分因子法 通解 【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】1009－8534（2009）01－0154－03
到 μ（x，y）＝∫P（x，y）dx＋g（y）
（5）
其中 g（y）为 y 的任意可微函数。 我们现在来选取 g（y）使
它同时满足（4）式，即 坠U ＝ 坠 ∫P（x，y）dx＋ dg（y） ＝Q（x，y）
坠y 坠y
dy
由此
dg（y） ＝Q（x，y）－ 坠 ∫P（x，y）dx
dy
坠y
有
［ ］ g（y）＝∫
以只含 x 的积分因子 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘方程（8），得
ye∫p（x）dx＋yp（x）e∫p（x）dx＝Q（e∫p（x）dx
即 ye∫p（x）dx＋y［e∫p（x）dx］＝Q（x）e∫p（x）dx
亦 即 ［ye∫p（x）dx］＝Q（x e） ∫p（x）dx
两端积分得：
ye∫p（x）dx＝∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C
例 1 求解（y－x3）dx＋（x＋y3）dy＝0
解 ： 这 里 ，P（x，y）＝y－x3，Q（x，y）＝x＋y3
这时
坠P 坠y
＝1＝ 坠Q 坠x
因此这是全微分方程．
求 μ（x，y）使它同时满足如下两个方程
坠u ＝y－x3， 坠x
坠u ＝x＋y3， 坠y
由 坠u ＝y－x3 中对 x 积分（把 y 看成常数），得到 坠x
（上接第 93 页） 化。 她认为要想生存，就得想方设法博取男人的欢心，拼命抓 住什么东西，或是编造谎言，或是遁入往昔的梦幻，以此获得 解脱。 布兰奇对于自己的美丽以及别人的评价十分在意。 刚见 到妹妹时， 她便夸耀自己保持良好的身材； 她隐瞒自己的年 龄，喜欢用昏暗的光线来掩饰脸上的皱纹；她对于服饰、香水 等有着特殊的嗜好；喜欢用文绉绉的字眼，总是想以此来挽回 昔日的美丽。 她想用表面上旧式姑娘的言谈举止来掩盖实际 的贪酒、纵欲。 然而，她的虚伪、自负却其恰恰暴露了被父权制 度扭曲得变了形的女性心理。
二、全微分方程的一般解法
1．按照 坠P ＝ 坠Q 为全微分方程充分条 件 的 证 明 过 程 可 得 坠y 坠x
第一种解法．
求μ
（x，y）
使 它 满 足 坠U 坠x
＝p
（x，y）
（3）
和 坠U 坠y
＝Q（x，y）
（4）
从 （3）式 出 发 ， 把 看 成 参 数 对 进 行 积 分 ，解 这 个 方 程 得
Q（x，y）－
坠 坠y
∫P（x，y）dx
dy
（6）
将 （6）式 代 入 （5）式 中 即 求 得
［ ］ μ（X，Y）＝∫P（x，y）＋dx＋∫ Q（x，y）－ 坠 ∫P（x，y）dx dy 坠y
从而全微分方程的通解为
［ ］ ∫P（x，y）dx＋∫
Q（x，y）－
坠 坠y
∫P（x，y）dx
dy＝C
这里 C 为任意常数．
－ 1 x4＋xy＋ 1 y4＝C
4
4
这里 C 为任意常数．
2．由前面曲线积分的定 理 可 知 ，当 P（x，y），Q（x，y）在 单 连
通 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 时 ，要 使 方 程 （1）是 全 微 分 方
程，其充要条件是
坠p ＝ 坠Q 坠y 坠x
在区域 G 内恒成立 ，且 当 此 条 件 满 足 时 ，全 微 分 方 程 （1）
＝x5＋ 3 x2y2－xy3＋ 1 y3
2
3
于是通解为 x5＋ 3 x2y2－xy3＋ 1 y3＝C
2
3
见 到 形 如 P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0 的 一 阶 微 分 方 程 ，首 先
要判断它是哪一种类型的方程，如是全微分方程，然后按全微
分方程的解法去求解．对于学过曲线积分的读者来说，用曲线
1．观 察 法
有时，我们可以用观察法得出积分因子，如我们熟悉的微
分方程
ydx－xdy＝0
不是全微分方程．但由于
ydx－xdy y2
＝d（
x y
），
可知 1 y2
是
一
个
积
分
因
子
，
不
难
验
证
，
1 xy
和
1 x2
也都是积分因子．
乘上其中任一个并积分，便能得到所求方程的通解
x y
＝C．
现 用 积 分 因 子 法 解 一 阶 线 性 方 程 y ＋P （x）y ＝Q （x）． （8）
μ（x，y）＝yx－ 1 x4＋g（y），其中 g（y）为 y 的 任 意 函 数 。 现 选 4
*[收 稿 日 期 ]2008－12－10 [作 者 简 介 ]段 志 霞 （1972— ）女 ，河 南 济 源 人 ，在 读 研 究 生 ，济 源 职 业 技 术 学 院 讲 师 。 卫 艳 荣 （1968— ）女 ，河 南 济 源 人 ，济 源 职 业 技 术 学 院 讲 师 。